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1、2015年12月 高等学校计算数学学报 第37卷第4期 RosenauKdV方程的CrankNicolson 守恒差分格式 胡劲松 (西华大学理学院，成都610039) 谢小平 胡兵 徐友才 (四川大学数学学院，成都610064) CoNSERVATIVE CRANKNICoLS0N DIFFERENCE SCHEME FoR ROSENAUKDV EQUATION Hu Jinsong (School of Science，Xihua University，Chengdu 610039) Xie Xiaoping Hu Bing Xu youcai (School of Mathematic
2、s，Sichuan University，Chengdu 610064) Abstract A two1evel nonlinear CrankNicolson difference scheme for initial boundary value problems of Rosenau KdV equation is proposedTwo conservative properties of the problem are simulated well by the schemeThe prior estimate， existence and uniqueness of the sol
3、ution are obtained，and the second-order con vergence and unconditional stability of the difference scheme are also analyzed by using the energy methodNumerical experiments to verify the theoretical results are presented Key words RosenauKdV equation，CN difference scheme，Conservation，Con vergence，Sta
4、bility AMS(2000)subject classifications 65N30，65M06 中图法分类号O24182 国家自然科学基金(11171239)；中国科学院山地灾害与地表过程重点实验室开放基金和西华 大学重点基金项目(Z1513324) 收稿日期：20140103 2015年12月 高等学校计算数学学报 361 1引 言 本文考虑如下一类RosenauKdV方程的初边值问题 ut+ u zt+U + “f上 +7uz =0，X(XL，xn)，t(0， ， (1) 乱( ，0)=，“0( )， XL，xR， (2) U(XL，t)=U(XR，t)-一0，Ux(XL，t)=U
5、x(XR，t)：0，Uxx(XL，t)= (XR，t)=0，t0， 】， (3) 其中 ， ，7为常数，且 0， 0，uo(x)是已知函数 RosenauKdV方程(1)是描述紧离散系统的动力学行为的模型，当7=0时，方程(1) 即为通常的Rosenau方程 文献【3】讨论了方程(1)的孤波解和周期解，文献【4，5，6】 又进一步给出了一类广义RosenauKdV方程的孤波解和两个守恒量由于RosenauKdV 方程(1)的渐近边界条件满足 当lX l一+。时， u一0， 一0， 一0， (4) 因此当一XL0，一XR0时，初边值问题(1)一(3)与方程(1)的Cauchy问题是一致的， 且初
6、边值问题(1)(3)有如下两个守恒量6-9 FxR zR Q(t)= 仳( ，t)dx= ( ，0)dx=Q(0)， (5) J L J L E( ) ( ，t)+ ： ( ，t)dx=ll lI ：+ lI ll羔 =E(0) (6) J a：L 由于守恒差分格式能较好地拟合方程本身所具有的守恒律，而且能避免其他差分格 式在计算时的非线性”爆炸”10；Li和VuQuoc11指出“一定程度上，保持原问题 守恒量的能力是评价一个数值算法优劣的标准”，所以构造守恒的差分格式始终是一件非 常有意义的工作文献8,9又进一步对一类广义RosenauKdV方程提出两层和三层有限 差分格式，但它们都只能模拟
7、守恒量(6)，而不能模拟守恒量(5)本文对问题(1)一(3)提出 一个两层CrankNicolson差分格式，格式同时合理地模拟了守恒量(5)和(6)，且计算精度 比三层线性格式 有了大幅度提高 ：璺 ： 胡劲松等：RosenauKdV方程的Crank Nicolson守恒差分格式 第4期 2差分格式和守恒律 对区域xL，xR0， 】作网格剖分，取空间步长h= ，时间步长7-， =观+ jh(j=一1，0，1，2，一， +1)，tn=n-(n=0，1，2，一，=手)，札Jnu(xj，tn)在本 文中，用C表示与h和丁无关的一般正常数(在不同地方可以有不同的取值) 并定义如 下记号 zo= =(
8、 “J)I 一1=U0=UJ=钆 +1=0，J=一1，0，1，2， |，+1)， (哼) = ，( ) =华，( ) ：兰 ，( ) ：_U+I n， ，“ ： tn+l n，(un Vn) 董u ， J=1 l。=( ，u )， lo。 舞 l 对问题(1)一(3)考虑如下有限差分格式 (u )t+ (札 丽 +(札Jn+ ) + (ujn+ ) +鲁( 搿+札 +u搿)(uJn+ )岔：0 J=1，2，3，一，J一1；凡=1，2，3，一，一1， (7) = 0( )，J：0，1，2，3， (8) z2，(札子)金：(U n)未=0，(乱子) =(u ) =0，n=1，2，3， (9) 由渐
