《随机信号第4章随机信号通过线性系统》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机信号第4章随机信号通过线性系统（69页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章主要内容：,随机信号通过线性系统时域分析,色噪声的产生与白化滤波器,白噪声通过线性系统,第四章 随机信号通过线性系统,等效噪声带宽,随机信号通过线性系统频域分析,线性系统输出端随机信号的概率分布,系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输出信号的统计特性,第 4 章 随机信号通过线性系统的分析,下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。,连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号； 离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时
2、间信号。,连续与离散系统：,（1）线性性： （2）时不变：,线性时不变系统：,称作算子,4.1 线性系统基本理论复习,一、一般线性系统,输入,输出,线性系统中线性算子 满足齐次性， 叠加性：,若输入,则输出,二、线性时不变系统,当输入 x(t) 有一个时移 时， 输出y(t)也有一个时移,1、 线性时不变系统的冲激响应,冲激响应,输出,2、系统传递函数,三、稳定的物理可实现系统,1、稳定系统的条件,若对任意有界输入，其输出也有界，则系统稳定。,2、物理可实现性（因果性）,在输入信号到来前 ，系统不产生响应。既：h(t)=0， t0 。,传递函数为：,若以s代替j，传递函数在复频域中表示为：,由
3、因果性则输出为：,3、稳定的物理可实现系统条件,系统1： 的极点 ，在左半平面。,则传递函数H(s)的所有极点都应位于s平面的左半平面（不含虚轴）,例如：,由于：,系统1稳定,满足,系统2： 的极点 ，在右半平面。,系统2不稳定,4.2 随机信号通过线性系统,二、系统输入与输出之间的互相关函数,4.2.1 时域分析法,一、输出的均值：,系统输出：,随机过程,确定的时间函数,确定的二元函数,同理：,三，系统输出的自相关函数,确定的二元函数,确定的二元函数,上式可以用下图表示：,比较式(4-25)，式(4-26)与式(4-24)则有：,4.2.2 物理可实现系统输出随机过程的分析,输入双侧随机信号
4、时,因X(t)平稳，则有：,于是，据式(4-23)有,1、若X(t)平稳，则输出平稳。,据式(4-24)，(4-25) ，(4-26)有,由此可见，输出Y(t)是宽平稳过程。,此外，输出的均方值为,因为系统是稳定的，,所以有：,若输入X(t)是宽平稳的，则稳定线性系统的输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。且有如下关系：,结论：,2、若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。,证明：时不变系统 ，有,X(t)是严平稳， 与X(t)具有相同的n维概率密度，由于系统算 子不变，则 与Y(t)也具有相同的n维概率密度函数，所以Y(t)也是严平稳的。,则输出Y(t)的时间平均,
5、3、若输入X(t)是宽各态历经的，则输出Y(t)也是宽各态历经。,证明：由X(t)的各态历经定义,及时间自相关函数,故而Y(t)是宽各态历经的。,习题：44,三，应用举例,例4.4,分析：这是一个低通的RC电路，该电路的冲激响应见附录四。,X(t)是相关函数为 的白噪声求：,输出的平均功率,解：1）由题意知,输出自相关函数,当输入是白噪声时，该系统输出的自相关函数正比于单位冲激响应函数的卷积。上式要分别按 与 两种情况求积分：,当 时上式中被积函数总是存在，所以有：,合并 和 的结果，得到输出自相关函数：,利用自相关函数的偶对称性，则当 时有：,所以,注意到b是时间常数(RC)的倒数，它也与系
6、统的半功率带宽 有关。事实上：,2）在上式中令 ，即可得输出的平均功率为,由此可见，该系统的输出平均功率随着系统的带宽变宽而线性的增大。,于是输出平均功率又可写为,上式的结果给出了一个测量(估计)线性系统单位冲激响应h(t)的方法。,3）根据式4-37有：,同理,白噪声,测量系统,直流分量,如果低通滤波器的带宽充分地小，那么其输出将几乎是Z(t)地直流成分，只有很少的随机成分附加于输出上。 若输入X(t)是是各态历经的，由前面的结论可知Z(t)也是各态历经的。而各态历经过程Z(t)的直流分量就是Z(t)的时间平均，因此有,又因为各态历经过程的时间平均与统计平均相等,直流分量,对于物理可实现系统
7、 则有，,由此可见，低通滤波器输出端的直流分量正比于系统的单位冲激响应。只要连续的改变 ，就能测出线性系统得完整单位冲激响应。这就是所谓的系统辨识问题。,所以系统冲激响应的估计为,通常，只要输入信号功率谱密度的带宽，比被测系统的带宽大上 10 倍左右，利用上述测量系统就能很好的测出被测系统的冲激响应，及测出输入信号与被测系统输出信号的互相关函数。,系统输入与输出的互相关函数的估计为,在 例4.4 中假设X(t)的自相关函数为 式中 ，求输出的自相关函数。,解：,例4.5,当 时，,因自相关函数为 的偶函数，所以 时的 表达式直接能直接由 时的表达式 写出：,则：,上式中第一个因子是例4.4中白
