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1、渐 开 线 与 摆 线,设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角（单位是弧度）的一段弧 ，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是 的长，我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫渐开线的基圆。,以基圆圆心O原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系设基圆的半径为r，点M的坐标（x,y)由惟一决定。,取为参数，则点B的坐标为(rcos,rsin ),设e1是与 同向的单位向量，从而向量e1= (cos,sin ),设e2是与 同向的单位向量，所以 = （r）e2，同时 = (xrcos, y sin ),由图可知，e2 =（ sin , cos),(xrcos, y si
2、n )= （r）（ sin , cos),y =r(sin cos),注意：,4.基圆内无渐开线,3.渐开线的形状取决于基圆的大小,1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。,2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。,例1.有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22mm,求齿廓所在的渐开线的参数方程。,解：因为基圆的直径为22mm，所以基圆的半径为11mm，因此齿廓线的渐开线的参数方程为：,例2.当= ， 时，求出渐开线,X=cos + sin ,Y=sin cos,上的对应点A，B，并求出A，B的距离。,四、平摆线,探究： 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车
3、在笔直的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？,1、平摆线的定义,我们把定点P的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线。,当一个圆沿着一条定直线 无滑动地滚动时， 圆周上一个定点P的 轨迹是什么？,平摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。,上述问题抽象成数学问题就是：,O,D,A,E,B,P,C,2、平摆线的参数方程,取定直线为X轴，定点P滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。,设P(x,y)是轨迹上任意一点，此时圆转过 角，圆心位于A点， 则BAP= ，作ABOx，PDOx，PCAB。,那么，x=OD=OB-DB=OB-PC=r( -sin ),y=DP=
4、BA-CA=r (1 -cos ),所以，平摆线的参数方程为：,2、平摆线的参数方程,思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？,3、摆线,摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。,当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。,三、小结,1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时， 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为：,2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。,3、参数方程在研究摆线中的作用,
