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1、北京交通大学 硕士学位论文 线性序集的Cartan矩阵问题 姓名：王艳凤 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：李思泽 20080601 中文摘要 摘要：关于拟遗传代数的对偶扩张代数及其R i n g e l 对偶代数的C a f t a n 矩阵问题， 是拟遗传代数理论中重要而有趣的课题，许多重要的公开问题都与之有密切联系。 本论文讨论了由有限线性序集人。= l f ，箭向歹一f 是满射而i 专歹是单射。 证明：由定理3 1 与引理3 2 可得。 定理3 2 2 记足= ( 乃) 。为r 。的C a f t a n 矩阵，则是是一个对称矩阵。且对任意 i - I 1 f ，刀，有递推
2、公式：，i = 2 一，；= + 2 川一1 ( f 2 ) ，其中约定：2 一l _ 1 ， t = l 而对朋 1 ，2 一= 0 。因此： 瓦= 1l 12 22 + 1 2 ”一2 2 一一2 + 2 “一3 2o 2 + l 2 2 + 2 2 4 1 + 2 一一3 + 2 4 4 2 4 2 2 1 2 2 “一3 2 ”一1 - I - 2 “3 + 2 4 4 ： 2 2 ( ”一2 ) + 2 2 ( ”一3 ) + + 2 4 + 2 2 + 2 证明：根据图2 可得，当以= 3 时，有箭图： 3 1 2 所以各个投射模形式如下： l P O ) = 3 P ( 2 )
3、= 2 2 3 3P ( 1 ) P ( 3 ) = 3 P ( 1 )P ( 2 ) 咫般 $ 3 尸( 3 ) = 4 P O ) P ( 2 ) 亦可求出相应的四阶C a r t a n 矩阵： 2 4 P ( 2 ) = 3 4 P ( 1 ) 以4 ) = 4 尸( 1 ) P ( 2 ) P ( 3 ) 1 4 3 4 2 4 3 4 = DH 当万= 5 时，有箭图： 尼= 1124 1236 2 3611 461 12 2 5 ， 1 23 4 此时各个投射模相应形式如下： 3 P O ) = 5 2 5 5 2 3 5 5 4 3 4 5 5 5 只2 ) ：3 尸( 3 )
4、 2 1 5 4 尸( 1 ) 尸( 2 ) 5 尸( 1 ) 4 P ( 4 ) = 5 尸( 1 ) P ( 2 ) 尸( 3 ) 可得相应的五阶C a f t a n 矩阵为： 尸( 5 ) = 5 P ( 1 ) P ( 2 ) P ( 3 ) P ( 4 ) 毛= 11 12 23 46 81 2 2 4 8 361 2 6112 2 1 12 24 3 2 24 38 6 对于一般的情况，即刀= k 时，对应的箭图如下所示： k $ 1 ，i ，k - 1 我们可以仿照上述过程写出各个箭图所对应的投射模，然后进一步求出其 C a r t a n 矩阵，其对应关系正如引理中所表述，因
5、此可以求出其C a r t a n 矩阵如下所 示： R = b 1 综上， 1 2 22 + l 2 + 12 2 + 2 2 一2 + 2 一32 一1 + 2 一3 + 2 一4 定理得证。 2 一2 2 一2 + 2 一3 2 上一1 + 2 一3 + 2 一4 2 2 ( 一2 ) + 2 2 ( 一3 ) + + 2 4 + 2 2 + 2 推论3 2 3 若r 为有限线性序集的对偶扩张代数的R i n g e l 对偶，则N a k a y a m a 猜 想成立。 证明：由上述过程可见r 对应的C a t - t a n 矩阵的行列式值为1 ，证毕。 3 2 1R i n g
6、e l 对偶代数的C a f t a n 矩阵的性质 推论3 2 4 代数r 。的C a t t a n 矩阵咒的顺序主子式均为1 。 证明：根据定理3 2 2 ，我们可以得到R 的各阶顺序主子式为 R = ，R = 仁三l ，马= 巨三引，R = 1124 l236 2 361 1 4 61 12 2 所以，为计算R 的各阶顺序主子式的值，只需计算行列式 互= 112 2 卜2 1 22 + 1 2 五+ 2 一3 22 + 12 2 + 1 2 。1 + 2 一3 + 2 卜4 ： ： ： 。： 2 l 一2 2 i 一2 + 2 一32 卜1 + 2 i 3 + 2 l - 4 2 2
7、( 一2 ) + 2 2 ( 卜3 ) + + 2 4 + 2 2 + 2 通过计算可得蜀= 1 ，O = l ，2 ，) ，故R 的各阶顺序主子式为1 。 3 2 2R i n g e l 对偶代数的C a r t a n 逆矩阵 定理3 2 5 记代数1 1 。的c a n 锄矩阵R 的逆矩阵为呢，形= ( ) 。 则对任意1 f ，J 雄，有： 即： 形= 。，f 以i 1 若，i 2 t 刀_ ， 妥缸 以1 “ 一3万一4 0- 1 万一3以- 1刀一4 01 万一4 刀一4 万一2 0- 1 000 21 11 一l一1 1 恐般 计算R 的逆矩阵，得到： 嵫= - 1 G 髑 垲
