抛物型方程一个新的非协调混合元超收敛性分析及外推

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1、2013年11月 NOV，2013 计算数学 MATHEMATICA NUMERICA SINICA 第35卷第4期 V_0135No4 抛物型方程一个新的非协调混合元 超收敛性分析及外推冰1) 石东洋 (郑州大学数学与统计学院，郑州450001) 张亚东 (许昌学院数学与统计学院，河南许昌461000) 摘 要 本文研究了抛物型方程在新混合元格式下的非协调混合有限元方法在抛弃传统有限元分析 的必要工具一Ritz投影算子的前提下，直接利用单元的插值性质，运用高精度分析和对时间t的 导数转移技巧，借助于插值后处理技术，分别导出了关于原始变量乱的日 一模和通量 =一Vu 在 一模下的O(h )阶超

2、逼近性质和整体超收敛进一步，通过构造合适的辅助问题，运用 Richardson外推格式，得到了具有更高精度O(h )阶的外推结果最后，给出了一些数值结果验 证了理论分析的正确性 关键词：抛物型方程；非协调元；新混合元格式；超收敛；外推 MR(2000)主题分类：65N15，65N30 1-引 言 考虑如下抛物型方程的初边值问题 在Q X(0，T】中， 在 Q(0，T上， 在Q中， (11) 其中Q C R 是具有Lipschitz连续边界的有界凸多边形区域，aQ为【2的边界，T(0，O0)为 一定值，X=( ，Y)，f(X，t)及uo(X)为已知的光滑函数 标准的有限元空间对逼近解的光滑性要求

3、很高，这给实际应用带来了很多困难，于是产生 了混合有限元方法利用混合有限元方法有很多优点，例如在计算多孔介质流时，通常需要计 算速度，如果用通常的有限元法，只能先求出压力，然后求导得到速度，这样做精度将降低，而 利用混合有限元法求解，可同时求出压力和速度，提高了离散解的精度此外，许多问题本身 自然的Galerkin逼近就只能采用混合有限元方法，例如Stokes问题的有限元逼近其所涉及 的两个逼近空间通常需要满足所谓的inf-sup条件或LBB条件，空间选择受限制对抛物型方 程(11)的混合有限元方法有许多研究1-8J，其中，【5】利用RaviartThomas元讨论了L2-模 2012年10月

4、7日收到 )基金项目： 国家自然科学基金(10971203；11271340；11101381)；高等学校博士学科点专项基金 (2009410111006)；河南省高等学校青年骨干教师资助项目(2011GGJS一182) ，、 ， ， ， = 一 一 338 计算数学 2013住 最优阶误差估计6】研究了最低阶Raviart Thomas元在动态网格上的向后Euler全离散格 式【7利用混合体积法同时得到了速度和压力的一阶收敛性结果8通过RaviartThomas Nedelec混合元得到了后验误差估计事实上，要构造稳定的混合有限元格式并不是件容易的 事，于是出现了如拉格朗日乘子法_9J最小二

5、乘有限元方法l10j，稳定化方法11，H Galerkin 有限元方法12 13J最近，14，15中提出了一类新的混合元格式，我们发现当选取的空间满足 vh c Wh时，该格式自然满足BB条件且避开了因涉及散度算子带来的麻烦 众所周知，抛物型方程的有限元超逼近性质，超收敛分析及外推一直是该领域中热门的研 究课题16-27，它们可以有效地提高精度其中16，17分别讨论了问题(11)的分片线性有限 元关于梯度的L 模和利用椭圆投影算子的分片k次协调有限元的超收敛分析f1820则分 别研究了其半离散格式下RaviartThomas混合元 。模， 。模以及最低价RaviartThomas 混合元的Cr

6、ankNicolson全离散格式的超收敛分析21】讨论了该类方程的日l-Galerkin协 调有限元方法的超收敛分析22，23进一步研究了在各向异性网格下双二次元的半离散和全 离散格式下的高精度分析24】讨论了此类方程非协调Wislon元的超收敛分析及外推【2527 分别研究了抛物型积分微分方程的非协调三角形Carey元，矩形EQ 。 元的变网格方法的收 敛性分析以及双p次元的高精度分析以上研究均是基于以往传统混合元格式 本文主要目的是研究方程(11)在新混合元格式下的非协调EQ1 元28,29】的超收敛分 析及外推与传统的非协调混合元方法相比，它具有自由度简单及LBB条件自动满足等优点 在抛

7、弃传统有限元分析的必要工具一Ritz投影算子的前提下，直接利用单元的插值性质，运 用高精度分析和对时间t的导数转移技巧，借助于插值后处理技术，分别导出了关于原始变量 札的日 一模和通量 =一Vu在L0一模下的O(h )阶超逼近性质和整体超收敛进一步，通过 构造合适的辅助问题，运用Richardson外推格式，得到了具有更高精度O(h0)阶的外推结果 最后，我们给出了数值例子，其结果与本文的理论分析是相吻合的 2新混合元格式 设Q是R 中的一个有界凸多边形区域，其边界aQ分别平行于X轴和Y轴，r是Q 的矩形单元剖分族，满足正则性假设1】对KI1h，设其四个顶点坐标分别为ai xi，Yi)，i=

8、1，2，3，4，边为f1 ala2，l2 a2a3，l3 a3a4，f4 a4al，h Kmarx ，其中 K是单元K的最 大直径 定义混合有限元空间【30为 = ； hIK印。n1,x,y,x2,y2)， ”ds=O,F c O ，V rn) = h=( ，W 2， lKQ1，0( )Qo，1( )，V KFh) 其中，Q ， ( )=spanx yJ：0 i m，0 J n)，【Vh表示跨过单元边界F的跳跃值显 然有限元空间Vh和 满足 c 且容易验证lIII1,h=(I1 ，K) 是Vh上的模 KEFh 对于 Hi(a)， ( (Q)。，设 ：H (Q)_ 和 ：(L (【2) 分别为由

