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1、磁 悬 浮 控制 系 统 局部 分 叉 特 性 及 控制 器 设 计 研究 妇 匕 宏徐健学 ( 西安交通大学非线性动力 学研究所.7 1 0 0 4 9 摘要 提出了 具有非线性磁力 及反馈控制的一类磁浮控制系 统动力学模 型. 分析表明， 由于非线性磁力的作用， 此类系 统将产生一次余维二分叉和二次 H o p f 分叉 及异 宿 分 叉 . 通 过 进一 步 理 设分 析 表明 此时 控制 器 参 数的 设 计 值将 直 接影响系统的稳定性; 且给出了 分叉参数条件、 分叉曲 线、 转迁集、 全开折平 面 相图. 最后 时实 际磁轴承系 统进行仿真，其结果与 理论分 析完 全相符.本文
2、的分析研究为此类控制系统的优化设计、稳定控制提供了理论依据. 关健词磁浮控制系 统，余维 二分叉， 稳定 控制 磁 悬浮 技术是一种主动隔离技术，由于 它具有不受枯着力限制， 适于高速运动， 无机 械 摩 擦 ， 磨损 小 ， 维 修 费 用 低， 噪 音小 ， 无 污 染 等 优良 特 性 ， 而 受 到 人 们 的 青 睐. 它已 在 很 多 领 域 得 到 应 用 III ， 其 理 论 研 究 也 逐 渐 深 人 ， 已 有 一 些 关 于 磁 悬 浮 系 统 理 论 的 研 究 ， 大 多 数 是 基 于 线 性假 设， 但实 际 上 其 非 线 性 是 不 可 避 免12 1 的
3、， 近 年 来 也 有 一 些 关 于 磁 浮 控 制 系 统 的 研 究 P - +1 ， 它 们 主 要 从 控 制 角度 出 发， 根 据 具 体 的 控 制目 标( 如: 磁 浮轴 承、 滋 浮 飞 轮、 磁浮 传输带等) ， 讨论如何设计控制 律， 改进控制器设计等， 但都没有从系统本质 的动力学特性进行分析. 本文 根据磁浮控制系统固 有的非线 性本 质特性， 建立了 其非线性动 力学模型， 且通过 理论分析，展示了其丰富的动力学特性，即一 次余维二 分叉和 二次H o p f 分叉和异宿分叉 特性，重点从理论上分析了 要实现稳定控制， 控制器参数如何设计， 给出了分岔曲 线， 转
4、 迁集，全开析平面 相图 且以 实际系统为例进行 仿真，证明了理论分析的 正确性. 控制系统动力 学模型 假设M为被悬浮 物体， 根据磁浮系统复杂的动态特 性， 考虑水平 方向， 当 采用电流控 制时，其力学模型为 m z , + c t x , ， F ( 1 ) m为质量，c , 为阻尼系数.且 ; -_ ,u on 2S 厅 李 川 一 (李 川 Z l 卜 a 一 : , / a 1 x , j ( 2 ) 国家自 然科学基金资助项目( N o . 1 9 6 7 2 0 6 2 式中 : k 。 为 真 空 磁 导 率， ” 为 线 圈 匝 数， S 为 磁 极面 积. 1 。 为
5、偏置 电 流 ， d 为 标 准 间 隙. 控制电流。 L 竺十 iR = U ， 设 线 圈 的 控 制 电 压 由 线 性 控 制 律 决 定 151 U = k , x , + k d z , 将式 ( 2) 和 ( 3) 、代人 式 ( 1 ) 且令 ( 3 ) c, _ c， I!,u anZSm - C 4m d = 尽 I = Y ,d= : ， k , d k d R 万 一 “ d , 4” a , L = “ ( a 、，尹、，产 气6 了.龟了. 。 斤 卜户 ( 1 十 户 1 1 x 十 c x= V日 I 一 I 丁尸 ， 一 I I L “一 x / , i +
