自控第3章讲义

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1、自动控制原理 第3章 时域分析法,信息控制类专业重要的专业基础课之一,第3章 时域分析法,3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 高阶系统分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 稳态误差的分析和计算,3.1 系统时间响应的性能指标,什么是时域分析? 指控制系统在典型输入信号作用下，根据输出量的时域表达式（解析、几何），分析系统的稳定性、动态性能和稳态性能。,3,已知系统微分方程形式的数学模型,求c(t)与ai、bj、r(t)的关系。,优点：时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，从时域响应曲线上能直接得到系统时间响应的全部信息，具有直观和

2、准确的优点。,3,缺点：难以判断系统结构和参数对动态性能的影响，很难用于系统的设计。对于高阶系统，系统分析的工作量将急剧增加，不易确定其性能指标。必须借助计算机实现。,典型输入信号：,1）理想脉冲函数（或冲击函数）,且,单位脉冲函数：,2）阶跃函数,单位阶跃函数：,3）斜坡函数,4）抛物线函数（或加速度函数）,5）正弦函数,2.时间响应过程 动态过程：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。又称过渡过程、瞬态过程。动态过程表现为：衰减、发散、等幅振荡。 稳态过程：指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出量的表现形式。,3、 系统的性能指标,性能指标

3、用来衡量系统性能,常由系统在一定的典型输入信号作用下的具体性能指标来表示,性能指标有:动态性能指 标和稳态性能指标,性能指标,动态性能指标 延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量 稳态性能指标 稳态误差,动态性能指标延迟时间td,从输入信号开始施加时起，系统输出时间响应第一次达到稳态值50%所需要的时间,动态性能指标上升时间tr,响应曲线从零首次上升到稳态值c()所需的时间,动态性能指标峰值时间tp,时间响应超过稳态值c()达到第一个峰值所需的时间,动态性能指标调节时间ts,在稳态值c()附近取一误差带，通常取 , 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。,动态性

4、能指标超调量%,响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比,A,B,t,h(),0.5h(),h(t),0,稳态值,允许误差5或2%,调节时间：响应曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。,峰值时间：响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。,上升时间：响应曲线第一次到达稳态值所需的时间。,延迟时间：响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。,h(),h(t),0.1h(),0.9h(),0,t,0.5h(),稳态值,无超调系统上升时间的定义,1). 延迟时间td 2).上升时间tr 3).峰值时间tp 4).调节时间ts 5).超调量% tr,tp表示控制系统反映输入信号的快速性，

5、%反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度 ts同时反映响应速度和阻尼程度,稳态性能指标稳态误差 时间趋于无穷时，系统输出与输入变量之间的差值,反映控制精度或抗干扰的能力.,3-2 一阶系统时域分析,1.一阶系统的数学模型,用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统,2.一阶系统单位阶跃响应,一阶系统的单位阶跃响应曲线,特点：1）可以用时间常数去度量系统的输出量的数值； 2）初始斜率为1/T； 3）无超调；稳态误差ess=0 。 4）ts=3T（5%误差带），ts=4T, 2%误差带 T越小，系统快速性越好,【例1】一阶系统的结构图如图所示，(1)若kt=0.1,试求系统的调节时间ts，(2)

6、如果要求ts = 0.1秒。试求反馈系数应取多大？,解：系统的闭环传递函数,关键：化闭环传递函数为标准形式,3.一阶系统的单位脉冲响应,动态性能指标,4.一阶系统的单位斜坡响应,一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess = t ( t T ) = T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只是在时间上滞后 T ,这就存在着 ess = T 的稳态误差。,引入误差的概念： 当时间t趋于无穷时，系统响应的实际稳态值与给定值之差。即：,5、单位加速度响应,6、一阶系统响应小结,等价关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响

7、应，就等于系统对该输入信号响应的积分。,动态特性: 由时间常数T决定， T响应速度 ，即响应时间 ，反之亦然,3.3 二阶系统的时域分析,二阶系统的分析,1. 二阶系统的基本概念 2. 二阶系统的单位阶跃响应分析 3. 欠阻尼情形 4. 过阻尼情形 5. 二阶系统的斜坡响应分析 6.二阶系统的性能改进,二阶系统的分析,二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统 二阶系统的分析具有极其重要的实际意义，很多高阶系统在一定条件下可以用二阶系统近似分析 1. 二阶系统的数学模型 微分方程描述,二阶系统结构图,二阶系统开环传递函数,标准形式的二阶系统闭环传递函数,记住！,自然频率（或无阻尼振荡频率）

8、,阻尼比（相对阻尼系数）,二阶系统的特征方程为,二阶系统的两个极点（特征根）为,极点决定了系统对输入响应的特性，极点是阻尼比和自然频率的函数,39,2. 二阶系统特征根分布与单位阶跃响应分析、二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的两个特征根为,1) 两个正实部的特征根，时间响应发散,系统不稳定,40,2) 两个负实部共轭复根，系统单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态,3) 两个相等的实根，临界阻尼系统,41,4) 两个不相等的负实根，过阻尼系统,5) 共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡无阻尼系统,二阶系统单位阶跃 响应定性分析,0z1,z1,z0,z1,43,（1）欠阻尼二阶系统的单位

