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1、浙江大学理学院 硕士学位论文 相依随机变量的强收敛性 姓名：刘庆 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：苏中根 20070501 摘要 本文是我在硕士阶段完成的，主要研究了相依随机变量的强大数定律和完全收敛性 全文共分三章： 第一章两两P Q D 序列的强大数律和完全收敛，生 两两P Q D 序列的概念是L e h m a n n 提出的，它是一类比较广泛的随机变量序列， 包含常见的相伴序列对这方面的研究已经有了一些结果，但不如相伴序列多M a t u l a 得到了两两P Q D 序列几乎处处中心极限定理，严继高等给出了两两P Q D 序列的 J a m i s o n 型加
2、权部分和的强稳定性，陆风彬给出了与尸A 列类似的完全收敛性 在第一章中，我们主要考虑了两两P Q D 序列的M a r c i n k i e w i c z 型强大数律和另一 形式完全收敛性，得到如下结果： o 。 定理0 1 设 墨；n 1 ) 是均值为0 的两两P Q D 列，且, 0 1 2 ( 2 1 ) 0 中，嘉f ；i 不减； ( i i ) 区间z 0 中，南，学都不增且E Y = B Y = 0 此外 ；凡1 是常数列，满足o 0 ) 为z O O 时的缓变函数； ( i i ) n t ；一C O 0 ) 为茁一0 0 时的缓变函数； ( i i ) a j ；j 2o
3、) 是实数列且1 a j l 0 ) b eas l o w l yv a r y i n gf u n c t i o n ，w h e nz _ o o ； ( i i ) o t ；一 0 ) b eas l o w l yv a r y i n gf u n c t i o n ，w h e n o 。； ( i i ) a f i j 0 ) b e as e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s a n d l 叼I ，垤 0 I Z J J7 n = l 完全收敛性的概念是1 9 4 7 年H s u 和R o b b i n s 1 】提出
4、的，为研究大数律尾概率级数 的收敛性开创了先例 定义1 2 ：称随机变量X 和y 是P Q D 的，如果对于任意的z ，Y R ，都有 P ( x o ； ( i i ) 五；i 1 ) 为两两P Q D 列，存在随机变量X o 及常数岛使s u p P ( I X l z ) a 0 1 ) l C o P ( I X o l z ) ，z o ；且有v V 2 ( 2 4 ) c t X ；+ X ：，X s + X 孙 c o w ( x 2 ，巧) + e 删( 柳，碍) + C o y ( X ；，巧) + C o y ( X ；，碍) c 伽噼；，x 强 因此结论成立证毕 下面我们
5、给出M a r c i n k i e w i c z 型强大数律 4 第1 章两两P Q D 序列的强大数律和完全收敛性 定理1 3 ：设 五；n 1 ) 是均值为0 的两两P Q D 列，且v i i 2 ( 2 4 ) 1 ，则 k = l 0 0 ，X 。= 一c i X c 引理2 4 ：设 K ；1 , 2l 为如( 2 1 1 ) 定义的P A 列的非单调函数，设存在常数 c 0 ，使瑶埒满足( 2 1 1 ) 式且 P ( 1 r I c ) 0 中，；= 裔不减； ( i i ) 区问z o 中，南，学都不增且E 碥= E K = 0 此外a 。；, 1 ) 是常数列，满足0
6、 sl 缸陋。Y , t d P I + E a n 曼川碥l ) ；者筠h I 。9 n ( K ) d P + ；者钎E 鲰( K ) 孟孙E 蜘( K ) 若条件( i i ) 被满足，E h E Y = 0 ，南不减得 I E 埒叫I E K I I K I ) ) f + E a 。， K I a n ) l E Y J I K I a n ，) + E a 。川K I ；者筠J ：K p 。9 n ( K ) d P + 葫E 9 n ( 碥) 揣玩( 碥) 故由( 2 2 1 ) 式得 耋E 等z 壹n = l 筹 q + 野 I E l q ) ) 若对某个n 函数如( z )
7、 满足条件( i ) ，则在区间 z ) Sc P ( I X o l z ) n 1 假设 五；一。 0 ) 为缓变函数，1 t 0 下面两式成 立： ( 1 ) E 1 I 。， 1 l 6 ) C ( E I l o J | 蜀l 6 ) + b 。P ( I X o I 6 ) ) ； ( 2 ) E 1 I 。州【 6 e e l f o ， l 局I ” 引理3 4 ：1 1 9 】设啦是绝对可加的实数级数记a = a i 且k 1 ，则 i = - - o oi = - o o l i m 元1 ；三13 m s + 1 计州 t + n t = 一 1 6 第3 章相依线性过程
