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1、函数的极限,一、自变量的变化过程,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,三、自变量趋向有限值时函数的极限,四、函数极限的性质,一、自变量的变化过程,播放,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,通过上面演示实验的观察:,问题:,1. x+时f(x)的极限,定义 设 f(x) 在 x a (a0)有定义 , 对任意给定的正数 ,总存在正数 X , 当 x X 时，恒有| f(x)A|，则称常数 A 是函数 f(x) 当 x+ 时的极限 .,几何意义,2. x 时f(x)的极限,几何意义,3. x 时f(x)的极限,定理：,几何解释:,例1,证,例如：,三、自变量趋向有
2、限值时函数的极限,问题:,2.几何解释:,注意：,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,基本初等函数，在其定义域内的每点处的极限都存在且等于函数在该点处的值.,3.单侧极限:,例,左极限,右极限,左右极限存在但不相等,例5,证,问题：什么时候该考虑用左右极限？,分段函数的分段点，某些三角函数、反三角函数、指数函数的特殊点处。,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,四、函数极限的性质,2.（局部）有界性,1.唯一性,定理(局部保号性),推论1,3.不等式性质,推论3,推论2(保序性),4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,证,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.,例7,证,二者不相等,五、小结,函数极限的统一定义,(见下表),一、填空题:,练 习 题,练习题答案,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,例5,证,例2,证,例3,证,
