《《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第10章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学分析选讲》考研很有用的参考资料(共15章)第10章（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 函数项级数 I 基本概念 一 函数列及其一致收敛性 1 定义 定义 1 设 ( )xfn是一列定义在同一数集 E 上的函数，若 Ex 0，数 列 收敛，则称函数列 在点 收敛， 称为()0xfn()xfn 0x0x ( ) xfn的收敛点，否则称函数列 在点 发散若 在()xfn0x()xfnED 上每点都收敛，则称 ( ) xfn在 上收敛，全体收敛点所成之集称为收敛域，此时在收敛域上的每一点，都有数列D( ) xfn的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的 D 上的函数，称为 ( ) xfn的极限函数若记之为 ，则有 f( ) ( )xfxfnn=lim ， Dx 函数列极限的 N
2、 定义： ( ) ( )xfxfnn=lim ， Dx Dx ， 0 ，()0, xN ， ，有 Nn( ) ( ) N ( )xf 在 一致收敛，即 D定义 2 设 ( )xfn与 定义在同一数集 上，若()xf D 0 ， ( ) 0 N ， ，有 NnDx( ) ( ) ， 0N ， ， ，有 Nmn ,Dx( ) ( ) ， 0N ， Nn ，有 ( )() ， ， ， ，有0NNn p Dx ( ) ( ) M ， ( ) Mxun ， Ix ， null,2,1=nxvn则 在() ()=1nnnxvxu I 一致收敛 3 和函数的分析性质 定理 12 若 ( )xun在 处连续（
3、0x null,2,1=n ） ，且 在 某领域一致收敛，则在 处连续 ()=1nnxu0x() ()=nkkxuxS10x定理 13 若 ( )xun在 ( 内连续（)ba, null,2,1=n ），且 在 ()=1nnxu ( )ba, 内闭一致收敛，则 在 ( 内连续 () ()=nkkxuxS1)ba,定理 14 （连续性） 若 在()=1nnxu ba, 一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在 上也连续，即 ba,() ()=1100limlimnnxxnnxxxuxu 即求和与求极限可以交换次序 定理 15 （逐项求积）在定理 14 的条件下，有 () ()=11 nbanban
4、ndxxudxxu 即求和与求积分可交换次序 定理 16 （逐项求导）若函数项级数 满足条件： ()=1nnxu（1） 在()xun ba, 上有连续的导函数， null,2,1=n ； （2） ， 在 点收敛； bax ,0 ()=1nnxu0x（3） 在 一致收敛， ()=1nnxu )ba,则 () ()=11 nnnnxuxu三 幂级数及其收敛域 形如 的函数项级数称为幂级数，通过变换可化为 (=10nnnxxa=1nnnxa1 收敛半径、收敛区间、收敛域 定理 17 （阿贝尔引理）对幂级数，若它在点=1nnnxa 00x 收敛，则对满足不等式0xx 的任何 x都发散 由此易得幂级数
5、的收敛域是以原点为中心的区间，若以=1nnnxa R2 表示区间的长度，称 R 为收敛半径，称 ( 为收敛区间，而收敛域可能包括收敛区间的端点 )RR,R 的求法 2 收敛半径定理 18 若 =nnnalim ，则当 （1） +R ( )RR, 内任一闭区间都一致收敛且绝对收敛；若 收敛，则在=1nnnRa=1nnnxa R,0 一致收敛 定理 21 若幂级数 的收敛半径 ，则其和函数在=1nnnxa 0R ( )RR, 内连续、可积、可微，且有任意 阶导数，并满足逐项可积和逐项求导法则 n注 幂级数与其诱导级数（逐项求导或求积）具有相同的收敛半径，但其收敛域有可能变化，即收敛区间端点的收敛性
6、可能发生变化 四、函数的幂级数展开 1 泰勒级数 若 在 存在任意阶导数，称幂级数 f ()0xU() ()( )( )( )()nullnull +nnxxnxfxxxfxf00000!为函数 在 的泰勒级数 ()xf0x注 （1）泰勒级数未必收敛； （2）泰勒级数即使收敛，亦未必收敛于 ( )xf 如 ()=0,00,21xxexfx在 点 0=x2 收敛定理 定理 22 设 在点 具有任意阶导数，那么 在f0x f ( )0xU 内等于它的泰勒级数的和函数的充分必要条件是： ，)(0xUx ( ) 0lim =xRnn这里 ( )xRn是 在 的泰勒公式余项 f0x定理 23 若函数 在
7、 存在任意阶导数，且f ()0xU 0M ，有 ()() Mxfn ， null,2,1=n ， ( )0xUx ， 则 ()()()()=000!nnnxxnxfxf 若函数 在 的泰勒级数收敛于 ()xf0x ( )xf ，则称泰勒级数为 在 的泰勒展开式或幂级数展开式，也称 在 可展为幂级数或泰勒级数当f0xf0x 00=x 时的泰勒级数又称为马克劳林级数 3 初等函数的幂级数展开式 （1）=0!nnxnxe ， ； Rx（2） ()()=1121!121sinnnnnxx ， Rx ； （3） ()()=02!21cosnnnnxx ， Rx ； （4） ()()=+1111lnnnn
