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1、工程数学（本）期末综合练习 一、单项选择题1设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是( ) A B C D正确答案：A 2方程组相容的充分必要条件是( )，其中，A BC D 正确答案：B 3设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 ( ) A0，2 B0，6 C0，0 D2，6正确答案：B 4. 设A，B是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的A. ，其中A，B相互独立 B. ，其中 C. ，其中A，B互不相容D. ，其中正确答案：C 5若随机变量X与Y相互独立，则方差=（ ）A B C D 正确答案：D6设A是矩阵，是矩阵，且有意义，则是( )矩阵 A B C D正确答案：B 7若X1、X2是线
2、性方程组AX=B的解，而是方程组AX = O的解，则（ ）是AX=B的解A B C D 正确答案：A 8设矩阵，则A的对应于特征值的一个特征向量=( ) A B C D 正确答案：C 9. 下列事件运算关系正确的是（ ）A B CD正确答案：A 10若随机变量，则随机变量（ ） A B C D正确答案：D 11设是来自正态总体的样本，则（ ）是的无偏估计A B C D正确答案：C 12对给定的正态总体的一个样本，未知，求的置信区间，选用的样本函数服从（ ）A分布 Bt分布 C指数分布 D正态分布正确答案：B二、填空题 1设，则的根是 应该填写： 2设向量可由向量组线性表示，则表示方法唯一的充分
3、必要条件是 应该填写：线性无关 3若事件A，B满足，则 P（A - B）= 应该填写： 4设随机变量的概率密度函数为，则常数k =应该填写： 5若样本来自总体，且，则应该填写：6行列式的元素的代数余子式的值为= 应该填写-56 7设三阶矩阵的行列式，则=应该填写：2 8若向量组：，能构成R3一个基，则数k 应该填写：9设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 个解向量应该填写：3 10设互不相容，且，则 应该填写：0 11若随机变量X ，则 应该填写： 12设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的 估计应该填写：无偏 三、计算题1设矩阵，求：（1）
4、；（2）解：（1）因为 所以 （2）因为 所以 2求齐次线性方程组 的通解 解： A= 一般解为 ，其中x2，x4 是自由元 令x2 = 1，x4 = 0，得X1 =； x2 = 0，x4 = 3，得X2 =所以原方程组的一个基础解系为 X1，X2 原方程组的通解为： ，其中k1，k2 是任意常数 3设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知）解：（1）1 = 11（） = 2（1）0.045 （2） 1 1 即k4 = -1.5， k2.5 4某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5 cm，标准差为0.15cm.从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得
5、的结果如下：（单位：cm）10.4，10.6，10.1，10.4问：该机工作是否正常(, )？解：零假设.由于已知，故选取样本函数 经计算得， 由已知条件，且 故接受零假设，即该机工作正常.5已知矩阵方程，其中，求解：因为，且 即 所以 6设向量组，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组 解：因为（ ）= 所以，r() = 3 它的一个极大线性无关组是 （或）7设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数 8罐中有1
6、2颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子若从中任取3颗，求：（1）取到3颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（2）取到3颗棋子颜色相同的概率 解：设=“取到3颗棋子中至少有一颗黑子”，=“取到的都是白子”，=“取到的都是黑子”，B =“取到3颗棋子颜色相同”，则（1） （2） 9设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (，) 解：（1）P（1 X 7）= = = 0.9973 + 0.8413 1 = 0.8386 （2）因为 P（X a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.56 10从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间(已知 ) 解：已知，n = 64，且 因为 = 21，且 所以，置信度为95%的的置信区间为： 四、证明题 1设是n阶矩阵，若= 0，则 证明：因为 = = 所以 2设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵证明： 因为 ，即 所以，A为可逆矩阵 3设向量组线性无关，令，证明向量组线性无关。 证明：设，即 因为线性无关，所以 解得k1=0, k2=0, k3=0，从而线性无关 4设,为随机事件，试证： 证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知 8