8、三2 刘 L 4 61 1 2 2 j 呢= I ! l 1 0 - 1 ( _ = ； 季 季 ；1 e = 后七- 1七一2 21 七一1 七- 1女一2 21 七一2 后- 2 七一2 21 ： ： 22221 11l11 那么q 一2 以+ 2 乓= 等价于 + 2 即哌= kk - 1k 一2 21 七一1k - 1k 一2 21 k 一2k - 2k 一2 21 0OO l0 00O O1 kk - 3k - 4 七一3| | 一1七一4 七一4 七一4七一2 一2 1l1 11 11l 11 1l1 1l ll1 11 1l1 l1 OO0 21 一lll一ll 01 01 01
9、 O00 21 1 11一11 由此猜想睨的一般形式为： 由于疋形= 1 1 l2 22 + l 2 一一22 “一2 L2 ”一3 呢= 成立。 nn 一3 刀一4 01 嚣一3n - 1n 一4 0- 1 刀一4 弗一4 刀一2 0一l 00O 21 1一l一1一l 1 2 2 + 1 2 2 + 2 2 ”一1 + 2 4 3 + 2 ”- 4 2 ”一2 2 4 2 + 2 4 3 2 ”一1 + 2 “一3 + 2 4 4 2 2 ( “一2 ) + 2 2 伽一3 ) + + 2 4 + 2 2 + 2 一 一 一； O O O ； 4 4 2 一 一 一； 露后七 3 1 4 一
10、 一 一； 老七老 ；1 l 3 4 ；2。 七肛肛；-。-I = ；2们叫引 O 0 O ； 2 1 0 O l ； ；2 l 0 1 O ； L l 0 O ； 行，l - 3n 一4 0- 1 ，l 一3刀- 1n 一4 0- 1 以一4 刀一4n 一2 01 ：。： O00 2一l 一11一l一11 令E = R 形= ( 勺L 。，则得： f1 铲t0 当i = 歹 当i y 即R 乘以呢后所得到的矩阵为单位矩阵，所以形是兄的逆矩阵，命题得证。 推论3 。2 。6 代数r 。的C a f t a n 矩阵咒的逆矩阵睨的行列式的值为l ，逆序主子 式的值也为1 。 证明：为计算呢的第f
11、 个逆序主子式，只需计算行列式 l f 一3 D - ，= 卜4 f 一3 f 一1 f 一4 f 一4 f 一4 f 一2 此行列式的值D - ，= 1 可以直接计算得到，由定理3 2 5 可知D ，恰好是代数r 。 的C a f t a n 矩阵民的逆矩阵形的行列式，故其值等于l 。 4 结论 本论文讨论了一类由有限偏序集所确定的拟遗传代数的性质，特别是线性序 集 l 2 - - l 1 ) 的对偶扩张代数及其R i n g d 对偶代数，我们分别求出了其 C a r t a n 矩阵的形式，并进一步对其性质进行了研究，尤其对该线性序集的对偶扩张 代数和R i n g e r 对偶代数的C
12、 a r t a u 逆矩阵问题，给出了具体的构造算法，在一定程度 上也对逆矩阵的性质进行了研究。这为今后在此方面进行类似的研究提供了某些 理论基础与操作手段。 我们主要得出了如下结果：记线性序集A = l 2 嚣一l 为A 。，其对偶 扩张代数A = A ( 人。) 为A ，A 。的R i n g e l 对偶代数为F 。；记A 。的C a f t a n 矩阵为q ， A 。的C a r t a n 逆矩阵为E ，记L 的C a r t a n 矩阵为R ，L 的C a f t a n 逆矩阵为呢， 则它们分别具有如下形式： q = 咒= 刀 刀一1 靠一2 2 1 疗一1 刀一1 珂一2
13、 2 1 刀一2 t l - 2 靠一2 2 1 1l l2 22 + l 2 8 2 2 ”- 2 + 2 “一3 形= 2 2 + l 2 2 + 2 2 “一1 + 2 “一3 + 2 “一4 或= 110 1 21 0 一l 2 00O 0 OO 0 00 0 00 - 1 0O 0 2 1 0一l2 2 4 2 2 “一2 L 2 4 3 2 ”一1 + 2 “一3 + 2 “一4 ： 2 2 ( ”一2 ) + 2 2 ( “一3 ) + + 2 4 + 2 2 + 2 玎以- 3 行一4 O一1 刀- 3刀一1刀一4 0- 1 r l 一4 力一4 刀一2 0- 1 ： O00
14、21 1 1 1一l1 3 0 1 l 1 l 111 1 l 2 2 2 ；2 1 同时我们对上述四个矩阵做了详细的研究，得到了如下的结果： e 的各阶顺序主子式的值依次为_ ，z ，刀I ，万一2 ，2 ，1 ，而其各阶逆序主子 式的值均为1 ；E 顺序主子式的值均为l ，而其逆序主子式依次为2 ，3 ，n ，l ； 足的顺序主子式均为1 ；的行列式的值为l ，逆序主子式的值为1 。 参考文献 【l 】S E i l e n b e r g A l g e b r a so f c o h o m o l o g i c a U yf l n i t ed i m e n s i o n ，C o m m e n t M a t h H e i r 2 8 1 9 5 4 3 1 0 - 3 1 9 2 】J P J a l 3 Sa n dT N a k a y a m a O nt h ed i m e n s i o no fm o d u l e sa n da l g e b r a s N a g o y aM a t h J 1 1 1 9 5 7 6 7 7 6 【3 】V m b e r gE B L i n e a rR e p r e s e n t a t i o mo fG r o u p s B i r k h a e u s e r
