第8节课 飞行器数学模型及其自然特性讲义

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1、飞行控制系统,第八节课(20160413) fk.906 (feikong),复习（4）飞机纵向运动方程线性化,前提：要求飞机处于小扰动运动状态中 假定飞机处于某一定常、稳定、直线运动状态 不计空气密度 变化的影响即：忽略高度影响 方法：泰勒级数展开，并保留一阶小量项或用全微分方法。,复习（4）飞机纵向运动方程线性化,举例：对方程 进行线性化处理。 线性化步骤： 绕稳定状态进行全微分 以 代替d，并归纳含同一增量的项； 略去高度变化影响，引入简单符号： ，且等式两边同除以 ，并引入大导数，则有,复习 线性化处理步骤一,复习 线性化处理步骤二,复习 线性化处理步骤三,复习（5）纵向运动的动力学方

2、程式：,选定稳定状态 ： 按照一定的线性化方法进行处理，可得：,复习（6）纵向运动方程的状态空间表达式,（6）纵向运动方程的状态空间表达式,纵向输入变量为： 状态变量为： 输出变量为：,（6）纵向运动方程的状态空间表达式,纵向输入变量为： 状态变量为： 输出变量为：,2.2.2 纵向运动的模态,分析问题的基本思路： 借助于拉氏变换与行列式计算技术，求各被调量 对各控制量 的传递函数及 的一般表达式； 由传函及 表达式，分析纵向运动特征方程根的特点及过程特点，并分析纵向运动的物理成因。,对于线性时不变系统 进行拉普拉斯变换后，有下列方程： 由传递函数的定义：,2.2.2 纵向运动的模态,（1）纵

3、向线性化小扰动方程,参见书P73,（2）纵向运动的传递函数,采用行列式法可以求出下列传递函数 研究升降舵为输入的传递函数,（2）纵向运动的传递函数,同理可得：,其中： 长周期运动的时间常数； 长周期运动的阻尼比 短周期运动的时间常数； 短周期运动的阻尼比 ： 传递函数的传递系数； ： 传递函数分子时间常数； ： 传递函数的传递系数； ： 传递函数分子时间常数； ： 传递函数的阻尼比 ： 传递函数的传递系数； ： 传递函数分子时间常数；,纵向运动的特征方程,（3）纵向运动模态,特征方程一般是由两对复根组成，纵向运动通常包括两个运动模态：短周期模态与长周期模态(P84图2-7) 短周期：由 决定的

4、复根，记为 （大复根）。对应周期短、频率高的运动。其对应的瞬态分量为： ，其中 周期为：,（3）纵向运动模态,长周期：由 决定的复根，记为 （小复根）。对应周期长、频率低的运动。（也叫浮沉运动或起伏运动）其对应的瞬态分量为： ，其中 ， 周期为：,（3）纵向运动模态,(2) 长、短周期在各量中的比例(P84) 在 过程中以短周期运动为主； 在 中则是以长周期运动为主； 在 中，长、短周期均占很多，两种运动差不多。,将状态变量重新排序，则纵向运动方程可写为：,例：有纵向运动方程如下：,研究初始条件为t=0时， ， 的扰动运动的解(P84图2-8)。,用拉氏变换方法可以解得：,由此可见： 表达式中

5、第一项为短周期模态； 第二项为长周期模态。 在由三式中各模态前的系数的大小可得： 中长周期模态占主要地位； 中短周期模态占主要地位； 中长短周期模态均等。,2.2.4 飞机自然特性分析,长、短周期的成因,由前方程： 与 有关，所以长周期是反映切向力的平衡过程； 与 有关，所以短周期是反映力矩平衡过程。 法向力的平衡过程中， （航迹倾斜角）中两种运动分量相差无几。,力、力矩平衡过程的物理解释,因为飞机本身质量大，机身的长细比大，而飞行速度又快，所以飞行速度的大小和方向改变难，而绕飞机重心的机体轴的转动则容易的多。,2.2.3 短、长周期运动模态的简化,（1）短周期运动模态的简化 此时认为飞行速度

6、变化不大， 。 纵向运动方程第一式切向力方程可以略去，其余两式中 由此可得：,短周期运动的近似传函,短周期运动的近似传函为： 短周期运动特征方程：,短周期运动的模态特征参数,短周期 不仅随飞机型号不同而不同，也随飞行高度及M数而变化。一般地说飞机越小， 越高。（约在1-7.35之间变化）在同一高度下，M数越高， 越高。相反同一M数下，H越高， 越小。 随M数（超音速段）、高度H的增加而减小。 飞机的短周期运动的固有频率 及阻尼比 应满足军用规范MIL-F8785C 具体分析参见书P86。,2.2.3 短、长周期运动模态的简化,（2）纵向长周期运动 认为短周期运动过程结束，忽略惯性力矩项和阻尼力

7、矩项 ， 忽略二阶导数项及 项：可见下式中的第三个式子简化为：,2.2.3 短、长周期运动模态的简化,长周期运动的近似传函：,长周期的 与短周期运动的固有频率正好相反，随速度的增加而减小，随高度的增加而增加。 与短周期运动的阻尼比相似，随高度的增加而减小，随速度的增加而增加。详见P88。,长周期运动的模态特征参数,2.2.4 飞机自然特性分析,（1）复频域分析 由 求得复根 由 求得复根 根据两个共轭复根在复平面的位置就可以决定飞机的稳定性及动态特性。 通常会用不同粗细的点画出飞行包线内的所有状态的特征根的位置,不仅能看出单个状态点的性能,而且可以分析不同状态点的变化趋势。,2.2.4 飞机自

