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1、第 18 卷第 3 期 数 学 研 究 与 评 论 Vol. 18 No. 31 9 9 8 年 8 月 JOURNAL OF MA THEMA TICAL RESEARCH AND EXPOSITION Aug . 1 9 9 8单 的 完 备 Lie 代 数 X杨 国 庆(烟台师范学院数学系 , 烟台 264025)摘 要 给出了一个 Heisenberg 代数与一个交换 Lie 代数的直和 0 的全形 0 和 0 的导子代数 Der 0 证明了 0 不 是一个完备 Lie 代数 ,但 Der 0 是一 个单完备 Lie代数 .关键词 完备 Lie 代数 ,全形 ,Heisenberg 代
2、数 .分类号 AMS(1991) 17B/ CCL O152. 51 引 言一个 Lie 代数称为完备 Lie 代数如果它的中心为零且所有的导子都是内导子 . 近几年完备Lie 代数理论的发展很快 ,在这方面取得了大量的成果 (可参看 2 6 ) . 但到目前为止 ,仍有很多完备 Lie 代数不被所知 ,因此寻找新的完备 Lie 代数仍是一个重要课题 . 本文正是通过交换 Lie 代数和 Heisenberg 代数而得到了另一类重要的完备 Lie 代数 . 本文中讨论的李代数总是复数域 C上的有限维 Lie 代数 12 主要结果定义 1 一个 Lie 代数 H 称为 Heisenberg 代数
3、如果 H 满足dim C ( H) = 1 , (211) H , H A C ( H) . (212)由 Heisenberg 代数的定义不难推出 ,若 H 为 Heisenberg 代数 ,则 H 的维数一定为奇数 1设 H 为一个 2 n + 1 维的 Heisenberg 代数 ( n 1) ,记 c 为 H 的中心元 1 在 H 中取一组基 p1 , p2 , , p2 n , c满足 pi , pn + j = ijc , pi , pj = 0 , pn + i , pn + j = 0 , i , j = 1 ,2 , , n ; pi , c = 0 , i = 1 ,2 ,
4、 ,2 n.设 为一个 m 维交换 Lie 代数 ,取 的一组基 x 1 , x 2 , , x m . 定义0 = H 0 中的换位运算为 :544X 1995 年 6 月 20 日收到 . 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. h1 + y1 , h2 + y2 = h1 , h2 ,其中 h1 , h2 H , y1 , y2 则 0 为 Lie 代数 ,且 p1 , p2 , , p2 n , x 1 , , x m , c为 0 的一组基1 定义 0 上的反对称双线性 型 如下
5、: ( pi , pn + j) = - ( pn + j , pi) = ij , i , j = 1 ,2 , , n , ( pi , pj) = ( pn + i , pn + j) = 0 , i , j = 1 ,2 , , n , ( pi , x j) = ( x k , x j) = 0 , i = 1 ,2 , ,2 n , k , j = 1 ,2 , , m , ( x j , c) = ( pi , c) = 0 , i = 1 ,2 , ,2 n , j = 1 ,2 , , m .则 对应基 p1 , p2 , , p2 n , x 1 , x 2 , , x m
6、 , c的矩阵为T0 =0 In 0- In 0 00 0 0 .将 0 上 的线性变换 A 在基 p1 , , p2 n , x 1 , , x m , c下的矩阵仍记为 A ,为方便起见 ,下面用矩阵代表 0 上的线性变换 .引理 1 设 D 为 0 上的线性变换 ,则 D 为 0 的导子的充要条件是 D 可以写成以下形式 :D =M P 0 0Q - M t + E 0 0N S A 0A 1 A 2 A 3 X ,其中 P , Q , M Cn n且 Pt = P , Q t = Q , N , S Cm n , A Cm m , A 1 , A 2 C1 n , A 3 C1 m ,
7、 C.证明 设 D 为 0 上的线性变换 ,由导子的定义 , D Der0 的充要条件是对 P x , y 0 有D x , y = Dx , y + x , Dy ,即 ( x , y) Dc = ( ( Dx , y) + ( x , Dy) ) c. 由此不难推出引理成立 1令0 = 1In 0 0 00 In 0 00 0 0 00 0 0 2d n, J + 20 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 Im 00 0 0 0se ,An 1 , 2 Cg e of H ,n =0 0 0 00 0 0 0N S 0 0A 1 A 2 A 3 0em DalN , S Cm n