6、x i J 夕 一 a ( a d z + a o x 一 Y ) 由 于 磁 力 为 一 个 非 线 性 函 数 ， 且x , ( ( d , i ( ( I o ， 用 幕 级 数 展 开， 且 将式( 5 ) 代 人 得 F = c , x + c , Y + c , x + c g x Y + c , X Y ( ) 其 中 : c , ， 4 刀 , c , = - 2 刀 , c , = 明IC 4 = - 6 刀 , c , = 夕 . 再 令 ; x , = x , x , ， z , x , ， Y “ 此 系统的状态方程可写为: 戈 I =x , z , = C 3x ，
7、一 C x 2 + c 2 x 3 + C 3x r + C 4 x 矛 x 3 + c 5 X Ix 爹 * ， = + x 2 + a p x , 一 x 3 ) ( 8 ) 可 见 ， 此 非 线 性控 制 系 统 是 一 个 含 参( a d , a p ) 非 线 性 动 力 系 统. 2 系统的局部分叉特 性 根 据 非 线 性 动 力 学 理 论 ， 系 统( “ ) 的 平 衡 点 为X , =0 ,0 ,0 ) ， 其 线 性 化 系 统 为 DF (X ) x-x,= 仁 - c L a a p a a d C 2_ a ( 9 ) 它的特征方程为 A 3 + (a + c
8、 ) A 2 + A 恤+ a C 2 a d 一 c ) + c . a a ， 一 二 ， = 0 显然 ， 当a p o = 系统 ( 8) 产生 丘la d 0 = C 2 立 一 二时 ， 系 统 有 两 个 零 特 征 值 和 一 个 负 实 特 征 值 . C i C 2 C 2 ( 1 0 ) 此 时 ， “ 双 零 ， 余 维 二 分 叉 . 对 系 统 8 ) 选 取 丐，几为 分 叉 参 数 ， 则( a p p , a d o ) 为 分 又 点 ， a p o a d 。 的 值 为 分 又 值 2 . 1 用中 心流形约化系统 根 据 中 心 流 形 定 理 16
9、1 ， 可 用 一 个 二 维 子系 统 在中 心 流 形 上 代替 此三 维 系 统 ， 使 原 系 统 降维， 而不改变系统的动力学性质. 令:Y= 一 ( a + c ) 0 0 Y , T ， +T - 且 作xT Y变换，有 0 AT Y ) 0 ( 1 1 ) 儿ylyZy3 卜旧刁川1引esl 000 ，IJ 11乙内 夕y.y rlwees.IIL 式 中 或 T Y ) 是 系 统 的 非 线 性 项 . 进 一 步 整 理 约 化 为 L,y3 比 1 Y2 + b,Yx +b2Yiy3OJLY3 I bsY, + beYaY3二 b3Y2Ya + b,y3 Jb,Y2Ya
10、 + bsya ( 1 2 ) 其中 参 数瓦 _ : 见 附 录 . 可 见， 通 过 坐 标 变 换 ， 可 使 系 统 ( a ) 降为 二 维， 即 系 统( 1 2 ) 与 系统 ( s ) 具有相同的动 力学性质. 2 .2 二次 分叉及系统流形拓扑结构 为了进一步讨论在分叉点附近系统的动力学性质，使分叉值摄动，设: a D = R y o + P R d = a d o + P 2 ， 其 中lu l l U 2 是 小 量， 经 过x， T V 变 换 有 。借斋 一 ( a + c ) a c ,2 c 2 y 2 一 p j a + I ( c 矛 + C 2 X a C
11、l2+ c l + C 2 ) 一 CIC2 - fh (a + c)a 2#2(c; + CI )(ac, + c, + C) 10 , . I + T - 1 g , 四 L 9 2 ( T 1 月 = ，子.，二.J 价、h，巧 rlraesesjesesL 尸 1 = 0 户 : = 0 其 中 :g , ( T V ) , g 2 ( T V ) 为 非 线 性 项 . 寻 找 中 心 流 形 ， 设 V , = h ( V 2 I V 3 I JU I I I 4 2 ) 二 d ,v z + d 2 V + d 3,U i + du ; + d ,V 3 v 2 + 二 。 (