8、nxx ， 1,1(x ； （5） ()()( )=+=+1!1111nnxnnxnull，当 1 时， ；当(1,1x )01 时， 1,1x ； （6）=011nnxx， 1 ，有 ， 0 ，当 ,),(0baxUx 时，有 N 当 时，有2Nn 时，有 2)()()()()()(00 有 = N 当 时，Nn , bax ，有 1)()( xf0m 2m= ， 0N ，当 时， Nn , bax ，有 2)()(mxfxfn ， 所以当 时， 在 无零点同时，我们有 Nn )(xfn, ba)()(4)()()()()(1)(12xfxfmxfxfxfxfxfxfnnnn= ， 由一致收
9、敛的定义立得)(1xfn, ,),()(1baxnxf 例 6（华东师大 2001）设 在 上连续，)(xf 1,0 0)1( =f 证明： （1） nx 在 上不一致收敛； 1,0（2） nxxf )( 在 上一致收敛 1,0证 （1 ）由于 = ，当 1,1( x 时，有 M1,0x Mxf )( ，于是有 0)1(lim)(suplim1,0=nnnxnMxxf ， 从而当 n 充分大时，有 0)(sup1,0nxxxf ， 即 nxxf )( 在 上一致收敛于 0 1,0例7 （河北师大） （1）设（i） ),2,1()( null=nxfn在 上连续； ), ba（ii） 在 上一致
10、收敛于 ； )(xfn), ba )(xf(iii) 在 上 ， ), ba 1),()(1+nxfxfnn试证： )(xfne 在 上一致收敛于 ), ba)(xfe（2）若将（1）中条件（iii）去掉， （1）中结论是否还成立？试证明你的结论 证 （1）由例 4 的结论知， baM ,max ，使得 1),)(,)( nbaxMxfMxfn 令 ，则 在 上连续，从而一致连续，即xexg =)( )(xg , MM ,0,0 当，且,21MMxx ， ，当，有 0N), baxNn M ,1 baxn ，有 MxfMxfn )(,)( ； （2）若 在 内连续，则 在 上一致收敛到 )(x
11、g ),( + )( xfgn, ba )( xfg例 8（北京大学 1996）设在 上， 一致收敛于 ， 一致收敛于若存在正数列 ，使得 , ba )(xfn)(xf )(xgn)(xg nM1,)(,)( nbaxMxgMxfnnn 证明： 在 上一致收敛于 )()( xgxfnn , ba )()( xgxf提示 ： 仿例 4 可证 和 均在 上一致有界，然后利用定义即可 )(),( xfxfn)(),( xgxgn, ba例9 （中科院 2000）设函数 在 上有连续的导函数 )(xf , ba )(xf ， ba ， ,21baxx ，当 bN1,1max ，则当 时， Nn , a
12、x ，有 ,1banx + ，从而由上式和微分中值定理得 )0()()()()(1 ， 0 （ 1 bax , ，有 ( ) ( ) ， ， ，有 0NNn Ix() ( ) ，当1,2+ bax N Nn = N )1,0)2(1,21000=+=nxNNn ，有 000001)211(2)211(2)211(2)()(00=nnnnxSxS ， 由定义知 在 上非一致收敛 =0nnx )1,0注 在证法二中运用了贝努里不等式：当 1x 时，有 可用数学归纳法证明这个结论 nxxn+ 1)1(思考题 5（同济大学）证明： 在 上处处收敛，但非一致收敛 =1)1(nnnxx 1,0提示：当 时
13、显然收敛，当1=x )1,0x 时， ，收敛非一致收敛类似上题证法一 =1211)1(nnnnnnnxxxx思考题 6（中科院）证明：函数级数=+031nxnn在 内收敛，但非一致收敛 )1,0(提示：证明非一致收敛时取 30= nx例13 （吉林大学）设 null,2,1,sin,01=p 2p 时发散 证 由第一章例 26 得 13lim =nxnn， 由此立得结论成立 2 放大法 对于函数列，将 () ()xfxfn 适当放大至一个与 x无关的收敛于零的数列（无穷小量），即 () ( ) 0nnxfxf （ n ） 其中n 与 x无关 对于级数，则讨论其余项 ，即 ()xRn() 0nnxR （ n ）， 其中n 与 x无关 实现放大有很多技巧，如通过已知的不等式，求极值，余项估计，递推放大等 例14 设 在 上可积，()xfnba, null,2,1=n ， ( )xf ， ( )xg 在 ba, 上也可积，且 () () 0lim2=banndxxfxf ， 记 ， ，则在() ()()=xadttgtfxh () ()()=xanndttgtfxh ba, 上 ( )xhn, ()xh )( n证 （不等式法）由于 () () () () ()=xanndttgtftfxhxh () () ()xandttgtftf () () ()21221
