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1、第四讲：旋转和圆的基础知识一、旋转（一）概念：1.旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.例：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？ 来源:学_科_网Z_X_X_K 2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180后与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、圆等）。 （二）性质1旋转的性质：来源:学科网 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等(都是旋转角). 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等2. 旋转三
2、要点:旋转中心,方向,角度.二、圆（一）.圆的相关概念 1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“O”，读作“圆O” (二).弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）直径等于半径的2倍。（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧A
3、B”或“弧AB”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧四、圆的对称性 1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、
4、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。第五讲：圆心角和圆周角课堂练习：1如图，弦AD=BC，E是CD上任一点（C，D除外），则下列结论不一定成立的是（ ）A. = B. AB=CD C. AED=CEB. D. =2. 如图，AB是 O的直径，C，D是 上的三等分点，AOE=60 ，则COE是（ ）A 40 B. 60 C. 80 D. 120 3. 如图，AB是 O的直径，=,A=25， 则BOD= .4.在O中, =, A=40,则C= .5. 在O中, = , ACB=60.求证: AOB = BOC = AOC. 课堂检测1如果两个圆心角相等，那么（ ）A这两个圆心角所对
5、的弦相等。 B这两个圆心角所对的弧相等。C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上说法都不对2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则 与 的关系是（ ）A =2 B. C. 2 D. 不能确定3. 在同圆中，=,则（ ）A AB+BC=AC B AB+BCAC C AB+BCAC D. 不能确定4下列说法正确的是（ ）A等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等5如图，在O中，C、D是直径上两点，且AC=BD，MCAB，NDAB，M、N在O上。求证：=二、圆周角课堂练习：1下列说法正确的是（ ）A 相等的圆周角所对弧相等形 B直径
6、所对的角是直角C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。2如图，ABC内接于O，若OAB=28，则C的大小为（ ）A . 28 B. 56 C. 60 D. 623.如图,在O中, ABC=40 ,则AOC= . 4. 如图,AB是O的直径,C,D,E都是圆上的点,则1+2= .5.如图,AB是O的直径,BD是O的弦,延长BD到C,使AC=AB.求证:BD=CD. 三、课堂检测1. 如图,AB是O的直径, BC,CD,DA是O的弦,且 BC=CD=DA,则BCD=( ).A . 100 B. 110 C. 120 D1302. 如图
7、,O是ABC的外接圆,AB是直径,若BOD=80,则A=( )A . 60 B. 50 C. 40 D303.如图,A,B,C是O上三点, AOC=100, 则ABC= .4. 如图,正方形ABCD内接于O,点E在劣弧AD上, 则BEC等于 5. 如图,在O中, ACB=BDC=60,AC=,(1)求BAC的度数;(2)求O的周长. 四小结1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的位置进行判断.2.一条弦所对的 圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。3有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。第六讲：圆的知识复习一、圆的基本性质1圆是轴对
8、称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。来源:学科网ZXXK圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例1 如图，在半径为5cm的O中，圆心O到弦AB的距离
9、为3cm，则弦AB的长是（ ）A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如图，A、B、C、D是O上的三点，BAC=30，则BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例3、如图1和图2，MN是O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，APM=CPM（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由（2）若交点P在O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由 (1) (2) 例4：如图,AB是O的直径，C是的中点，CEAB于E，BD交CE于点F。求证：CF=BF 练习：1、已知：如图，AB为O的直径，弦CD交AB于P，且APD60，COB30，
10、求ABD的度数2、如图，ABC中，ABAC，A80，以AB为直径的半圆交AC于D，交BC于E求所对圆心角的度数3、如图，圆的弦AB、CD延长线交于P点，AD、BC交于Q点，P28，AQC92，求ABC的度数4、已知：四边形ABCD内接于O，且BOD100求A的度数第七讲：平面内点和圆的位置关系一、点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当dr时，点在圆外。当点在圆上时，dr；反过来，当dr时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当dr时，点在圆内。例 如图，在中，直角边，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆A的
11、_，点在圆A的_：在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为试判断点与圆的位置关系二、圆与三角形的关系1、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。2、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。3、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。4、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图2449所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址
12、例2 如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC=（ ）A130 B100 C50 D65例3 如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）A5 cm B2.5cm C3cm D4cm 练习1：1下列说法： 三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆； 圆有且只有一个内接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点； 三角形的外心到三角形的各边的距离相等；等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（ ）A1 B. 2 C. 3 D. 42. 三角形的外心具有的性质是( )A. 到三边的距离相等 B. 到三个顶点的距离相等C. 外心在三角形内 D. 外心在三角形外 3. 用反证法证明一个三角形任意两边之和大于第三边时，假设正确的是（ ）A任意两边之和小于第三边 B 任意两边之和等