12、3 ) 代人整理有 咋 =V , 、 ， = a , v 2 + R 2 V 3 + R 3 弓+ R 4 V 2 V 3 + a 5 V 2 心 式中 参数a , ， 见附录.系统 (1 5) 的平衡点为V b l v 20 ,v 3小有三个 ( 1 3 ) ( l 4 ) ( I S ) (0 ,0 ) , 这样，当U 2 0 时，有三个 的线性化系统为 D F (V )v* 二 压 1 + 3 a3v220 0 + 2 a a v 2 0 v 3 0 + a s v 2 0 I a 2 + a a v 2 0 + 2 a sv 2 0 v 3 0 ( 1 6 ) 1 ) 当 V , ，
13、一 “ 时 ， 系 统 曰 6 ) 的 特 征 方 程 为 : ( - a 2 ) - a ， 二 ” ， 特 征 秘 a . 士 、 厦 丁4 a 丁 之 . 、 =一 止 一 - J 二 - - 2 2 )当气=K 2 . 7 时，有 一对符号相反的实特征根.因此， 这两个 点是鞍点.根据上述 分 析 ， 当 P 1 = 0 时 ， 若 f t , 0 ， 系 统 产 生 亚 临 界 叉 形 分 叉 ; 若 # 2 IU 2 (a , , a d ) 及 分 叉 点 (a v o ,a d 0 ) 附 朋部 分 叉特 性进行了 分析， 得 到了 其分 叉的转 迁集 ( l 7 ) 和 (
14、2 3 ) ， 及全开折 平面 相图 咖图l 所 示) . 由图 1 可见， 把 参数空间分4 个 部分，即: 超临 界又形 分叉 区， 亚临界 叉形分叉 区，H 耐 分叉 区， 鞍结 分叉区. 当 控制器参数在 上述范围 内变 化 ( 即 设计控 制器参 数) 时， 此 类控 制系 统的动力 学行为 将发 生变化， 这 将直接影响 控制系 统的稳定 性. 此类 磁浮 控制系统只 有在S 3 , S 4 区 域内 是稳定 的， 这便为 我们从理论上， 提供了为 确保 稳定控 制， 控 制器参 数的设 计域. 图1系统全开折平面相图 3 仿真结果 在 本节， 以实际磁悬浮 轴称控制系统为例进行仿
15、真， 其结 果如图2 、 图3 所示. 从 仿真 结果可见， 它与理论分析结 果完全相符， 这也 说明了 理论 分析 方法的正 确性和实 用性. 根据 文 献 闭 中 的 实 验 结 果 ， m = 7 .3 k g , d 二 5 * 1 。 一 m , ,U o = 1 .2 5 6 6 * 1 0 - m. k g C - , c = 0 .1 2 5 . . , 丫 R = 3 f 2 , n = 1 0 0 , S = 4 * 1 0 -0 m , . l o ，帅“州020如引那侧 图2 S 3区拓扑结构图 知叨 .I-1s仑如J劫 图3 S 4区拓扑结构图 4 结束语 应用非线性
16、动力 学理论( 中心流形理论和M e ln i k o v 方 法) 对一类磁浮控制系统复杂的 动 力 学 行为( 余 维 二 分叉 ，H o p f 分 叉， 异 宿 分 叉) 进 行了 讨 论， 分 析 表明 ， 此 控 制 系 统 的控制参数的 选取 直接影响系统的稳定性， 且通过此系统全开折平面相图的分析， 给出了 实现稳定控制时， 控制参数的选取范围. 通过对实际系统的仿真， 表明了 此理论方法的正 确性和实用性，为 此控制系 统实 现稳定控制提供了理论依据. 参 考 文 献 大田真士.精密工学会志，1 9 9 1 , 5 7 ( 4 ) : 5 9 4 - 5 9 4 S t a o h ,I c h y u ,e t a l . J S ME I n t e r n a t i o n a l l o u m a l , 1 9 9 0 ,