8、的完全收敛性 3 2 两两N Q D 样本下滑动平均过程的完全收敛性 设 咒；- - 0 0 Y ) P ( X x ) P ( Y ) ( i i i ) 若r ( z ) ，s ( z ) 同为非降( 或非增) 的函数，则4 x ) 与8 ( y ) 仍为N Q D 的 引理3 6 ：【1 2 1 ；n 2 1 是两两N Q D 序列，且E X = 0 ，E 砩 0 ) 为z 一时的缓变函数； ( i i ) 啦；- - 0 0 矿) I t = 一 礼- 口I “E 五， I 五l 矿 = - o D n l - a E l X d I a l X l I 矿) n 1 一o E I X
9、 x l I I X l I 竹。) 茎7 1 1 - q E X a l n I I X x I 矿) E l 蜀I ，川蜀J 伊 一0 ， 一o 。) 因此，当n 充分大时，n 一。I E & l 凡。) “2 12 1 ”k + n - 2 ( n ) P ( I s ：一E 晶I n 。E 2 ) 1 = 1 令= 0 z ；0 + 1 ) 一。 俨) n = l j = li E l n j n 。 ( n ) ( H ) P ( k I X I l l 肛 0 ) 为。一0 0 时的缓变函数； ( i i ) ；J o ) 是实数列且I a j l 垤 一 晶 P 曲“ 叩 n _
10、 l 2 0第3 章相依线性过程的完全收敛性 证明令= x J ( I X , l 俨) ，晶= E 啦砭一则 n k = l j 0 n “ 一2 ( 几) P ( I s ：l n 。) * 1 = n ”- 2 h ( n ) P ( 1 晶l s 矿，l 五1 n 。，1 iS 呐 “= 1 + n ”一2 h ( n ) P ( I S 1 E n 。，3 i ，1 i n ，8 t I x , I n 。) n = l n , ”- 2 h ( n ) 尸( 蚓C r t e t ) + 至n 。P - 2 h ( P ( m 蜓a x 。I z , I n 。) = ：I x +
11、 1 2 为证( 3 3 2 ) 成立，只需证明I x n 。) 篙1 n a p - 1 h ( n ) 幻 n = l J = n ， sE 屯En 却- 1 h ( n ) C E j 。P h ( j ) b j J = 1 n = l J = l C E I X o l h ( I 碥a I ) 礼4 ) = 1 n l - a E l X o I r ( I X o I 酽) 7 , 1 - a E X o l l 。“J I n 。) 仃( 1 j k = E I X o l l o - , “ ( I X o I n 。) _ 0 ，一o 。) 令互= Z E ，则 五；i 2
12、 1 ) 为P A 列且E Z i = 0 记品= E o t 么一t = 一E 爱，= E ( 毗) 磊则 n 。p 一2 ( n ) 尸( 瓦J2n 。E ) ，I = 1 n ”- 2 h ( n ) P ( I I2 酽) I = 1 o o + n ”一2 h ( n ) P ( I Z 一矗I ；n 。) n ；1 = ：厶+ 厶 浙江大学硕士学位论文2 1 因此要证 i 几。) n = l k 譬1 扛讯一k + l = ：凡+ 乃 由引理3 7 和M i n k o w s k i 不等式，有 n0 0 厶C n 。加- 2 ) - 2 h ( n ) E l ( a i 磊一
13、t ) 1 2 n = 】七= 1 = o oi A n C 铲( n - 2 ) - 2 h ( n ) E I ( 毗磊一t ) 1 2 n = l；= lk = l 。i A n C r t a ( P - 2 - 2 ( n ) 陋J a i Z k - i 阡2 ) 2 n f f i l ；1k f f i l 0 0 J A n C n a o - 2 ) - 2 h ( 礼) f a i l 陋f 磊- i 1 2 】1 2 ) 2 n = l = lk f f i l J A n SC n 。( P - 2 ) - 2 h ( n ) E 磊一t 1 2 n = l k =
14、l C n 。( P - 2 ) - 1 h ( n ) s u pE 霉+ ( s u pE 留) 1 胆) n = l 1逆l = C s 为证矗e s 我们先证明f 三( l a l ) Z k 3 ，m ! 。a s x 。I Z l I - - = n - - 。+ + 忍+ + 磊 2 ll _ 一 丝 丝! 童垫堡丝堡苎堡竺塞全堕丝丝 事实上 因此由引理3 7 得 l ( 口k + l + 。k + 2 + ) ( 磊+ + Z 1 ) l + I 至q ( 磊+ + 么一) 。E I o “l l Z l + + 磊I + 恶要I 蚤吼( 磊+ + 磊一州) I s 。m s
15、。a s x 。I Z l + + 磊I + 懋曼至燧1 磊+ + Z k 一I s 辟J 历+ ”+ 磊I 十荟蜀甚盟( I 历+ + 磊I + Z l + + 磊一i I ) 2 m s 。a 三x 。 Z l + + 磊I + 1 m s 脚a x 坤m a 三x 。 Z l + + z k 一 1 ) 3 燃z 1 + Z 2 + + 狲 乃曼三n a p - 2 h ( n ) P 髫曼J 历十易+ + 磊l 吉矿) S c En a b ( t , - 2 ) - 2 h ( n ) E m a x 。 Z 1 + 易+ + 研 n = 1一一 C 萎俨0 , - 2 ) 一2 h ( n ) E l Z l + 磊+ + 磊J 2 sc 登 n u pE Z ；n ，0 - 2 ) - 1h ( ) s
