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1、高中数学必修2知识点总结02 点、直线、平面的位置关系 点、直线、平面是构成空间几何体基本元素，研究它们之间的性质以及相互之间的位置关系，是研究空间几何体性质的一般方法。教材要求：理解空间中点、直线、平面的位置关系；学会用数学语言表述有关平行、垂直的判定与性质，并对某些结论进行论证；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理等一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试要求：考试内容：1、平面及其基本性质； 2、平行直线；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；异面直线的公垂线；异面直线的距离；3、直线和平面平行的判定与性
2、质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；4、平行平面的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质；考试要求：1、掌握平面的基本性质；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。2、掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离；3、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的
3、概念掌握三垂线定理及其逆定理；4、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。二、空间中的平行关系课标要求：1平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空
4、间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已
5、获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。要点精讲：1平面的性质（1）平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）无边界（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2三公理三推论：公理1：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。用符号表示：公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有
6、一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。用符号表示为：3空间中两直线位置关系:（1）空间两条直线有且仅有三种位置关系：异面直线：1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线（skew lines）； 2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。其图形与符号语言如下：注：异面直线的画法常用的有下列三种：异面直线所成的角：1）范围： ；2）作异面直线所成的角：平移法。如下图，在空间任取一点O，过O作，则所成的角为异面直线a,b所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面
7、直线所成的角。（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递公理），其符号表述：（3）定理（等角定理）：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。4空间中直线与平面的位置关系（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）其中，直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为。线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号表示
8、为：图形表示为：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。符号表示为：。图形表示为：5空间两平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。符号表示为：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。符号表示为：（2）两平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
9、注：证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：ab，a ，b ，a，b，则。（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：a，a则。（4）平行于同一个平面的两个平面平行。两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：，a ，则a。（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为
10、：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：，=a，=b，则ab。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：，a，则a。（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。三、空间中的垂直关系课标要求：以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。通过直观感知、操作确认，归纳出以
11、下性质定理，并加以证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。要点精讲：1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。符号表示：注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2线面垂直定义：如果
12、一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直。其中直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面垂直记作：l。直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。3面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂
13、直。附注：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：四、空间中的夹角和距离（拓展）课标要求：1掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。2掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；要点精讲：1距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都
14、是十分重要的。求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。（2）点到平面的距离平面外一点P 在该平面上的射影为P，则线段PP的长度就是点到平面的距离；求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间
15、的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：找出或作出表示有关距离的线段；证明它符合定义；归到解某个三角形若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA的长度为d ，在a 上有线段AE m ，b 上有线段AF n ，那么（“”符号由实际情况选定）2夹角空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0，90、0，90和0，180。（1）两条异面直线所成的角求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面