9、Vh 4期 石东洋等：抛物型方程一个新的非协调混合元超收敛性分析及外推 339 (一 _11 2)34， (钆一 蛐 ( 一 刷s _11 2，3，4， ， t 0 ， 2 I(r“ Vh)一(P h，Vvh)h=(t厂，u )，V Vh ，t(0， ， ， )+(Vu ， )=0， V ， (0， ， (23) 【 ( ，0)=IIuo，XQ， 其中(u， ) KEF K UVdxdy,在不引起混淆的情况下仍将( ， ) 表示为( ， ) 由文献14，15知，空间对(础(Q)，( (Q) )以及(vh， )分别满足连续和离散的LBB 条件，进而根据偏微分方程理论知(22)和(23)的解存在唯

10、一 3超逼近与超收敛分析 记11,一Uh=( 一 )+( 札一Uh)三+叩， 一 =( 一2p+( 一 )三 + 下 面我们将给出几个引理，它们在误差分析中起着重要的作用 计算数学 引理31【30对 H (Q)， ，有 (V( 一j )， )=0 引理3228】对 (H。(Q)。， h ，有 Vhd8 l11 这里及以下出现的c均表示与h无关的正常数 引理332对 (H。(Q)。， ，有 ( 一 ) Ch。I I2II hI10 (31) (32) (33) 基于上述引理，我们首先给出下面的超逼近结果 定理31设乱， 和Uh， )分别是问题(22)和(23)的解，u， tH (【2)n硎(Q)

11、 P t(H (Q) ，则有 lI uhlh，h+l1 一磊l10 Ch (1司i+(1utI +Igtl2)d7-) 。 (34) 【J 证明由(22)，(23)和引理31得到下面的误差方程 )_( _-( +( 一 ds， ， (35) 【(6)( )+( 叩， )=一( oh)，V Oh 注意到 C ，在(35)(0)式中取u= 和(35)(6)式中取 ：v仇，两式相加，得 (叩棚 +(Vr,Vrlt)=_( 卜 aK 砌 (36) 即 tIFo+_-l d I 叩Il；_( 一 阳 s (37) 利用Schwarz不等式和Young不等式，(37)式右端第一项可估计为 l(t，叩t)l

12、! l】tII。II 7tII。!；(了IltlI3+ 1 I1 ，t_l。2Ch It 11I ll叩 ll (38) 根据引理32和导数转移技巧，(37)式右端第二项，得 K州 s d c K州 卜 厕ds 训 + d( K ) (39) 2 h+ ( K娜 ) 4期 石东洋等：抛物型方程个新的非协调混合元超收敛性分析及外推 341 V 3 + ( 砌 )_ (310) 对(310)式两端从0到t积分，利用引理32，并注意到vn(x，0)=0，叩( ，0)：0，得 II卵旧，h Ch (1utI；+Ig*122)dT+Cll叩 ，hd丁+Ch。IpG2I1111， 。 t 。 t (311

13、) Ch (IpG；+ t；+ + ，hd丁+去lI叩旧， v uo(1u I lYtl,)dT) C v II,zlll0 二 I1,#111， Ch4(Ip-1；+(1u ll+l l；)d丁) (312) 另一方面，在(35)(6)式中取 = 则有 II =( =一( 叩， 一( Il 佬 117711 ，hII lo+Ch。Ip-1zIl lo Ch。(Ipl +(1u 1 +It122)dT) 。lI 10 iln 一uhll ，+l1 一西 o Ch (1司；+(1札 ll+Ifftl2)dT) ， ，肠rh合并成一个大单元詹， =U ，对应的区域剖分记为F2h设露的四条 为Z1，

14、Z2，Z9(如图1所示)类似文献【30中在单元霞上构造插值算子：h和 如下： 和 uu)dxdy=0 (313) n I露=(lW1I ，lhW2I露)Q1(詹)Q1(露)，V r2， (； 一 1)咖=0， 3，4，7，8， (3-14) L，2t 、 ( 。一叫2)d -0j _112，5，6， 4 H ， U lI 咖 露 出 V = 、， S 一 两 卜 ， 一K 训 u 厶厶 计算数学 其中P2( )，Q1(K)分别表示 上不超过二次和双一次多项式空间 由28及3不难验证：对uH。(Q)， (H。(Q) 插值算子 h，；h满足 21h h1u=I1u，lllhu-II1，h c l

15、“l3， (315) hvh ll1， Cllvh lll， ，YVhvh， ； h2 = h llnl 一 10 Ch I 2 II! ghll0 Cllghll0， K il K 幻2 ， “(1 “i 19 K2 图1 元 (316) 定理32设 ，刃和 ， )分别是问题(22)和(23)的解， H。(【2)n础(Q)，ut H (Q)n础(Q)， =(pl P )，磊= ，p一2)(H (Q) ，我们有如下的整体超收敛结果 llu一 h“hll ， Ch lul3+(I司；+(1utI；+Igtl2)dT) ) U 和 ， l1 一ni 西 0 Ch (1司；+(I“ l +l l )d丁) 2 J0 证明注意到 乱一 hUh= 一 u+nlh u一 h仳h 由(315)式，得 l】 一h II1，h=II “一 h Il1，h Ch lul3 和 h h一 luII1,h=II ( h一 u)II1