9、阶跃响应,欠阻尼二阶系统的阻尼比,特征根是具有负实部的共轭复数,令,衰减系数（与虚轴的距离）,阻尼振荡频率（与实轴的距离）,则,44,当输入为单位阶跃时,45,利用如下公式对C(s)求拉氏逆变换,46,单位阶跃响应为,其中,称为阻尼角,47,阻尼角的图形意义,衰减系数 是闭环极点到虚轴的距离,阻尼振荡频率 是闭环极点到实轴的距离,自然振荡频率 是闭环极点到原点的距离,48,稳态分量，瞬态分量,稳态分量为1，二阶系统在单位阶跃函数作用下不存在稳态误差 瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为 瞬态过程收敛速度取决于包络线,49,时,响应是平均值为1的正余弦形式等幅振荡,（2）零阻尼二阶系统的单位阶

10、跃响应,50,（3）临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应,闭环传递函数,单位阶跃响应为,求拉氏逆变换,51,稳态值为1，无稳态误差 响应过程是单调上升的,52,（4）过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,过阻尼时，系统有两个负实根,那么,53,过阻尼系统的响应是无振荡的 稳态值为1，无稳态误差,以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：,上图绘出了不同z 值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看， z 越大，超调量%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之， z 越小，振荡性越强，平稳性越差。 另外，若z 过大，如 ，系统响应迟缓，调节时间ts长，快速性差；若z 过小，虽然响应的起始速度较快，tr和tp小，但

11、振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。,在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间,二阶系统一般取,其它的动态性能指标,可用 精确表示,只能近似表示,57,(1) 延迟时间,令,3.欠阻尼二阶系统动态性能分析,58,在较大的 值范围内，近似有,时近似表示为,增大自然频率或减小阻尼，都可减小延迟时间,记住！,59,(2) 上升时间,令,求得,取n=1，所以,响应速度越快,一定，即 一定时,记住！,60,(3) 峰值时间,对c(t)求导，并令其为零，求得,由于,所以,取,记住！,61,根据 的表达式,越小，表明响应速度

12、越快,62,(4) 超调量,超调量在峰值时间发生，故,即为最大输出,所以,记住！,超调量只与阻尼比有关系！,63,阻尼比越小，超调量越大,s%与z 的关系曲线,z 增大，s%减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比z 取在0.4-0.8之间,相应的超调量25%-1.5%。,4.调节时间ts 根据定义： 不易求出ts，但可得出 与z 的关系曲线：,66,已知欠阻尼二阶系统的包络线为,欠阻尼二阶系统响应的包络线,实际输出响应的曲线收敛程度，小于包络线的收敛程度。一般采用包络线来代替实际响应来估算调节时间。所得结果略为保守。,67,令为实际响应与稳态值的误差，则有,若令,所以,记住！,阻尼比越

13、小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长； 过大时，系统响应迟钝，调节时间ts也长，快速性差； =0.7，调节时间最短，快速性最好，而超调量%5%，平稳性也好，故称=0.7为最佳阻尼比。,总结： 结构参数对单位阶跃响应性能的影响, 化为标准形式, 即有 2n=1/Tm=5, n2=K/Tm=25, 解得 n=5, =0.5,例： 已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。,4.过阻尼系统的动态特性分析,当系统的输入信号为单位阶跃函数时， 则系统的输出量为 拉氏反变换得：,起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要

14、是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。,过阻尼二阶系统调节时间特性,从曲线可以看出： 当 , (临界阻尼）时， , 当 ， 时， 当 ， 时， 由此可见，当 ， 二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1 来估算。,过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制 系统一般不采用过阻尼系统。,5. 二阶系统的单位斜坡响应,1）欠阻尼,稳态分量 css 瞬态分量 ctt,系统的误差响应为,2. 临界阻尼,3. 过阻尼,6.二阶系统性能的改善,系统运行的平稳性与稳态精度矛盾 要求在系统具有较高稳态精度的前提下提高平稳性,比例+微分控制 测速反馈控制 加入校

15、正装置（第六章）,改进措施：,例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统,系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分 的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。,系统开环传递函数,闭环传递函数:,等效阻尼比：,， 增大了系统的阻尼比,可以使系统动态过程的超调量下降,调节时间缩短。 然而开环增益k保持不变,它的引入并不影响系统的稳态精度。 不改变系统的无阻尼振荡频率wn。 而且,比例微分控制使系统增加了一个闭环零点z=-1/Td,前面给出的计算动态性能指标的公式不再适用。,由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数Td, 即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。 不利影响：微分器对高频噪声有