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1、 1 (b) A B b a d mBg c mAg O x 9-2 图示 A、B 两物体的质量分别为 m1 与 m2 ，二者间用一绳子连接，此绳跨过一滑轮，滑轮半径为 r。如在开始时，两物体的高度差为 h，而且 m1 m2 ，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相同的高度时所需的时间。 解：分别取重物 m1 ，m2 为研究对象，受力和运动分析如图b，分别列出两物体在铅垂方向的运动微分方程 1111mamgF= (1) 2222maFmg= (2) 12aaa= 不计滑轮质量，故 12FF= 由式（1）、（2），解得 1212mmagmm=+ a 为常量，二物体以相等的加速度反向作匀加速运
2、动，且由静止释放，即 0 0v = 21212sssat= 当二物体达到相同高度时，每物体均经过 122hss=的路程。 1212()2()hmmstagmm+= 10-3 图示水平面上放一均质三棱柱 A，在其斜面上又放一均质三棱柱 B。两三棱柱的横截面均为直角三角形。三棱柱 A 的质量 mA 为三棱柱 B 质量 mB 的三倍，其尺寸如图示。设各处摩擦不计，初始时系统静止。求当三棱柱 B 沿三棱柱 A 滑下接触到水平面时，三棱柱 A 移动的距离。 解：取 A、B 两三棱柱组成一质点系为研究对象，把坐标轴 Ox 固连于水平面上，O 在棱柱 A 左下角的初始位置。由于在水平方向无外力作用，且开始时
3、系统处于静止，故系统质心位置在水平方向守恒。设 A、B 两棱柱质心初始位置（如图b 所示）在 x 方向坐标分别为 1 3axc= 223xdb= 当棱柱 B 接触水平面时，如图c 所示。两棱柱质心坐标分别为 OrhAB(a)(b)m2gm1gF1F2AB a2a1(a) qA B b a 2 A B b a d mBg c mAg O l x (c) 13axlcl=2 ()3bxla= 系统初始时质心坐标 2()()2333()ABABcABABammbmambxm mm+ +=+ 棱柱 B 接触水平面时系统质心坐标 ()() 3()(3)333()ABABABBcABABabmlmlamm
4、lammmbxm mm+ +=+ 因 ccxx= 并注意到 3ABmm= 得 4abl =10-11 均质杆 AG 与 BG 由相同材料制成，在 G 点铰接，二杆位于同一铅垂面内，如图所示。AG=250 mm，BG=400 mm。若 GG1=240 mm 时，系统由静止释放，求当 A，B，G 在同一直线上时，A 与 B 两端点各自移动的距离。 解：本题水平方向质心守恒，位置不变。设杆件的线密度r，建立坐标系，设 A 点位移为 SA，B 点位移为 SB。 135250(16070)400250400155 mmcxrrrr+=+=当 A，B，G 在同一直线上时，有 2504001552AS+=
5、即质心在 AB 中点，于是 390650BASS+= 得 170 mmAS = 90 mmBS = GG1A B(a)(b)GG1A B70 320C155SA SBCy 3 10-12 图示滑轮中，两重物 A 和 B 的重量分别为 P1 和 P2。如物体 A 以加速度 a 下降，不计滑轮质量，求支座 O 的约束力。 解：对整体进行分析，两重物的加速度和支座 O 的约束力如图b 所示。由动量定理知： 2112BANPPaaFPPgg= 其中， Aaa= ， 2B aa = 解得 12121(2)2NFPPPPag=+ 11-1 质量为 m 的点在平面 Oxy 内运动，其运动方程为 cosxat
6、w= ， sin2ybtw= 其中 a，b 和 为常量。求质点对原点O 的动量矩。 解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 sin2cos2xydxvatdtdyvbtdtwwww=（1） 质点对点 O 的动量矩为 3()()(sin)sin22cos2cos2cosOOxOyxyLMmvMmvmvymvxmatbtmbtatmabtwwwwwwww=+=+=+=用矢量表示有 ()()()OLrmvxiyjmximyjxmyymxk=+=vv vvvvvv & 其中x&，y&由式（1）确定。 (a)ABOABO1Pv2PvNFvAavBav(b) 4 OOwAR400(a)OOwAR400
7、rw(c)OOwAR400rw(b)11-2 无重杆 OA 以角速度 o 绕轴 O 转动，质量 m = 25 kg，半径 R = 200 mm 的均质圆盘以三种方式安装于杆 OA 的点 A，如图所示。在图a 中，圆盘与杆 OA 焊接在一起，在图b 中，圆盘与杆 OA 在点 A 铰接，且相对杆 OA 以角速度 r 逆时针向转动。在图c 中，圆盘相对杆OA 以角速度 r 顺时针向转动。已知 O =r =4 rad/s ，计算在此三种情况下，圆盘对轴 O 的动量矩。 解： （1） 在图a 中，轮 A 为绕 O 点的定轴转动，其转动惯量和动量矩分别为： 22219(2)22OJmRmRmR=+= 22
