现代控制理论基础课件第四章讲义

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1、1,第四章,线性控制系统的能控性和能观性,2,基本概念,能控性和能观性是表征系统结构特性的两个重要概念 能控性和能观性的概念，对系统的控制和状态估计问题的研究有重要意义 粗略地讲，能控性分析系统状态能否被输入控制，而能观性分析系统初始状态能否从对系统输出的观测来得到。,3,能控性和能观性的直观例子,状态不能控,状态不能观,判断下列电路的能控性和能观测性,4,本章主要内容,4.1 线性定常系统的能控性 4.2 线性定常系统的能观性 4.3 线性时变系统的能控性和能观性 *4.4 离散时间系统的能控性和能观性 4.5 能控性与能观性的对偶关系 4.6 能控标准型和能观标准型 4.7 线性系统的结构

2、分解,5,4.1 线性定常系统的能控性,能控性是系统在控制作用u(t)的控制下，系统状态向量x(t)的转移能力 和输出y(t)无关，只需从系统的状态方程出发研究系统的能控性,6,4.1.1 能控性定义,定义4-1能控性线性连续定常系统的状态方程 （41） 如果对任意初始状态 和任意终端状态 ，存在一个无约束容许输入 ，能在有限时间区间 内，使系统状态由 转移到 ，则称此系统或 对是状态完全能控的，或简称此系统或 对是能控的。否则，则称此系统或 对是状态不完全能控的，或简称不能控。 说明： 对状态转移的轨迹没有规定，表征了能控性的定性特点 无约束容许输入是指 的每个分量的幅值没有加以限制，但 的

3、每个分量均需在时间区间 上平方可积,7,能控性举例,例41 考虑图4-2(a)、(b)所示电路系统的能控性。,(a) (b) 图4-2 不能控电路系统,结论：利用能控性定义，能够对简单的系统进行能控性判断。 但分析一般系统的能控性，需要能控性判别准则。,8,4.1.2 线性定常系统的能控性判据,定理4-1能控性格拉姆矩阵判据线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (43) 为非奇异。,证明：见教材 P115 格拉姆矩阵判据主要用于理论分析和推导。,1、线性定常系统的能控性判据,9,定理4-2能控性秩判据线性连续定常系统 为完全能控的充分必要条件为 （4

4、13） 式中，n为矩阵A的维数。 （414） 称为系统的能控性判别矩阵。,证明：见教材 P116,秩判据在线性定常系统的能控性判别中被经常应用,式（413）等价于矩阵 行满秩。,10,推论：,（1）对于单输入系统，能控性判别矩阵为方阵，则有 能控 非奇异 的值表示了系统能控的程度，即能控度。 的值大表示系统远离不能控，即能控度大。 能控度的有物理意义为当通过状态反馈移动极点位置时，同样的移动距离，能控度越大，所需反馈增益越小，反之，所需反馈增益越大。 对于多输入系统有类似的关系和性质。 （2）对于多输入系统， 阵非方， 为方阵，则有 能控 非奇异 则能控度即为 的值。,11,例42 倒立摆系统

5、状态空间描述为,计算系统的能控性判别矩阵,12,计算系统的能控性判别矩阵,根据能控性秩判据，系统完全能控。,13,定理4-3能控性PBH秩判据线性连续定常系统,为完全能控的充分必要条件为,为矩阵,的所有特征值，,为复数域。,或等价地,式中，,证明：见教材 P118,14,例44 设线性定常系统的状态方程为,可直接导出,15,求出A的特征值为：,，,，,当,时，,当,时 ，,16,当,时 ，,系统满足PBH秩判据的能控条件， 所以系统完全能控。,17,定理4-4能控性PBH特征向量判据 线性连续定常系统,为完全能控的充分必要条件为，矩阵,的非零左特征,的所有列相正交。也即对,的任一特征值,，使同

6、时满足,，,。,向量不与,（439）,的特征向量,证明：见教材P120,能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析,18,定理4-5能控性约当标准型判据线性连续定常系统,为完全能控的充分必要条件为,(1) 当矩阵,的特征值,不存在元素全为零的行。,为两两相异时，,系统通过线性非奇异变换得到的对角线标准型,式中，,（444）,19,(2) 当矩阵,的特征值是多重根的情况，通过非奇异,变换得到的约当标准型,（445）,式中,（446）,对于矩阵 的有相同特征值的约当块的 的最后一 行所组成的矩阵，其行线性无关。,证明：见教材P121,约当标准型判据是一种相当直观的能控性判别方法,20,例45 试判定

7、下列系统的完全能控性,(1),(2),21,判定下列系统的完全能控性,22,2、能控性指数,定义4-2 对完全能控线性连续定常系统 定义系统的能控性指数为 ， 是使下式成立的最小整数 （457）,对单输入完全能控系统，有 。,对多输入系统，不妨设矩阵 为满秩。,23,将系统能控性矩阵满秩性的搜索结果重新排列为,这里显然有：,（4-60）,则能控性指数 满足 （461） 且称 为系统的能控性指数集。,可推导出能控性指数的取值范围为 （463）,24,定理4-6 简化的能控性判据 线性连续定常系统 若 ，系统为完全能控的充分必要条件为 （464）,证明： 见教材P125,简化的能控性判据能在能控性

8、判别矩阵中计算较少的列来判断系统的能控性 ，可减少计算量,25,例46 某卫星系统的状态空间描述如下，试判断系统的完全能控性。,系统的能控性判别矩阵的维数为 用定理4-6判定系统的能控性， 判别矩阵维数为,26,矩阵的秩为4。所以系统完全能控。 系统的能控性指数集为 ， 能控性指数为2。,判别矩阵计算如下：,27,3、输出能控性,定义4-3 输出能控性 线性连续定常系统 （465） 如果对任意初始输出 和任意终端输出 ，存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间 内，使系统输出由 转移到 ，则称此系统是输出完全能控的。否则，则称此系统是输出不完全能控的。,定理4-7 输出能控性判据 线性连续定

