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1、非线性有限元读书报告 黄江益非线性有限元读书报告姓名：黄江益日期：2016年6月6日11目录非线性有限元读书报告1目录21. 线性有限元回顾32. 非线性有限元概括32.1. 定义32.2. 使用分类32.3. 单元选择43. 非线性有限元求解方法63.1. 显式求解63.2. 隐式求解73.3. 求解步骤73.4. 收敛性84. 引用资料91. 线性有限元回顾 本学期相关教程核心点：影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等），而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。在构建线性几何方程的时候，按照我们所学
2、的课本所述，最为简单的是下面三种：平面应力（薄壁结构），平面应变（沿轴线的几何形状和外载无明显变化的物体），轴对称问题（广义的平面应变）。我们在构建平衡方程的时候，用的原则是虚功原理，即一个处于平衡的物体当发生满足位移边界条件的连续（微小）虚位移时，其外力虚功等于物体中应力在虚应变上产生的变形能。我们解线性有限元方程的时候，分为以下三个步骤：1. 离散化2. 单元分析（取位移插值函数，建立单元几何关系，这里假定的线性函数可以不同）3. 总体分析（刚度叠加）我们还学了等参单元，尤其是基于坐标值变化获得的等参单元，最后利用大杀器高斯求积方法避免了复杂的积分函数的求解，极大降低了计算量。2. 非线性
3、有限元概括2.1. 定义在有限元分析中的线性假设包含下列含义： 西南交通大学 潘亦芳课件1. 结点位移为无限小量：应变位移关系是线性的（几何方程）2. 材料为线弹性：应力应变关系是线性的（物理方程）3. 加载时边界条件的性质保持不变：接触状态是已知且不随时间变化的（边界条件）而上述假设中的任何一条不能得到满足，那么就属于非线性有限元分析。结构力学问题，从本质上讲都是非线性的，线性假设只是实际工程问题的一种简化。2.2. 使用分类在实际应用中，如图，主要遇到三类非线性问题：图 1 材料非线性图 2 几何非线性图 3 状态变化2.3. 单元选择可以选择的有两种单元：线性单元和二次单元。这里依据的是
4、ANSYS单元库和相关文档资料 ANSYS帮助文档和相关论坛。图 4 （a）线性单元 （b）特殊形状的线性等参元 （c）二次单元选择线性单元（不带中间节点）的场合：在非线性分析中由于计算方程的复杂性，多采用线性单元。在对结构分析中，带有附加形函数的角点单元会在合理的计算时间内通常能得到准确的结果。当使用这些单元时，要注意防止在关键区域的退化形式。即避免在结果梯度很大或其它关注的区域使用二维三角形单元和楔形或四面体形的三维线单元。还应避免使用过于扭曲的线性单元，对于非线性结构分析，如果使用线性单元细致地而不是用二次单元相对粗糙的进行网格划分，那么将以很少的花费获得很好的精度。对弯曲壳体建模时，必
5、须选用弯曲的（二次的）或平面（线性）的壳单元，每种选择都有其优缺点，对于多数的实际情况，主要问题利用平面单元以很少的计算时间，即可获得很高精度的结果。但是，必须保证使用足够多的平面单元来创建曲面。明显地，单元越小，准确性越好。推荐三维平面壳单元延伸不要超过 15 度的弧，圆锥壳（轴对称线）单元应限制在 10 度的弧以内（或 5 度如果离 Y 轴较近）。对多数非结构分析（热、电磁等），线性单元几乎与高次单元有同样好的结果，而且求解费用较低。退化单元（三角形和四面体）通常在非结构分析中产生准确结果。选择二次单元（带中间节点）的场合：在求解更高精度分析或者传统线性单元偏差较大时选用二次单元。对于用退
6、化的单元形式进行的线性结构分析 （即二维三角形单元和楔形或三维四面体单元），二次单元通常会以比线性单元的求解费用更低且产生良好的结果。可是，为正确地使用这些单元，需要注意它们的特殊的性质。二次单元与常见的线性单元有诸多不同之处：1. 对于分布载荷和边压力不象线性单元按“一般意义上”分配到单元节点上（见图5所示），单元的中间节点对反力也表现出相同的非直观的解释。2. 由于中间节点的质量也大于角节点的质点， 所以通常将中间节点选为主自由度 （对于减缩自由度分析）。3. 由于质量分配不均匀，在动力分析中，如果对波传波感兴趣，不推荐使用带中间节点的单元4. 不要使用带中间节点的面单元定义以节点为基础的
7、接触单元或连接间隙单元。5. 当约束一个单元的边缘（或表面）自由度，面上所有的节点包括中间节点在内都要被约束。6. 单元的角点只能与单元的角点相连，而不能与相邻单元的中间节点相连。相邻的单元应该有相连（或共同的）中间节点。图 5 载荷分配3. 非线性有限元求解方法3.1. 显式求解中心差分法是一种最为简单的求解方法，是用有限差分代替位移对时间的求导（对位移一阶求导得到速度，对位移二阶求导得加速度）。 百科资料Runge-Kutta法，简称R-K法，是一种应用广泛的高精度单步法。 高等数值分析，清华大学出版社，蔡大用 所谓单步法就是在计算yi时只用到前一步信息yi-1的方法。图 6 一种R-K法
8、的求解结果比较优点：方法简单，容易实现，运算失效的可能性较小缺点：条件稳定性，如果时间步长超过了一个临界值就会引起计算结果发散注意点：在有限元计算时，最小的网格边长决定了临界时间，所以网格划分时应尽量均匀，避免出现特别小的边长3.2. 隐式求解Newmark 法是一种逐步积分的方法，避免了任何叠加的应用。其核心是对时间步距内加速度反应的分布做出适当的假定，然后通过积分获得速度反应和位移反应的表达式，进而求得步距末点的反应值。 关于Newmark-法机理的一种解释，李泓晶等 2011年4月图 6 某问题newmark法求解质点位移牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Rap
9、hson method），是一种最简单的迭代方法，方法是使用函数f(x）的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛。隐式优于显式是对于线性瞬态问题，隐式积分器是无条件稳定的。尽管对于特殊情况的理论结果表明，至少对于一些非线性系统，无条件稳定是适用的，经验表明隐式积分器的时间步长远远大于显式积分器的时间步长，并没有导致失稳在隐式方法中，对于时间步长的主要限制来自于对精度的要求，作为增强稳定性的报答，隐式计算付出高昂的代价：需要在每一个时间步求解非线性代数方程，存储这些方程需要大量的内存。3.3. 求解步骤图 7 求解步骤 非线性有限单元法，任青文，河海大学工程力学系3.4. 收敛性 有限元方法及CAE软件ANSYS非线性有限元分析，孙岩桦，西安交通大学迭代法的收敛判据：位移/旋转增量准则，力/力矩平衡准则，能量准则（不推荐）。图 8 位移收敛有时候也不可靠位移收敛准则有时不可靠，只依据位移判断收敛在一些情况下将导致错误的结果，位移判据只应作为力收敛判据的辅助手段。力收敛判据提供了一个收敛的绝对度量，因为它可直接度量内部力与外部力间的平衡。但是不平衡力收敛准则有时也不可靠，有时候很小的力的变化引起很大的位移变化。4. 引用资料
