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1、2019年10月22日星期二,1,工程流体力学 (第四章 流体动力学基本原理),哈 尔 滨 工 程 大 学 动力与能源工程学院,4.4 伯努利方程 将动量定理应用于微元流管可以得到沿流线的伯努利方程，它是流体力学中最重要的方程之一，在工程中运用广泛。 如图所示的流管，设流管各截面上的物理量均匀。任取一微元段dl作为控制体。沿流管中心轴线物理量是l和t的函数，即B=B(l，t) 。若l截面参数以A，V，p， 表示，则l+dl 处的参数为A+dA ，V+(V/ l)dl ，p +(p/ l)dl ， +( / l)dl 。 这里仅限于讨论理 想流体，故控制面上不 存在切向力，只有法向 力。,4.4
2、 伯努利方程,HEUJ&F,2,沿流线动量方程的建立：,已经建立的连续方程可写成,3,4,消去抵消量有,对微分项作适当展开有,进一步简化,5,对于定常流动，对上式积分,即可得到沿流线的伯努利方程：,不可压流体的伯努利方程为,动量方程沿流线积分，得到的是能量关系式。第一项是单位重量的压力能；第二项是单位重量的动能；第三项是单位重量的重力势能。三项之和是单位重量的总机械能。也可写成,6,若流线水平，则有,或,此时，显然同一条流线上速度越大，则压力越小；反之速度越小，则压力越大；速度等于0，则压力达最大，此时压力称为滞止压力或驻点压力。,实际上，沿流线机械能有损失，通常用hf表示两截面间单位重量流体
3、的机械能损失，即,7,例题：（毕托管） 毕托管是一种测定空间点流速的仪器。如图，若要测定管流液体中A点的流速u，可由测压管测出该点的测压管液柱高度 ，并在A点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端开口的细管，一端的出口置于与A点相距很近的B点处，并正对来流，另一端向上。在B点处由于测速管的阻滞，流速为0，动能全部转化为压力能，测速管中液面升高为 。 B点称为滞止点或驻点。 应用理想流体定常流沿流线 的伯努利方程于A、B两点， 并取AB连线所在平面作为基 准面，则有,8,得 即 对于实际液体在应用上式计算A点流速时，需考虑液体粘性对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对流动的
4、干扰，应使用修正系数对该式的计算结果加以修正，即 式中 为流速系数，其值一般由试验确定。,9,例题：（文丘里管） 文丘里管用于测量管道中的流量。如图，文丘里管由入口段、收缩段、喉部和扩散段组成。在文丘里管入口断面1和喉部处断面2两处测量压差，设断面1、2的平均速度、平均压力和断面面积分别为 和 ，流体密度为 。由伯努利方程（忽略能量损失）和连续性方程可得出： 取 ，可得计算流量的公式,10,在应用中，考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均匀以及流动中的能量损失，计算流量时，还应乘上修正系数，即 称为文丘里流量系数，由实验标定。,11,例题：如图，有一水平放置的变直径弯曲管道，d1=500mm，d
5、2=400mm，转角=45，断面1-1处流速v1=1.2m/s，压力p1=245kPa，求水流对弯管的作用力（不计弯管能量损失）。 因弯管水平放置，故此弯管液体所受重力在平面内投影分量等于零，沿管轴线取基准面，则,2019年10月22日星期二,工程流体力学,12,列1、2断面能量方程，得 p2=243.96kPa 任设弯管对水流作用力R的方向，如图，它在x、y轴上的投影分量为Rx、Ry。分别列两坐标轴方向的动量方程，则,2019年10月22日星期二,工程流体力学,13,水对弯管的作用力：,14,将沿流线存在的动量方程,在某一时刻 t 沿流线积分有,称作柯西拉格朗日方程，可用来求解一些非定常流动。,4.5 柯西拉格朗日方程,对于不可压流体有,或,15,图示U型管中存在液体，液柱总长为L。 U型管两端接大气，中段有阀门，在阀门打开前，两端高差为h0，液体速度为零。当阀门打开后，两部分液体连通，液柱在U形管中产生振荡，现确定液柱运动方程及振荡周期。,液体在U型管中的振荡,16,考虑液体为不可压，U型管为等直径，并由连续方程有,因此,取阀门打开前自由面的平均高度作为坐标原点，对两自由面运用柯西拉格朗日方程:,并由 p1=p2=pa ，有,17,因为,因此,积分得,由初始条件,18,求得,因此运动方程为,速度方程为,振荡周期为,
