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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的 函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点 , 所有收敛点的全体称为其 收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数 , 称 收敛 , 发散 , 所有 0x称 为其 收 0x称 为其 发散点 , ),2,1()( nxu n发散点的全体称为其 发散域 . 目录 上页 下页 返回 结束 为级数的 和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和 , 即 在收敛域上
2、, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 等比级数 它的收敛域是 ,11,( ），及 它的发散域是 或写作 .1x又如 , 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为 幂级数 , 其中数列 下面着重讨论 例如 , 幂级数 1,110xxxnn为幂级数的 系数 . 即是此种情形 . 的情形 , 即 称 目录 上页 下页 返回 结束 收敛 发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 0nnn xa则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛 . 反之 , 若当 的一切 x
3、 , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证 : 设 收敛 , 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 O x发 散 发 散 收 敛 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 , 0xx 收敛 , 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛 , 反之 , 若当 0xx 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之 . 假设有一点 1x 01xx 0x满足不等式 0xx 所以若当 0xx 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知 , 级数在点 故假设不真 . 的 x , 原幂级数也 发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛 , 与所设矛盾 , nnnnnn xxxaxa00nnn x
4、xxa00 证毕 目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在 ( , +) 收敛 ; 由 Abel 定理可以看出 , 0nnn xa中心的区间 . 用 R 表示幂级数收敛与发散的分界点 , 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时 , 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = + 时 , ,0 R 幂级数在 ( R , R ) 收敛 ; ( R , R ) 加上收敛的端点称为 收敛域 . R 称为 收敛半径 ， 在 R , R 可能收敛也可能发散 . Rx 外发散 ; 在 ( R , R ) 称为 收敛区间 . O x发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 目录 上页 下页 返回 结束 xaaxaxan
5、nnnnnnn 111 limlim定理 2. 若 的系数满足 ;1 R;R.0R证 : 1) 若 0, 则根据比值审敛法可知 : 当 ,1x 原级数收敛 ; 当 ,1x 原级数发散 . 即 1x 时 , 1) 当 0 时 , 2) 当 0 时 , 3) 当 +时 , 即 时 , 则 1x目录 上页 下页 返回 结束 2) 若 ,0 则根据比值审敛法可知 , ;R绝对收敛 , 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级数发 .0R对任意 x 原级数 因此 散 ,因此 的收敛半径为 说明 :据此定理 1l i mnnn aaR因此级数的收敛半径 .1R目录 上页 下页 返回 结束 对
6、端点 x = 1, 1l i mnnn aaR的收敛半径及收敛域 . 解 : 11nn1对端点 x = 1, 收敛 ; 级数为 发散 . .1,1(故收敛域为 例 1.求幂级数 l i mn级数为交错级数 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 求下列幂级数的收敛域 : 解 : (1) limlim1 nnnn aaR !1n 所以收敛域为 .),( (2) limlim1 nnnn aaR !n!)1( n 0所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定 : 0 ! = 1 !)1(1n目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 的收敛半径 . 解 : 级数缺少奇次幂项 ,不能直接应用定理 2,
7、比值审敛法求收敛半径 . lim)()(lim 1nnnn xuxu 2!)1(!)1(2nn2!2nn22)1()22()12(lim xnnnn 24 x14 2 x当 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 .21R14 2 x当)1(2 nxnx2故直接由 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 的收敛域 . 解 : 令 级数变为 nnnn aaR limlim1nn21)1(211 nn nnnnn 2)1(2l i m 1 2当 t = 2 时 , 级数为 此级数发散 ; 当 t = 2 时 , 级数为 此级数条件收敛 ; 因此级数的收敛域为 ,22 t 故原级数的收敛域为 即 .3
8、1 x目录 上页 下页 返回 结束 三、幂级数的运算 定理 3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 , 21 RR 令 )(0为常数 nnn xa 1Rx ,m in 21 RRR nnnnnn xbxa 00,)(0nnnn xba Rx ,0nnn xc Rx 则有 : nnnnnn xbxa 00其中 以上结论可用部分和的极限证明 . 目录 上页 下页 返回 结束 说明 : 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多 . 例如 , 设 ),2,1,0,1( 0 naa n ,3,2,0 ,1,1 10 nb bbn它们的收敛半径均为 ,R 但是 nxxx 21
9、其收敛半径只是 .1R目录 上页 下页 返回 结束 定理 4 若幂级数 的收敛半径 (证明见第六节 ) nnn xaxS0)( ,11 nn xan ),( RRx xxaxxSnx nnx dd)(0 00 ,1 10 nnn xna),( RRx 则其和函 在收敛域上 连续 , 且在收敛区间内可 逐项求导 与 逐项求积分 , 运算前后收敛半径相同 : 注 : 逐项积分时 , 运算前后端点处的敛散性不变 . 目录 上页 下页 返回 结束 解 : 由例 2可知级数的收敛半径 R +. 例 5. 则 11!)1()( nnnxxS)(xS故有 0)(e xSxxCxS e)( ,e)(1)0(
10、xxSS 得由 故得 的和函数 . 因此得 设 目录 上页 下页 返回 结束 例 6. 的和函数 解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x 1 时级数发 1)(nnxx xxx 1 1nnxx散 , 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 求级数 的和函数 解 : 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 0 1)(nnnxxS xnn xxx 0 0d1 xxxx 0d111) 10( x及 收敛 , 0111nnnxxx = 1 时级数发散 , 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0()0,1 x)(xS因此由和函数的连续性得 : )(xS而 x = 0 时级数收敛于 1, ,)1l n (1
11、 xx ,1 0x) 10( x及 ,1)1(lnlim0 xxx目录 上页 下页 返回 结束 例 8. 解 : 设 ,1)(22 nnnxxS 则 2112 nnnxx 21121nnnxx12 nnnxx 321nnnxxnnxnnxS 111121)(2目录 上页 下页 返回 结束 31 212)( nnnnnxxnxxxS 1nnnx 1 01 dnxn xx而 xxxnn d0 11 xxx0 1d)1ln( x 21S)2(212xxx 故 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 求幂级数收敛域的方法 1) 对标准型幂级数 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非
12、标准型幂级数 (缺项或通项为复合式 ) 求收敛半径时直接用 比值法 或 根值法 , 2. 幂级数的性质 1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与 也可通过 换元 化为标准型再求 . 乘法运算 . 例 3 例 4 目录 上页 下页 返回 结束 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续 ; 3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分 . 思考与练习 1. 已知 处条件收敛 , 问该级数收敛 半径是多少 ? 答 : 根据 Abel 定理可知 , 级数在 收敛 , 时发散 . 故收敛半径为 例 6 3. 求和函数的常用方法 利用幂级数的性质 例 7 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在幂级数 中 , nnaa 1 nn)1(2)1(221 1n 为奇数 ,2
