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1、第1讲空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积最新考纲1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)；5.了解球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式知 识 梳 理1空间几何体的结构特征多面体(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面
2、是全等且平行的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形旋转体(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.(4)球可以由半圆面或圆面绕直径所在直线旋转得到.2.空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图3空间几
3、何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135)，z轴与x轴、y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半4柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧2rhVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR35.几何体的表面积(1)棱柱、
4、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同()(4)圆柱的侧面展开图是矩形()2(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C四面体 D三棱柱解析由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三
5、角形，故选A.答案A3以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D1解析由题意得圆柱的底面半径r1，母线l1.所以圆柱的侧面积S2rl2，故选A.答案A4(2014浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是()A90 cm2 B129 cm2 C132 cm2 D138 cm2解析由三视图画出几何体的直观图，如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S(463634)2333424353138(cm2)，选D.答
6、案D5(人教A必修2P28练习2改编)一个棱长为2 cm的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm3.解析由题意知正方体的体对角线为其外接球的直径，所以其外接球的半径r2(cm)，V球r334(cm3)答案4考点一空间几何体的三视图与直观图【例1】 (1)(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和C和 D和(2)正AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是_解析(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的
7、正方体，设A(0，0，2)，B(2，2，0)，C(1，2，1)，D(2，2，2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和，故选D.(2)画出坐标系xOy，作出OAB的直观图OAB(如图)D为OA的中点易知DBDB(D为OA的中点)，SOABSOABa2a2.答案(1)D(2)a2规律方法(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽即“长对正，宽相等，高平齐”(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系【训练1】
8、 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是()A棱柱 B棱台C圆柱 D圆台(2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，CD2 cm，则原图形是()A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形解析(1)(排除法)由正视图和侧视图可知，该几何体不可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD2OD224(cm)，CDCD2 cm.OC6(cm)，OAOC，故四边形OABC是菱形答案(1)D(2)C考点二空间几何体的表面积【例2】 (1)(2014安徽卷)一个多面体的三视图如
9、图所示，则该多面体的表面积为()A21B18C21D18(2)(2014大纲全国卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16C9 D.解析(1)由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分(如图所示)，其表面积为S6462()221.(2)易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R，则(4R)2()2R2，解得R，所以球的表面积为4，故选A.答案(1)A(2)A规律方法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积(
10、2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和【训练2】 (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2(2)一个几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个几何体的表面积为_解析(1)由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，设O，O1分别为下、上底面中心，且球心O2为O1O的中点，又ADa，AOa，OO2，设球的半径为R，则R2AOAO2OOa2a2a
11、2.所以S球4R24a2a2.(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半根据图中数据可知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为，母线长为2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为S1222(12)2(24)3.答案(1)B(2)3考点三空间几何体的体积【例3】 (1)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B.C1 D.(2)(2014辽宁卷)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A82 B8 C8 D8解析(1)如图，在正ABC中，D为BC中点，则有ADAB，又
12、平面BB1C1C平面ABC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD平面BB1C1C，即AD为三棱锥AB1DC1的底面B1DC1上的高VAB1DC1SB1DC1AD21，故选C.(2)直观图为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱，所以该几何体的体积为2321228.答案(1)C(2)B规律方法(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图
13、，然后根据条件求解【训练3】 (1)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABCA1B1C1的体积为_(2)(2014湖南卷改编)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于()A. B. C36 D.解析(1)(补形法)将三棱柱补成四棱柱，如图所示记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d2.则V三棱柱V四棱柱S四边形BCC1B1d424.第(1)题解析图第(2)题解析图(2)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，其中AC6，BC8，ACB90，则AB10.由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大即r2，故能得到的最大球的体积为r38，故选B.答案(1)4(2)B 微型专题空间几何体表面上的最值问题所谓空间几何体表面上的最值问题，是指空间几何体表面上的两点之间的最小距离或某些点到某一个定点的距离之和的最值问题将空间几何体表面进行展开是化解该难点的主要方法，对于多面体可以把各个面按照一定的顺序展开到一个平面上，将旋转体(主要是圆柱、圆锥、圆台)可以按照某条母线进行侧面展开，这样就把本来不在一个平面上的问题转化为同一个平面上的问题，结合问题的具体情况在平面上求解最值即