8、 , A 1 , A 2 C1 nli 16 0,=M P 0 0Q - M t 0 00 0 A 00 0 0 0inM , P , Q Cn n , A Cm n且 Pt = P , Qt = Q ,tr A = 0 a .644 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 定理 1 1) 同构于半单 Lie 代数 sp (2 n , C) s ( m , C) ,其中 sp (2 n , C) 为辛代数 , s ( m ,C)为特殊线性李代数 .2) Der0 = + 0 + 且 为 De
9、r0 的极大半单子代数 称为 Der0 的 Levi 子代数 , = 0 +为 Der0 的极大可解理想 称为 Der0 的根基 13 = Der0 为 Der0 的极大幂零理想 称为 Der0 的幂零根基 定义 2 设 为 任一个 Lie 代数 ,Der为 的导子代数 定义 =G Der 中的换位运算为 y1 + D1 , y2 + D2 = y1 , y2 + D1 ( y2) - D2 ( y1) + D1 , D2 ,则 为一 个 Lie 代数 ,称为 Lie 代数 的全形 令1 =0 0 0 00 0 0 0N S 0 00 0 0 0m N , S Cm nn ,2 =0 0 0
10、00 0 0 00 0 0 00 0 A 3 0A 3 Cm m A方 便 起,3 =0 0 0 00 0 0 00 0 0 0A 1 A 2 0 0= A 1 , A 2 C1 n .引理 2 1) i , H ,( i = 1 ,2 ,3) 均为不可约 2模 2 1 2 = 3 = ad0 1 H = 3 2 3 = 1 3 = i , i = (0) , i = 1 ,2 ,3. 设 eij表示第 i 行第 j 列元素为 1 其余元素均为零的矩阵 ,在 中取元素如下 : = eii - en + i , n + i , i = 1 ,2 , , n ; n + j = e2 n + j
11、,2 n + j - e2 n + j + 1 ,2 n + j + 1 , j = 1 ,2 , , m - 1 ; n + m = 2 ni = 1eii + 2 e2 n + m + 1 ,2 n + m + 1 , n + m + 1 = mj = 1e2 n + j ,2 n + j .引理 3 设 为由 1 , 2 , , n + m + 1生成的子代数 ,则 可交换且为 0 的 Cartan子代数 . 设 3 为 的对偶空间 1 , 2 , , n + m + 1 3 满足( i ( j ) ) 2 n + m + 1i , j = 1 =D1 0 00 D2 0A 1 A 2
12、A 3,其中744 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. D1 =1 - 1 0 0 00 1 - 1 0 0 0 0 0 1 - 10 0 0 0 2n 为 n 阶方阵 ,D2 =2 - 1 0 0 0- 1 2 - 1 0 0 0 0 0 2 - 10 0 0 - 1 2=为 m - 1 阶方阵 ,A 1 = - 1 0 00 0 0, A 1 = 1 0 0- 1 0 0Gr , A 3 = - 1 12 - 1+ ,则 1 , 2 , , n + m + 1为 3 的一组基 1引理
13、 4 i = ei , i + 1 - en + i + 1 , n + i , n = en ,2 n , i = 1 ,2 , , n - 1 ; n + j = e2 n + j ,2 n + j + 1 , j = 1 ,2 , , m - 1 ; n + m = e2 n + 1 ,1 , j n + m + 1 = e2 n + m + 1 ,2 n + 1 ;- n + m =- n + m + 1 = (0) ,其中 = x 0) | h , x = ( h) x ,对所有的 h 0 为 0 的全形 .引理 5 1) 0 =+ ,其中 3 - (0) .2) 令 0 = n +
14、 m + n + m + 1 , 0 = 0 ,则 i + 0 = Ce2 n + m + 1 , i + 1 + C pn + i + 1 , i = 0 ,1 ,2 , , n - 1 ; 1 + + i - 1 + 2i+ + 2 n - 1 + n + 0 = Ce2 n + m + 1 , n + i + C pi , i = 1 ,2 , , n - 1 ; 1 + + n + 0 = Ce2 n + m + 1 ,2 n + C pn .对其余的 ,有 dim 1.3) n + m , n + m + 1及 i , 0| i = 1 ,2 , , n + m + 1生成了 0 .定理 2 0 不是一个完备 Lie 代数 .证明 由定理 1 ,有 0 = + 0 + 1 + 2 + 3 + H + 定义 0 上 的线性变换 D0 如下 :D0| + 0 = 0 D0| 1 = id| 1 D0| 2 = id| 2 D0| 3 = 2 id| 3 D0 ( c) = 2 c ,D0 ( pi) = e2 n + m + 1 , n + i , D0 ( pn + i) = - e2 n + m + 1 ,