8、918 kgm/s2OOOOLJmRww= （2） 在图b1 中，轮 A 作平面运动，取轮心 A 为基点，则由公式 （11-22）有 2222122()2520 kgm/sOAAaOOrOLmvRJmRRmRmRwwwww=+=+= 其中， aOrwww=+ 为绝对角速度。 （3） 在图c1 中，因轮 A 绕 A 点的绝对角速度 0aOrwww=，故轮 A 绕 O 的运动为圆周曲线平移。由公式 （11-22）有 2OAAaLmvRJw=+ 因 0aOrwww= 所以 0AaJw= 2224(40.2425)16 (kgm/)OAOLmvRRmsw= OOwAR2Rrw(b1)vAOOwAR2R
9、rw(c1)vA 5 11-5 如图a 所示两带轮的半径为 R1 和 R2，其质量各为m1 和 m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为 M 的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为 M 的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。 解：分别取两皮带轮为研究对象，其受力如图b、c 所示，其中 1122TTTTFFFF= （1） 以顺时针转向为正，分别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有 1 1212 122()()TTTTJMFFRJMFFRMaa= （2） 1221:RRaa= （3） 式（1）、（2）、（3）联立，解得
10、121 211222RMMRRJJRa=+式中 211112JmR= ，222212JmR= 代入上式，得 211 212122()()MRMRmmRRa=+ 11-12 重物 A 质量为 m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮 D，并绕在鼓轮 B 上，如图a 所示。由于重物下降，带动了轮 C，使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓轮半径为 r，轮 C 的半径为 R，两者固结在一起，总质量为 m2，对于其水平轴 O 的回转半径为 。求重物 A 的加速度。 解：分别取重物 A 和鼓轮 B 为研究对象，其受力和运动分析如图b、c 所示。重物 A 的运动微分方程： 11ATmamgF= （1） 轮B 作
11、平面运动，其运动微分方程为 2 OTmaFF= （2） 22 TmFrFRra=+ （3） 由于轮子只滚不滑，故有 R1R2M M(a)(b)MFT1FT2m1gO11aFO1yFO1xT2F2aT1FO2m2gFO2yFO2x(c)MRrOBACD(a) 6 ORaa = （4） ()ABaaRra=+ （5） 式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）联立求解，得 2122212()()()AmgrRamRrmRr+=+ 11-14 均质圆柱体 A 的质量为 m，在外圆上绕以细绳，绳的一端 B 固定不动，如图a所示。当 BC 铅垂时圆柱下降，其初速为零。求当圆柱体的轴心降落了高度 h 时轴心
12、的速度和绳子的张力。 解：取均质圆柱体 A 为研究对象，其受力如图b 所示，根据刚体平面运动微分方程 ATmamgF= （1） ATJFRa = (设轮 A 半径为 R) （2） 由题意知 AaRa= 代入式（1）、式（2）解得 13TFmg= 23gRa = 23AaRga= 由于加速度 aA 为常量，由运动学公式知 2233AAvahgh= Am1gaAFT(b)OBCam2gFNFSFTaO(c)ABCh(a)hAChaAmg ayOFTvA(b)h 7 11-23 均质圆柱体的质量为 m，半径为 r，放在倾角为 60 的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点 A，此绳和 A 相连
13、部分与斜面平行，如图所示。如圆柱体与斜面间的摩擦因数为 13f = ，求圆柱体质心的加速度 aC。 解：取均质圆柱为研究对象，受力如图b 所示；圆柱作平面运动，其平面运动微分方程为 ()CTsJFFra = （1） o0cos60NFmg= （2） osin60CTsmamgFF= （3） 且 sNFFf= （4） 圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿绳 AD 向下滚动，且只滚不滑，所以有 Cara= （5） 13f = 式（1）（5）联立，解得 0.355Cag= （方向沿斜面向下） 12-2 圆盘半径 r = 0.5 m，可绕水平轴 O 转动。在绕过圆盘的绳上吊有两物块 A，B，质量分别为 mA=
14、3 kg，mB=2 kg。绳与盘之间无相对滑动。在圆盘上作用一力偶，力偶矩 M=4 的规律变化（M 以 Nm 计， 以 rad 计）。求由 = 0 到 = 2 时，力偶 M 与物块 A，B 重力所作的功之总和。 解：轴承处约束力（图b 中未画出）为理想约束力，不做功。做功的力和力偶矩有M，mAg，mBg： 20224()28()2819.820.5110 (J)ABABWdmmgrmmgrpjjppp=+=+=+=CB60mgFNaaCFTD Fs(b)(a)AC2rB60mg(b)OABjMrmAgmBg(a)OABjM 8 12-4 图示坦克的履带质量为 m，两个车轮的质量均为 m1。车轮被看成均质圆盘，半径为 R，两车轮间的距离为 R。设坦克前进速度为 v，计算此质点系的动能。 解：系统的动能为履带动能和车轮动能之和。将履带分为四部分，如图b 所示。履带动能： 2II IIIIV12 iiTmvTTTT=+履 由于 v
