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1、第三章 不等式,3.3 一元一次不等式组与简单的线性规划问题,3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域,1.二元一次不等式(组)的概念 (1)含有 未知数，并且未知数的次数是 的不等式称为二元一次不等式由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 (2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集 2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0表示直线 某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成 以表示区域不包括边界 不等式AxByC0表示的平面区域包括边界，把边界
2、画成 .,实线,虚线,1,两个,AxByC0,3.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)把直线AxByC0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入AxByC所得的符号都 . (2)在直线AxByC0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由 的符号就可以断定AxByC0表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域,相同,Ax0By0C,1.二元一次不等式的一般形式是什么？,2.每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个区域吗？,提示：二元一次不等式的一般形式是AxByC0，AxByC1，x2等都是二元一次不等式,提示：不一定当不等式组的解集为空集时，不等式组不表示任何区域,3.平面内任意两点P(x1，
3、y1)、Q(x2，y2)在直线AxByC0同侧、异侧的等价关系分别是什么？,提示：由于直线同一侧的点的坐标使AxByC具有相同的符号，且一侧为正，另一侧为负，因而直线同一侧的点使AxByC的符号相同，直线两侧的点使AxByC的符号相反，因而我们有如下结论：P(x1，y1)、Q(x2，y2)在直线AxByC0同侧(Ax1By1C)(Ax2By2C)0；P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直线AxByC0异侧(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.,考点1 二元一次不等式表示的平面区域,例1： 画出不等式2xy60表示的平面区域,自主解答 先画直线2xy60(画成实线)，取原点(0,0)，代入2x
4、y6， 200660， 原点在2xy60表示的平面区域内 不等式2xy60表示的区域如图阴影部分所示：,画平面区域的注意事项： (1)边界虚实要分清一般地，AxByC0(0)表示的区域包括直线AxByC0，该直线要画成实线；AxByC0(0)表示的区域不包括直线AxByC0，该直线要画成虚线 (2)测试点选取要恰当一般地选原点(0,0)、(0,1)或(1,0)，如果测试点的坐标满足不等式，则所求区域为包括测试点的直线一侧，否则在直线的另一侧，最后将区域用阴影表示出来,1.画出下列不等式表示的平面区域： (1)2x3y60；(2)x1；(3)2y30.,解：(1)作直线2x3y60，将原点(0,
5、0)代入2x3y6，得2x3y60，故不等式表示的平面区域在原点一侧 故不等式2x3y60表示的平面区域是如图1所示的阴影部分 (2)不等式x1表示的平面区域是如图2所示的阴影部分 (3)不等式2y30表示的平面区域是如图4所示的阴影部分.,考点2 二元一次不等式组表示的平面区域,自主解答 不等式xy5表示直线xy50及左下方的区域 不等式x2y3表示直线x2y30右下方的区域 不等式x2y0表示直线x2y0及右上方的区域 所以不等式组表示的平面区域如图所示,例2中，平面区域的面积是多少？,(1)不等式组的解集是各个不等式解集的交集，所以不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共
6、部分 (2)在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可，其步骤为：画线；定侧；求“交”；表示,2.ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(2,0)，C(2,0)，则ABC内任意一点(x，y)所满足的条件为_,解析：分别求三边的直线方程，易得y0,2xy40,2xy40.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向因不包括边界，所求三个不等式分别为：y0,2xy40,2xy40.,考点3 二元一次不等式组表示平面区域的应用,自主解答 设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t，生产x t甲产品和y t乙产品的用电量是(2x8y) kW
7、h，根据条件，有2x8y160；用煤量为(3x5y) t，根据条件有3x5y150；用工人数5x2y200；另外，还有x0，y0. 综上所述，x、y应满足不等式组 甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，即如图所示的阴影部分(含边界),例3：一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源需求如下表：该厂有工人200人，每天只能保证160 kWh的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量的范围,解决此类问题应先根据问题的需要选取起关键作用的、关联较多的量用字母表示，进而问题中的所有量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件
8、或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可,3.某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.用不等式将书桌与书橱的产量之间的关系表示出来并画出相应的平面区域,解：设生产书桌x张，书橱y个， 则x、y满足 即 在平面直角坐标系中，画出上述不等式组表示的平面区域，如图，阴影部分的整点,求不等式组 表示的平面区域的面积,法二：首先作出两条直线xy10，xy10，如图(2)， 取特殊点D(1,1)代入不等式组，
9、有(111)(111)10， 因此点D(1,1)在不等式(xy1)(xy1)0表示的平面区域内同样地，取点E(1,1)， 则(111)(111)10， 即点E(1,1)也在不等式(xy1)(xy1)0表示的平面区域内，不难发现点O、F不在不等式表示的平面区域内 因此(xy1)(xy1)0表示的平面区域如图(3)所示，再结合条件2x0可得原不等式组所表示的平面区域如图(1)所示，面积求法同法一.,1以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是 ( ) Axy10 C2x5y100 D4x3y12,解析：把(0,0)代入逐个验证 答案：D,2不等式2x3y60表示的平面区域是 ( ),解析：把原点(0
10、,0)代入不等式得60成立，所以区域包含(0,0) 答案：D,3原点和点(1,1)在直线xya两侧，则a的取值范围是 ( ) Aa2 B0a2 Ca2或a0 D0a2,4.如图，能表示平面中阴影区域的不等式组是_,解析：要使(0,0)与(1,1)在直线xya的两侧，则有(a)(11a)0即可，由此解得0a2. 答案：B,解析：设直线方程为 1， 将(1,0)，(0,2) 代入得2xy20. 将(0,0)代入上式是20， 将(3,0)(0,2)代入得2x3y60，将(0,0)代入上式得60， 阴影区域所对应的不等式组为 答案：,5.点P(a,4)到直线x2y20的距离等于2 ，且在不等式3xy3
11、表示的平面区域内，则P点坐标为_,解：在平面直角坐标系中，作出xy20，xy20，和x2三条直线，利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分所示，其面积S42 4.,一、选择题,1不在3x2y6表示的平面区域内的点是 ( ) A(0,0) B(1,1) C(0,2) D(2,0),解析：可将每一个点代入3x2y6检验，满足不等式的就在3x2y6表示的平面区域内，不满足的，则不在它表示的平面区域内点(2,0)不满足3x2y6. 答案：D,2已知点(a,2a1)，既在直线y3x6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是 ( ) A(2，) B(5，) C(0,2) D(0,5),解析：(a,2a1
12、)在直线y3x6的上方， 3a6(2a1)0.即a5. 又(a,2a1)在y轴右侧，a0.0a5. 答案：D,3.完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为23，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，x，y满足的条件是( ),解析：木工和瓦工各请x、y人，有xy23， 50x40y2 000，且x、yN*. 答案：C,二、填空题,填空题,5.由直线xy20，x2y10和2xy10围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为_,6.已知x，y为非负整数，则满足xy2的点(x，y)共有_个,填空题,7.不等式|x|y|1所表示的平面区域的面积为_,填空题,三、解答题,9.一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？请用不等式(组)表示出来，并画出对应的平面区域,解：不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不 小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是 对应的平面区域如图阴影部分所示,