9、近边界条件(4)和齐次边界条件(3)可知，离散边界条件(9)的处理是合理的为 了便于分析，本文中我们定义 Jn+ )=丢(乱搿 n+ j-一1) Jn+ ) 差分格式(7)一(9)对守恒量(5)和(6)的数值模拟如下 定理1设 0琊【z ， 兄，u(x，t)C ，v，则差分格式(7)(9)关于以下离散能量是 守恒的，即 =Q。 (10) E ：=fIu if。+酬乱 ll。=E 一=E。 (11) Q = ， 札 = n Q 2015年12月 高等学校计算数学学报 363 证明将(7)式两端乘以h后对J求和，由边界条件(9)和分部求和公式12 13】，有 (12) 由Qn的定义，将(12)式对
10、 递推即可得(1o)式；将(7)式与2un+ (即 n+ + n)作内 积，由边界条件(9)和：分部求和公式12,131，有 ll n幢+ Il +2( 岔n+ ， n+ )+27( ， n+ )+2 ( ( n+ )，“n+ )：0 (13) 又 (札 +5,Un+ )：0， n i+岔5，钆n+ )：0， (14) =丢( 搿+ Jn + 搿)(，“搿一 搿) ，n =丢(钆搿 n ) n +5 Jn 一言 (u，n 十钆搿) 搿哪0 (15) 于是，由E 的定义，将(14)式和(15)式代入(13)式后对礼递推即可得(11)式 3差分格式的可解性 为了证明差分解的存在性，需要引入如下的B
11、rouwer不动点定理，其证明见文献14】 引理1(Brouwer 动点定理)设日是有限维内积空间，g：H一日是连续算子且 存在OZ0使得V H，lIxl1=OZ有(g( )， )0，则存在X H，使得9(x )=0且 忪 Il 定理2存在 zo满足差分格式(7)一(9)(1 n ) 证明用数学归纳法设当n N一1时，存在 。，u ，u 满足差分格式(7)一(9)， 下面证明存在札蚪 满足差分格式(7)一(9) 定义z2上的算子g， g(v)=2v一2u +2 ：丽一2aun 丽+7-u岔+Ty 商+ 7_ ( )， (16) 364。 胡劲松等：RosenauKdV方程的Crank Nico
12、lson守恒差分格式 第4期 将(16)式与”作内积，并注意到类似于(14)式和(15)式，有 于是，得 (u2，V)=0，(VxN，u)=0，( (u)，V)=0 (夕(u)，u)=211vii。一2( ， )+2ollv ll。一2oL(Ux ， ) 21111。一(1lu”II。+I111 )+2ollv ?II 一(1lu2 I。+JIv II。) f1vii。一(Jl“”Jf。+ ll J。) 由此可见，对于Vvzo，当 。= 理1可知，存在 zo，使得9(u )=0 的解 1lu ll + IIu ll。+1时，(9( )，V)0成立由弓I 取u时 =2v 一，u”，那么u时 即为
13、差分方程(7) 4差分格式的收敛性与稳定性及其解的唯一性 引理2 设 0瑶 L， R，札( ， )C ，u，则初边值问题(7)一(9)的解满足 ，“lIL。 C，ll zIlL。 C，ll IlL。 C，ll llL。 C，Ilu lfLo。 C 定理3设U0H3 L，xR，u(x，t)C ，v，则差分格式(7)一(9)的解满足 Jj ，I ：ll ，ll ll ll札 ll。 ，f1211o。 扎=l，2，一， 证明由(11)式，可得：ll钆”ll C，ll札 ll C又 Ilu211。 llu llll ll 去(11nl J。+lu II。) C， (17) 即Ilu211。 C最后由离
14、散的Sobolev不等式7j1。得ll llo。 C，I111。 C 注定理3也表明，差分格式(7)一(9)关于初值是无条件稳定的 令问题(1)一(3)的解为v(x，t)，记 =v(xj，tn)，则差分格式(7)一(9)的截断误差定义 如下 哆=(哆) + ( ) 丽 +( Jn+ ) + ( + ) + ( _n+ ) (18) 由Taylor展开可知，当h，7_一0时，r =0( + ) 2015年12月 高等学校计算数学学报 365 定理4设 0础Ix ， R，u(x，t)C ，v，则差分格式(7)一(9)的解，“ 依范数lI1lo。 收敛到初边值问题(11)一(3)的解，且收敛阶为o(
15、丁 +h2) 证明由(18)式减去(7)式，并记：eJn= 一 ，得 吩：(e ) +c (e ) 丽 +(eJn+ ) + (e + ) 茸 + ( + )一 ( + )(19) 将(19)式两端与2e一 作内积，有 ( ，2en+ )： en +Q +(e ，2en+ ，、 (20) + (e ，2en+3)+ ( (” + )一 (，“ + )，2e ) 类似于(14)式，有 (e +3，2en+ )=0，(e ，2e叶 )=0 (21) 又由弓f理2和定理3以及CauchySchwarz不等式，得 ( ( n+ )一 (un+ )，2。n+ )：昙 J-I( +哼+ + )( + 1)金eJn+ J=1 一百2 J -二-1( 搿+ + 搿)( n+ ) e ：昙 J-I( 者+哼+ + )(e )岔e + (e搿 n +e搿)( jn jn ， J-1 l(1 n+)岔I I n+l+ 董( n +3+I Jn+ l+I。搿1)_I Jn+l ，=1 ， 1 c(IIen+ll1 +llenll0+lIe 十 ll +lle 【101， (22) (rn2en+ )=(rn en+1-en)ll II +l(1ln+lll。+IIe II ) 类似(17)式，有 lle n+ I
