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1、学生姓名 年级 高三 授课时间 教师姓名 刘 课时 02-圆锥曲线压轴题-分类训练【知识点】1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率点到直线的距离 夹角公式：（3）弦长公式直线上两点间的距离： 或（4）两条直线的位置关系=-1 2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 距离式方程： 参数方程：(2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程：（3）抛物线(4)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 3.方法（1）点差法（中点弦问题）设、，为椭圆的弦中点则有，；两式相减得=
2、（2）联立消元法：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。【课堂练习】题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围解：根据直线的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。题型
3、二：弦的垂直平分线问题。注：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线，。由消y整理，得 由直线和抛物线交于两点，得即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为： ， 令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。 解得满足式 此时。例题3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （）求过点O、F，并且与相切的圆的方程；（）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两
4、点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：(I) a2=2，b2=1，c=1，F(-1，0)，l:x=-2. 圆过点O、F,圆心M在直线x=-设M(-)，则圆半径：r=|(-)-(-2)|= 由|OM|=r，得，解得t=，所求圆的方程为(x+)2+(y)2=.(II)由题意可知，直线AB的斜率存在，且不等于0,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k0)，代入+y2=1，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0直线AB过椭圆的左焦点F， 方程一定有两个不等实根,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，则x1+x1=-AB垂直平分线NG
5、的方程为令y=0，得点G横坐标的取值范围为（）。题型三：动弦过定点的问题例题4、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程； （II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：（I）由已知椭圆C的离心率，,则得。从而椭圆的方程为（II）设，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根， 则，即点M的坐标为，同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为 ，直线MN的方程为：，令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：又
6、，椭圆的焦点为 ，即 故当时，MN过椭圆的焦点。例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （）求椭圆C的标准方程；（）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。解（I）由题意设椭圆的标准方程为， （II）设，由得：，（注意：这一步是同类坐标变换）（注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换）以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且，解得，且满足当时，直线过定点与已知矛盾；当时，直线过定点， 综上可知，直线过定点，定点坐标为题型四：过已知曲线上定点的弦的
7、问题。直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。 解：(I) ，且BC过椭圆的中心O ， 又 点C的坐标为。A是椭圆的右顶点， ，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程
8、为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根， 即 同理可得： 则直线PQ的斜率为定值。题型五：共线向量问题。解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理-同类坐标变换，将问题解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：+=1 于P、Q两点，且,求实数的取值范围。解：设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得(x1,y1-3)=(x2,y2-3) 即方法一：方程组消元法又P、Q是椭圆+=1上的点 消去x2，可得 即y2=又在椭圆上，2y22， 22 解之得：则实数的取值范围是。方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法设直线PQ的方程为：，由消y整理后，得P、Q是
9、曲线M上的两点 即 由韦达定理得： 即 由得，代入，整理得 ， 解之得当直线PQ的斜率不存在，即时，易知或 。 总之实数的取值范围是。例题8：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为（1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求的值 解法一：（）设点，则，由得：，化简得.（）设直线的方程为： .设，又，联立方程组，消去得：，故由，得：，整理得：，解法二：（）由得：， ， 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：.（）由已知，得. 则：.过点分别作准线的垂线，垂足分别为，则有： .由得：，即.题型六
10、：面积问题例题9、（07陕西理）已知椭圆C：（ab0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。解：（）设椭圆的半焦距为，依题意 ，所求椭圆方程为。（）设，。 （1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时， 综上所述。当最大时，面积取最大值。练习1、（07浙江理）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为。 （）求在，的条件下，的最大值；（）当时，求直线AB的方程。解：（）解：设点A的坐标为，点的坐标为，由，解得，所
11、以 当且仅当时，取到最在值1，（）解：由得 设到的距离为，则又因为 所以代入式并整理，得 解得，代入式检验，。故直线的方程是题型七：弦或弦长为定值问题例题10、（07湖北理科）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x2=2py（p0）相交于A、B两点。 （）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；（）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。（此题不要求在答题卡上画图）解法1：（）依题意，点N的坐标为N（0,-p）,可设A（x1,y1）,B（x2,y2），直线AB的方程为y=kx+p,与
12、x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是 .（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a,AC的中点为径的圆相交于点P、Q，PQ的中点为H，则.= =令，得为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线.题型八：角度问题例题11、（08陕西理）已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点（）证明：抛物线在点处的切线与平行；（）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由解法一：（）如图，设，把代入得，由韦达定理得， ， 点的坐标为设抛物线在点处的切线的方程为，将代入上式得， 直线与抛物线相切， 即（）假设存在实数，使，则，又是的中点，由（）知：轴，又 xAy112MNBO，解得 即存在，使问题九：四点共线问题例题12、（08安徽理）设椭圆过点，且着焦点为（）求椭圆的方