8、噪声输入时系统输出的自相关函数,为了作比较，可将上式写为：,综合结果是：,b正比于系统的带宽,由于X(t)有,正比于输入信号X(t)的功率谱带宽。,可见，当 比值很小时， 近似白噪声通过系统时输出的 自相关函数。因此，尽管输入X(t)是非白噪声，只要其功率谱带宽 远远大于系统带宽 ，就可以把输入X(t)看作白噪声。,可见，当 时，,例如，在带宽为 的放大器中，最重要的噪声是热噪声，这种热噪声的带宽可以达到 ，由于 ，如果用白噪声来近似热噪声，则其误差不超过 1 。,当输入单侧随机信号时,对于物理可实现系统,因为,即使X(t)是宽平稳，但因,则输出响应Y(t)也是非平稳的。,这是由于实际系统输入
9、信号为X(t)U(t)（单侧信号）是非平稳的缘故。关于这一点，我们可以这样来说明，如图所示的动态系统的开关K在t=0时刚一闭合，由于系统惰性的影响，随机输出就像确定输出那样有一个建立的过程，这个过程是瞬态的，正是这个瞬态分量导致了非平稳输出。因此，前面讨论的输出的平稳性、各态历经等性质在此不再成立了。但若令 而 保持有限时，式444至447各式就几乎与时间 t 或时间起点无关。此时输出Y(t)称为渐进平稳的。,今后，对所研究的问题除非特殊说明，均指双侧信号在 t= 时施加于系统所得到的输出响应。,图4.9 X(t)在t=0时刻作用于系统,4.2.3 频域分析法,一、系统输出的均值,二、系统输出
10、的功率谱密度,系统的功率传递函数,（当输入为平稳双侧信号时）,例4.6、 利用频域分析法重做例4.4 解：因为,三、系统输出的互谱密度,四、系统输出的平均功率,例4.7 ，利用频域分析法重做例4.5,所以,所以,解：,对上式两边取富氏反变换得：,4.2.4 多个随机信号通过线性系统,设： 与 联合平稳，两个随机信号同时输入线性系统。 若：,由于线性系统具有叠加性，则有,因为 平稳，所以,输出Y(t) 的均值,Y(t)的自相关函数,Y(t)的功率谱密度,当 与 之间互不相关，且至少有一个是零均值时：,习题：47、413、417,4.3 色噪声的产生和白化滤波器,在复频域中表达为：,利用频域分析法
11、，解决两个问题：,一，产生色噪声的系统,使输出为白噪声,输入色噪声,输入白噪声,使输出为需要的色噪声,在输入白噪声条件下 ，构造一稳定的系统 ，使输出为色噪声,例4.8 设计一稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出功率谱为：,由于构造的系统必须稳定，所以构造 时，必须使其所有极点都位于s的左半平面。因此：,的复频域表达式为,进行谱分解有：,解：,选 中极点位于s的左半平面的做为,进行谱分解：,令：,即,为所要设计的系统。,因此选,极点位于S的右半平面,极点位于S的左半平面,因此有,二，白化滤波器,则有：,由于：,在任意输入 条件下，构造一稳定的系统 ，使输出为白噪声,选择 ， 中一
12、个极点位于S的左半平面的做为,习题：4-11、 4-12,4.4 白噪声通过线性系统的分析与“等效噪声带宽”,4.4.1 白噪声通过线性系统,可见，白噪声通过线性系统后，输出信号的功率谱密度主要由系统 来决定。不再是白噪声。,一，输出信号的功率谱密度,在时域求,二，输出信号的自相关函数,在频域求,三，输出信号的平均功率,在频域求,在时域求,4.4.2 等效噪声带宽,实际,理想,输入白噪声,输出,限带白噪声,等效,等效,在输入白噪声的情况下，若用一个理想系统去等效一个实际系统，那么理想系统输出的限带白噪声则等效该实际系统的输出。由于去等效实际系统，那么实际系统的“带宽”就决定了这个理想系统的“带
13、宽” ，也决定了等效的限带白噪声功率谱密度的“带宽”。,这等效的限带白噪声带宽 称为实际系统的“等效噪声带宽”。,1、等效的理想系统输出的平均功率必须等于实际系统输出的平均,一、等效的原则,二、等效噪声带宽的计算（等效的限带白噪声 的“带宽”）,功率,2、等效的理想系统的增益必须等于实际系统的最大增益,低通滤波器的等效噪声带宽为：,带通滤波器的等效噪声带宽为：,由于,1、在频域中计算,2、利用 计算,对低通滤波器而言,对带通滤波器而言,三、随机信号的等效噪声带宽,据等效原则 由此，平稳过程就可以等效一个“限带白噪声”。,(1)我们把任一个平稳过程 看作是一白噪声通过系统的输出。 (2)将此系统
14、 等效一个理想系统 。,白噪声,限带白噪声,因此，平稳过程的等效噪声带宽为：,(3)当输入白噪声 时， 系统输出的平均功率 也可以由其等效噪声带宽 来求。,例4.9,解：,对前（例4.6）中的RC电路，求其等效噪声带宽。,系统的半功率点带宽,三、 与 的比较,系统半功率点的通频带（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号振幅及相位的选择范围。,等效噪声带宽（角频率形式），用来表示系统在频域上对信号的平均功率的选择范围。,因此， 均由系统本身决定。同一系统的这两个不同参数有着密切联系。图4.14给出了7种不同滤波器的 与 之间，,滤波器在不同阶次n下的比值 。,由图可见，当滤波器的级数越多时， 就越接近 。,四，用等效噪声带宽来计算信噪比,输出信噪比：,1、在频域,设：信号调谐在 上， 上的 增益为 。,输出信号的有效值,输出信号的平均功率,输入信号的有效值,当输入噪声
