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1、第 六 章,梁的应力,6-1 梁的正应力 6-2 梁的正应力强度条件及其应用 6-3 梁的合理截面形状及变截面梁 6-4 矩形截面梁的切应力 6-5 工字型截面及其它形状截面的切应力 6-6 梁的切应力强度条件,内容提要,1、中性层、中性轴的概念； 2、梁的横截面上正应力、切应力公式及对应的强度条件； 3.提高梁弯曲强度的措施,1、危险截面的确定 2、弯曲切应力的求解,重 点,难 点,前 言,轴向拉压：,圆轴扭转：,梁的弯曲：当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。,m,m,只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩,只有与切应力
2、有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力,所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力,一、纯弯曲, 6-1 梁的正应力,若梁在某段内各横截面上的 弯矩为常量 ，剪力为零，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。,CD 段就是 纯弯曲 。,二、纯弯曲梁横截面上的正应力,1、实验观察与分析,观察到：,在矩形截面梁的侧面画上一些水平的纵线（aa、bb等）和一些横向线（mm、nn等）,纵线：相互平行的水平直线变为相互平行的曲线，且上部被压短，下部被拉长；,横向线：仍保持直线，仍与纵线垂直，但相互不再平行，相对转动了一个角度。,1、实验观察与分析,（1）横截面变形后仍为一平面（平截面假设），且仍与
3、梁的轴线正交；,（3）纵向纤维间无挤压，上部纤维缩短，下部纤维伸长，由变形的连续性，必有一层纤维即不伸长，也不缩短，称之为中性层；中性层与横截面的交线称为中性轴。,（2）梁可看成是由一层层的纵向纤维组成的，由平面假设，同一层纤维的伸长（或缩短）相同；,1、实验观察与分析,中性层即不伸长，也不缩短的一层纵向纤维,中性轴中性层与横截面的交线,弯曲变形的特征横截面绕中性轴转动了一个角度,中 性 层,中性轴,二、纯弯曲梁横截面上的正应力,2、公式推导,在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时 ，要综合考虑几何，物理和静力学 三方面 。,如图，从纯弯曲梁段上取出长为dx的微段，将梁的轴线取为 x 轴，横
4、截面的对称轴取为 y 轴，中性轴取为 z 轴,dx,z,y,a,a,b,b,a,a,b,b,o1,o2,中性轴,中性层,dx,z,y,a,a,b,b,a,a,b,b,o1,o2,中性轴,中性层,a,a,b,o1,o2,b,取距离中性轴为y处的纤维K1 K2作为研究对象,曲率半径,a,a,b,o1,o2,b,y,K1,K2,纤维K1 K2的相对伸长为,曲率半径,即：,y 纤维距离中性轴的距离 梁弯曲后的曲率,a,a,b,o1,o2,b,y,K1,K2,曲率半径,y 纤维距离中性轴的距离 梁弯曲后的曲率,该式说明 ：线应变 和纤维与中性轴的距离 y成正比，同一层纤维的线应变相同，离中性层越远，纤维
5、的线应变越大；和梁弯曲后的曲率 成正比。,a,a,b,o1,o2,b,y,K1,K2,曲率半径,由纵向纤维间无挤压，则各条纤维均处于单向受力状态，因此，由胡克定律，有：,该式说明 ：正应力 和点与中性轴的距离 y成正比，同一层纤维的正应力相同，离中性层越远，点的正应力越大；和梁弯曲后的曲率 成正比。,弯曲正应力分布规律,弯矩为正时，正应力以中性轴为界，下拉上压；,弯矩为负时，正应力上拉下压；,中性轴上，正应力等于零,M,M,y,Z,O,x,M,在横截面上法向内力元素 dA 构成了空间平行力系。,dA,z,y,根据梁上只有外力偶 M 这一条件可知，上式中的 FN 和 My均等于零， 而 MZ 就
6、是横截面上的弯矩 M。,y,Z,O,x,M,dA,z,y,说明中性轴过形心,由式,得：,y,Z,O,x,M,dA,z,y,说明中性轴是截面的主轴,由式,得：,由式可知，中性轴是截面的形心主轴,对称轴为截面的形心主轴，弯曲变形时的中性轴就是对称轴,y,Z,O,x,M,dA,z,y,由式,得：,该式说明，曲率与弯矩成正比，与EIZ成反比。,IZ截面对中性轴的惯性矩,EIZ弯曲刚度（抗弯刚度）,IZ截面对中性轴的惯性矩,M截面的弯矩,y求应力的点到中性轴的距离,中性轴是截面的形心主轴，弯曲变形时的中性轴就是对称轴,M,正比,反比,梁的正应力公式,IZ截面对中性轴的惯性矩,M截面的弯矩,y求应力的点到
7、中性轴的距离,注意： 1、此公式是在纯弯曲状态下推导出来的，对于剪力弯曲（FS0）仍然适用； 2、对其它对称形状的梁也适用（工字型、T形等）； 3、对非对称截面梁，只要荷载作用在过形心主轴的纵平面内，也适用，但要先求出中性轴的位置。,二、纯弯曲梁横截面上的正应力,IZ截面对中性轴的惯性矩,M截面的弯矩,y求应力的点到中性轴的距离,二、纯弯曲梁横截面上的正应力,y,y,y,y,中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。,拉,压,拉,压,三、对中性轴的惯性矩的计算,矩形截面,Z,b,h,实心圆,空心圆,Z,d,一、梁的最大正应力,1、梁的危险截面,梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上,危险截面位于梁中部