9、常系统（465）为输出完全能控的充要条件为 （466） 式中， 为系统的输出维数。,28,例47 某系统的状态空间描述如下，试判断系统的状态完全能控性和输出能控性。 系统的状态能控性矩阵为 ，所以系统状态不完全能控。 输出能控性矩阵为 其秩为 ，所以系统输出完全能控。,一个系统的两种能控性是没有联系的,29,4.2 线性定常系统的能观性,能观性和能控性在概念上是对偶的 粗略地讲，能观性研究系统初始状态能否由系统的输出来估计 若系统是能观测的，则能对系统状态变量进行观测或估计,30,4.2.1 能观性定义,定义4-4能观测性 对线性连续定常系统零输入时的状态空间表达式 或 对，如果对任意非零初始

10、状态 ，都存在有限时刻 ，使得根据在有限时间期间 的输出能唯一地确定系统在初始时刻的状态 ，则称系统或 对是状态完全能观测的，或简称此系统或 对是能观的。否则，则称此系统或 对是状态不完全能观的，或简称不能观。,能观性是表征系统状态运动能由输出反映的一种定性特征 为方便讨论，定义中把能观性规定为对初始状态的确定,31,能观性概念的举例说明,例48 考虑图4-3(a)所示电路系统的能观性。,(a) (b) 图4-3 不能观电路系统,这个电路系统状态是不完全能观的,不能观测的初始状态具有这样的特性:由该初始状态引起的系统状态响应不能反映在输出中,32,4.2.2 线性定常系统的能观性判据,1、线性

11、定常系统的能观性判据,定理4-8格拉姆矩阵判据线性连续定常系统 为完全能观的充分必要条件是，存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 (472) 为非奇异。,证明 ：见教材P128,能观性的格拉姆矩阵判据也是主要用于理论分析和推导,33,定理4-9 能观性秩判据线性连续定常系统 为完全能观的充分必要条件为 或 式中，n为矩阵A的维数。 （478） 称为系统的能观性判别矩阵。,秩判据在线性定常系统的能观性判别中被经常应用,34,例49 倒摆系统状态方程空间描述为,计算系统的能观性判别矩阵,根据能观性秩判据可知，该系统完全能观。,35,定理4-10能观性PBH秩判据线性连续定常系统 为完全能观的充分必要

12、条件为 ， （479） 或等价地 （480） 式中， 为矩阵A的所有特征值，C为复数域。,36,例410 设线性定常系统的状态空间表达式为,可直接导出,求出A的特征值为： ， ，,37,当,时，,当,时 ，,38,当,时 ，,系统满足PBH秩判据。所以系统完全能观。,39,定理4-11能观性PBH特征向量判据线性连续定常系统 为完全能观的充分必要条件为，矩阵A不能有与C的所有行相正交的非零右特征向量。也即对A的任一特征值 ，使同时满足 ， （481） 的特征向量 。,能观性PBH特征向量判据主要用于理论分析,40,定理4-12能观性约当标准型判据 线性连续定常系统 为完全能观的充分必要条件为

13、(1) 当矩阵A的特征值 为两两相异时，系统 通过线性非奇异变换得到的对角线标准型,中， 不存在元素全为零的列。,41,(2) 当矩阵,的特征值是多重根的情况，通过非奇异,变换得到的约当标准型,（483）,式中,（484）,对于矩阵 的有相同特征值的约当块的 的第一 列所组成的矩阵，其列线性无关。,约当标准型判据是一种相当直观的能观性判别方法,42,例411 试判定下列系统的完全能观性 (1),(2),43,(3),44,2. 能观性指数,定义4-5 能观测性指数对完全能观线性连续定常系统 （489） 定义系统的能观性指数为 ， 是使下式成立的最小整数,对单输出完全能观系统，有,对多输入系统，

14、,称 为系统的能观性指数集。,45,和能控性情况对偶，能观性指数 的取值范围为 （492） 式中， ， 为 的最小多项式的阶数。 若矩阵 不满秩， ，则能观性指数 的取值范围为 （493）,46,定理4-13 简化的能观性判据 线性连续定常系统 若 ，则系统为完全能观测的充分必要条件为,47,4.3 线性时变系统的能控性和能观性,4.3.1 线性时变系统的能控性,1.能控性定义,定义4-6能控性对线性时变系统 如果对于初始时刻 的任意初始状态 ，存在一个有限时刻 ，对任意终端状态 ，存在一个无约束的容许输入 ，能在有限时间区间 内，使系统状态由 转移到 ，则称此系统在 时刻是状态完全能控的。否

15、则，则称此系统在 时刻是状态不完全能控的。,（495）,时变系统的能控性定义中需特别强调在时刻 系统是能控的，时变系统的能控性与所研究的时刻有关。,48,时变系统能控性定义的一些说明：,1）允许输入 ，在数学上要求其元在时间 上绝对平方可积，即,（496）,2）时变系统的状态转移与初始时刻 有关，对时变系统来说， 和初始时刻 的选取有关,3）根据能控性定义可以得出能控状态和控制作用的关系式。,设 是状态空间中的某一非零状态， 为零，根据能控性定义有,（497）,（497）式是一个重要的关系式，能控系统的性质都可由此式出发进行推导。,49,4）非奇异变换(等价变换)不改变系统的能控性。,设系统在变换前是能控的，即有,对 进行线性变换：,则有,将上述关系式代入式（497），有,（497）,上式表明非奇异变换不改变系统的能控性。,50,