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1、喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究,函数的最大值与最小值.,1.3.1 单调性与最大（小）值,引入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了有趣的数据,数据表明，记忆的数量y是时间间隔t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：,100,思考1：当时间间隔t逐渐增大 时，你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？ 思考2: “艾宾浩斯记忆遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？
2、,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,1、从左至右图象上升还是下降 _? 2、在区间 _上，随着x的增大，f(x)的值随着 _ ,f(x) = x,(-,+),增大,上升,1、在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _ 2、 在区间 _ 上，f(x)的值随着x的增大而 _,f(x) = x2,(-,0,(0,+),增大,减小,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,在某一区间内 当x的增大时，函数值y反而减小,图象在该区间内呈下降趋势；,在某一区间内 当x的增大时，函数值y也增大,图象在该区间内呈上升趋势；,函数的这种性质称为函数的单调性。,函数 f(x)=x2 :,x12,x22,x,0
3、,x1,x2,y,f (x1),f (x2),在(0,+)上任取 x1、x2 ,如何用x与 f(x)来描述上升的图象？,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个,称函数 f(x)在这个区间上是增函数。,如何用x与 f(x)来描述下降的图象？,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个,称函数 f(x)在这个区间上是减函数。,1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；,注意：,2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1f(x2) 分别是增函数和减函数.,如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单
4、调性， 区间D叫做y=f(x)的单调区间.,函数的单调性定义,注意：函数的单调区间是其定义域的子集；,例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)上是减函数，在区间-2,1), 3,5 上是增函数。,根据下图说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，函数是增函数还是减函数.,解：函数的单调区间是-1,0）,0,2）,2,4）,4,5. 在区间-1,0）,2,4）上，函数是减函数； 在区间0,2
5、）,4,5上，函数是增函数.,课本P32 3,注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；,在(-,0)上是_函数,在(0,+)上是_函数,减,减,反比例函数 ：,-2,y,O,x,-1,1,-1,1,2,在(-,0)上是_函数,在(0,+)上是_函数,减,减,函数 ：,y,O,x,在 (0,+) 上任取 x1、 x2 当x1 x2时，都有f(x1) f(x2),y,O,x,-1,1,-1,1,
6、取自变量1 1， 而 f(1) f(1),在 增函数 在 减函数,在 增函数 在 减函数,当a0时 在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,当a0时 在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,答案：D,证明函数 在R上是减函数.,即,例2.利用定义：,证明：设 是R上任意两个值，且 ，,则,判断函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上
7、的单调性的一般步骤：,思考？,思考：画出反比例函数f(x)=1/x的图象P30 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论,证明：函数f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,证明：设x1,x2是(0，+)上任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)- f(x2)=,由于x1,x2 得x1x20,又由x10 所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f(x2),因此 f(x)=1/x 在(0，+)上是减函数。,取值,定号,变形,作差,结论,课本P39 A 3,4、 y(x3)|x|的递增区间是_,已知f(x)是定义在1,1上的增函数，且f(x1)f(13x
8、)，求x的取值范围,观察下列两个函数的图象：,B,探究点1 函数的最大值,【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)M,思考1 这两个函数图象有何共同特征？,最大值,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最大值,请同学们仿此给出函数最小值的定义,最小值,一般地，设函数y=f(
9、x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M; （2）存在x0I，使得f(x0) = M,那么，称M是函数y=f(x)的最小值,2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M（f(x)M）,注意：,1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f(x0) = M；,例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（
10、精确 到1m）,解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.,由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:,于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.,例4.求函数 在区间2，6上的最大值和最小值,解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则,由于20,(x1-1)(x2-1)0,于是,所以，函数 是区间2,6上的减函数.,因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .,利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法,1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值,2. 利用图象求函数的最大(小)值,3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ；,如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,