8、,危险截面位于梁根部,2、梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处, 6-2 梁的正应力强度条件及其应用,IZ截面对中性轴的惯性矩,y求应力的点到中性轴的距离,y,Z,C,WZ称为弯曲截面系数（抗弯截面模量），只与截面形状和尺寸有关，单位m3,令：,2、梁的最大正应力,梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处,矩形截面梁横截面上正应力分布图如图所示,二、正应力强度条件,注意：如果材料的,max所在的截面称为危险截面,对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的,二、正应力强度条件,应分别计算出最大拉应力和最大压应力，分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力,应分别以横
9、截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,对于中性轴不是对称轴的横截面，例如T形截面,求得相应的最大拉应力和最大压应力,二、正应力强度条件,（两者有时并不发生在同一横截面上）,二、正应力强度条件,三、弯曲截面系数Wz的计算,矩形截面,圆形截面,注：h是与中性轴垂直方向的长度,四、正应力强度条件的应用,先确定梁的许可弯矩，再由弯矩与荷载之间的关系确定荷载,四、正应力强度条件的应用,步骤：,1、内力计算，求出最大弯矩，确定危险截面的位置； 2、代入强度条件进行计算,例 圆截面简支梁AB受均布荷载作用，试确定AB截面的直径。已知q = 1KN/m，许用应力 = 140MPa。,q,1
10、600,A,危险截面在梁的跨中,由强度条件,解：先进行内力计算，作出弯矩图,B,FRA,FRB,M图,故选取直径为30mm,例题：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为C =160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm，校核梁的强度。,P1=9KN,P2=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,解：先进行内力分析，作弯矩图,P1=9KN,P2=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,最大正弯矩在C截面上,最大负弯矩在B截面上,分析：截面关于中性轴非对称，拉压许用应力不相等，所以要分别校核最
11、大拉应力和最大压应力是否满足要求,P1=9KN,P2=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,+,-,2.5KN.m,4KN.m,C,B,最大拉应力,t = 30MPa ，C =160MPa Iz =763cm4 ，y1 =52mm,可能在B 截面，可能在C截面，分别计算,B 截面,C截面,最大拉应力发生在C截面，且满足强度要求,+,-,2.5KN.m,4KN.m,C,B,最大压应力,t = 30MPa ，C =160MPa Iz =763cm4 ，y1 =52mm,发生在B 截面,B 截面,最大压应力发生在B截面，且满足强度要求,按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件,一、合理配
12、置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值,主要措施：, 6-3 梁的合理截面形状及变截面梁,所谓合理，既要满足强度要求，又要经济,二、合理选择截面形状,三、合理设计梁的外形,P/2,P/2,一、合理配置梁的荷载和支座可以降低梁的最大弯矩值,受均布荷载的简支梁,当两端支座分别向跨中移动 a=0.207l 时,二、合理选择截面形状,当弯矩已定时，横截面形状，应使弯曲截面系数与面积之比尽可能地大。即 Wz/A 较大，则截面的形状就较为经济合理。 一般要使截面面积分布在距中性轴较远的地方。,如：工字形 、矩形、圆形、圆环形等截面。但圆环形比圆形，工字形比矩形，矩形竖放比平放更合理。,三、合理设计梁的外形
13、,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则称为 等强度梁 。,由于梁上的弯矩是不相等的，要达到等强度，需设计成变截面梁,如厂房建筑中常用的鱼腹梁。,（1）截面上各点切应力的方向都平行于截面的剪力； （2）切应力沿截面宽度方向均匀分布，即距离中性轴等距离各点的切应力相等。,一、假设, 6-4 矩形截面梁的切应力,由弹性力学可知，对狭长矩形截面（高度h大于宽度b），以上假设成立,弯矩产生 正应力 剪力产生 切应力,两横截面上均有剪力和弯矩。,二、狭长矩形截面（hb）切应力公式的推导,两横截面上的弯矩不等 。所以两截面上到中性轴距离相等的点（用 y 表示）其正应力也不等。,m,n,
14、n,m,o,h,b,dx,x,y,z,二、狭长矩形截面（hb）切应力公式的推导,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,此面上也就有切应力,m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,y,A,B,A1,B1,B,B1,在 AB1面上的 AA1 线各点处有切应力。,根椐切应力互等定理，在横截面上 横线 AA1上也应有切应力。(所求),m,n,n,m,o,h,b,dx,x,y,z,y,A,B,A1,B1,B,B1,假设：, 横截面上距中性轴等远的 各点处切应力大小相等。, 各点的切应力方向均与剪力 （截面侧边）平行。,所以横截面 AA1 线上各点的 切应力相等, 且与侧边平形。,根椐切应力互等定理，纵截面AB1上，AA1 线上各点的切应力相等。,且纵截面 AB1上的切应力 均匀分布。,由静力平衡方程，求出 dF