8、然特性分析,2.2.4 飞机自然特性分析,（2）频域分析 绘制飞机的Bode图或开环频率特性图来分析闭环系统性能 例：某飞机在 作等速平飞，各大导数为：,2.2.4 飞机自然特性分析,（2）频域分析 由此可得：短周期固有频率为 长周期固有频率为 其频率特性图为：张明廉书图1-56,2.2.4 飞机自然特性分析,2.2.4 飞机自然特性分析,由图知： 的幅值在短周期固有频率处远比在长周期固有频率处的要小（约差70dB）。说明在短周期响应中飞行速度的变化很小，与前结论相同。而且在长周期频率处，幅值有-40dB/dec的变化，相角有 的衰减，说明在长周期频率处是一二阶振荡环节,2.2.4 飞机自然特

9、性分析,2.2.4 飞机自然特性分析,由图知： 的频率特性在长周期固有频率处变化很小 （这是因为 表达式中分母的长周期二次因式与分子的二次因式是相当接近的），而在短周期固有频率处非常接近于一个二阶震荡环节，说明 主要反映短周期频率特性。,2.2.4 飞机自然特性分析,2.2.4 飞机自然特性分析,由图知：长、短周期固有频率处 均具有相当的数值说明 无论是以长周期频率操纵飞机，还是以短周期频率操纵飞机都会引起 产生相当数量的变化。,2.2.4 飞机自然特性分析,（3）时域分析 飞机自然特性的时域分析，即为给飞机施加单位阶跃输入信号，测量其输出。可得如图所示结果： 由图可见：在短周期运动中， 的幅

10、值变化很小，长周期运动中 的幅值几乎为零。,2.2.4 飞机自然特性分析,2.2.5 定速静稳定性与定载稳定性,是描述飞机纵向静稳定的参数，称为定速静稳定性，因为它表示M数为常值时，迎角 变化引起俯仰力矩变化而决定的静稳定性。因为定速情况下， 的变化引起的升力L变化，相应的过载系数（ ）也变化，因此定速静稳定性也常称为按过载的静稳定性。,根据纵向短周期特征方程的根可得短周期模态稳定的条件为： 分析上式可见，由于在通常情况下导数 均为负值，飞行速度V为正值，因此只要 ，那么纵向短周期运动模态就是稳定的。又因为上面 与 的关系，所以有 纵向稳定。需要指出，有时即使 只要满足 纵向短周期模态稳定。,

11、纵向定载静稳定性条件：（按速度的静稳定性条件） 其物理意义为（定载稳定）: 飞行速度增加时，为满足 则迎角减小 。 如果定载不稳定，则长周期模态有单调发散的正根。 低速时，定载稳定和定速稳定相同。,2.2.6 油门杆的纵向动力学响应,为了简化分析，假设发动机的推力不直接依赖于飞行速度，且发动机的推力向量通过飞机的重心，则有： 和 ，还假设没有升降舵偏转输入，即， ，以及忽略掉俯仰角加速度 和由于俯仰角速度 和迎角速度 产生的阻尼力矩，即 ，此外考虑到 和 ，根据这些假设将纵向运动方程简化为：,传递函数为：,长周期运动的近似传函：,2.2.6 油门杆的纵向动力学响应,油门杆的纵向动力学响应的固有

12、频率和阻尼比如下： 由此可见，油门杆的纵向动力学响应与升降舵偏角的纵向长周期运动模态非常类似，即，改变发动机推力时，对长周期运动模态的影响将占绝对优势。,变化引起的各量的稳态值变化： 结论：油门杆前推 ，发动机推力增大，速度、迎角不变，但飞机俯仰角 发生变化，又因为 飞机爬升。,2.2.6 油门杆的纵向动力学响应,变化过程： 又因没有 偏转 只能回到原值， 由此可见，单纯改变油门只能在过渡过程中改变速度，而最终稳态速度和迎角均不改变。 若要平飞加速时，则应在加大油门后，随着飞行速度的增加逐渐推驾驶杆以减小迎角从而满足升力与重力的平衡。 如果加大推力是为了爬升，则应在加大油门的同时拉驾驶杆，使升降舵上偏，加快爬升速度。,反操纵问题,长周期模态不稳定使操纵飞机变得困难。例如要使飞机平飞加速，对于定载稳定的飞机来说，只要逐渐推杆即可，这样的操纵符合驾驶员的感觉，称为正常操纵。若飞机定载不稳定，那么加大油门使飞行速度增加后，飞机有自动低头的趋势，速度会自动增加，此时如驾驶员按正常操纵推驾驶杆，飞机将进入俯冲。为使飞机不致进入俯冲，必须拉驾驶杆以维持L=G。但不可拉杆太多，否则飞机减速过快，会自动进入大过载状态，可能引起结构上的破坏。这种操纵技巧较难掌握，此情况称为反操纵。飞行品质规范中，允许长周期模态不稳定，但要求发散不能太快。,