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1、2019年10月22日星期二,1,工程流体力学 (第四章 流体动力学基本原理),哈 尔 滨 工 程 大 学 动力与能源工程学院,4.4 伯努利方程 将动量定理应用于微元流管可以得到沿流线的伯努利方程,它是流体力学中最重要的方程之一,在工程中运用广泛。 如图所示的流管,设流管各截面上的物理量均匀。任取一微元段dl作为控制体。沿流管中心轴线物理量是l和t的函数,即B=B(l,t) 。若l截面参数以A,V,p, 表示,则l+dl 处的参数为A+dA ,V+(V/ l)dl ,p +(p/ l)dl , +( / l)dl 。 这里仅限于讨论理 想流体,故控制面上不 存在切向力,只有法向 力。,4.4
2、 伯努利方程,HEUJ&F,2,沿流线动量方程的建立:,已经建立的连续方程可写成,3,4,消去抵消量有,对微分项作适当展开有,进一步简化,5,对于定常流动,对上式积分,即可得到沿流线的伯努利方程:,不可压流体的伯努利方程为,动量方程沿流线积分,得到的是能量关系式。第一项是单位重量的压力能;第二项是单位重量的动能;第三项是单位重量的重力势能。三项之和是单位重量的总机械能。也可写成,6,若流线水平,则有,或,此时,显然同一条流线上速度越大,则压力越小;反之速度越小,则压力越大;速度等于0,则压力达最大,此时压力称为滞止压力或驻点压力。,实际上,沿流线机械能有损失,通常用hf表示两截面间单位重量流体
3、的机械能损失,即,7,例题:(毕托管) 毕托管是一种测定空间点流速的仪器。如图,若要测定管流液体中A点的流速u,可由测压管测出该点的测压管液柱高度 ,并在A点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端开口的细管,一端的出口置于与A点相距很近的B点处,并正对来流,另一端向上。在B点处由于测速管的阻滞,流速为0,动能全部转化为压力能,测速管中液面升高为 。 B点称为滞止点或驻点。 应用理想流体定常流沿流线 的伯努利方程于A、B两点, 并取AB连线所在平面作为基 准面,则有,8,得 即 对于实际液体在应用上式计算A点流速时,需考虑液体粘性对液体运动的阻滞作用,以及毕托管放入流场后对流动的
4、干扰,应使用修正系数对该式的计算结果加以修正,即 式中 为流速系数,其值一般由试验确定。,9,例题:(文丘里管) 文丘里管用于测量管道中的流量。如图,文丘里管由入口段、收缩段、喉部和扩散段组成。在文丘里管入口断面1和喉部处断面2两处测量压差,设断面1、2的平均速度、平均压力和断面面积分别为 和 ,流体密度为 。由伯努利方程(忽略能量损失)和连续性方程可得出: 取 ,可得计算流量的公式,10,在应用中,考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均匀以及流动中的能量损失,计算流量时,还应乘上修正系数,即 称为文丘里流量系数,由实验标定。,11,例题:如图,有一水平放置的变直径弯曲管道,d1=500mm,d
5、2=400mm,转角=45,断面1-1处流速v1=1.2m/s,压力p1=245kPa,求水流对弯管的作用力(不计弯管能量损失)。 因弯管水平放置,故此弯管液体所受重力在平面内投影分量等于零,沿管轴线取基准面,则,2019年10月22日星期二,工程流体力学,12,列1、2断面能量方程,得 p2=243.96kPa 任设弯管对水流作用力R的方向,如图,它在x、y轴上的投影分量为Rx、Ry。分别列两坐标轴方向的动量方程,则,2019年10月22日星期二,工程流体力学,13,水对弯管的作用力:,14,将沿流线存在的动量方程,在某一时刻 t 沿流线积分有,称作柯西拉格朗日方程,可用来求解一些非定常流动。,4.5 柯西拉格朗日方程,对于不可压流体有,或,15,图示U型管中存在液体,液柱总长为L。 U型管两端接大气,中段有阀门,在阀门打开前,两端高差为h0,液体速度为零。当阀门打开后,两部分液体连通,液柱在U形管中产生振荡,现确定液柱运动方程及振荡周期。,液体在U型管中的振荡,16,考虑液体为不可压,U型管为等直径,并由连续方程有,因此,取阀门打开前自由面的平均高度作为坐标原点,对两自由面运用柯西拉格朗日方程:,并由 p1=p2=pa ,有,17,因为,因此,积分得,由初始条件,18,求得,因此运动方程为,速度方程为,振荡周期为,