《数字电子技术第2章逻辑代数基础》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字电子技术第2章逻辑代数基础（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数 字 电 子 技 术 第2章 逻辑代数基础,范立南 田丹 李雪飞 张明 编著 清华大学出版社,本章知识结构图,第2章 逻辑代数基础,2.1 逻辑代数 2.2 逻辑函数的化简法 2.3 实例电路分析,2.1 逻辑代数,2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式 1基本定律 (1) 0-1律 (2) 交换律 (3) 结合律 (4) 分配律,(5) 重叠律 (6) 互补律 (7) 反演律 (8) 还原律,2恒等式,2.1.2 逻辑代数的基本规则,1代入规则 在任何一个含有变量A的逻辑等式中，若以一函数式取代该等式中所有A的位置，该等式仍然成立。 2反演规则 反演规则：在一个逻辑式中，若将其中所有的“+
2、”变成“”，“”变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，原变量变成反变量，反变量变成原变量，所得函数式即为原函数式的反函数式。 3对偶规则 对偶规则：在一个逻辑式中，若将其中所有的“+”变成“”，“”变成“+”，“ 0”变成“1”， “1”变成“0”，所得函数式即为原函数式的对偶式。,2.1.3逻辑函数的变换及表示方法,1逻辑函数的表示方法 真值表 逻辑函数式 逻辑图 卡诺图 波形图,2逻辑函数表示方法之间的相互转换 (1) 由真值表写出逻辑函数式 找出真值表中使函数值为1的输入变量取值组合； 每个输入变量取值组合都对应一个乘积项，变量取值为1，用原变量表示，变量取值为0，用反变量
3、表示。字母本身为原变量，字母上方加非号为反变量； 将这些乘积项相加即可。 (2) 由逻辑函数式画逻辑图 按题目要求将逻辑函数式转换为指定形式； 用逻辑图形符号取代逻辑函数式中的运算符号； 按从输入到输出的顺序将逻辑图形符号依次连接起来。,(3) 由逻辑图写出逻辑函数式 从逻辑图的输入端到输出端依次写出各逻辑图形符号对应的 逻辑运算式。如果逻辑图比较复杂，建议通过设置中间临时 变量，最终得到逻辑函数式。,2.2 逻辑函数的化简法,2.2.1 最小项的定义及其性质 1最小项的定义 在n变量的逻辑函数中，如果一个乘积项包含了所有的变量，并且每个变量在该乘积项中以原变量或反变量的形式仅出现一次，则该乘
4、积项就称为逻辑函数的最小项。 例如， 一个变量A有二个最小项： 。 二个变量AB有四个最小项： 。 三个变量ABC有八个最小项： 。 依此类推，n个变量共有 个最小项。,2最小项的性质 (1) 任何一个最小项，只有一组与之对应的变量组合使其取值为1，其他各种变量组合均使其取值为0。 (2) n变量的所有最小项之和恒为1。因为无论输入变量如何取值，总有某个最小项的值为1，因此其和必定为1。 (3) 任意两个最小项之积为0。 (4) 具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项，并消去一个不同因子。,2.2.2 逻辑函数的最小项表达式,最小项通常用m表示，其下标为最小项的编号。编号的方法如下：在每
5、一个最小项中，原变量取值为1，反变量取值为0，则每一个最小项对应一组二进制数，该二进制数所对应的十进制数就是这个最小项的编号。,三变量的最小项编号表,2.2.3 逻辑函数的代数化简法,代数法化简是指直接利用逻辑代数的基本定律和规则，对逻辑函数式进行变换，消去多余项和多余变量，以获得最简函数式的方法。判断与或表达式是否最简的条件是： (1) 逻辑乘积项最少； (2) 每个乘积项中变量最少。 代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有：并项法、吸收法、消因子法、消项法和配项法5种。,1并项法 运用公式 可以将两个乘积项合并为一项，消去一对不同因子和。 例:试用并项法化简逻辑函数 解：,2吸收法 运
6、用公式 ，消去多余的乘积项。 例：试用吸收法化简逻辑函数 解：,3消因子法 运用公式 ，消去多余的因子。 例：试用消因子法化简逻辑函数 解：,4消项法 运用公式 和 ，消去冗余项。 例：试用消项法化简逻辑函数 解：,5配项法 运用公式 或 ，将某乘积项一项拆成两项，然后再与其他项合并，消去多余项。有时多出一项后，反而有利于化简逻辑函数。 例：试用配项法化简逻辑函数 解：,2.2.4 用卡诺图表示逻辑函数,1变量的卡诺图,二变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,2逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换 (1) 从逻辑函数式到卡诺图 将逻辑函数式转换成最小项和的标准形式； 将逻辑函数的全部最小项填入卡
7、诺图相应的方格中； 将逻辑函数中包含的最小项对应方格改写成1，不包含的最小项对应方格改写成0(也可以不填)。 (2) 从卡诺图到逻辑函数式 将卡诺图转换成逻辑函数式的操作步骤：将卡诺图中所有填1的小方块所表示的最小项相加即可得到相应的逻辑函数式。,2.2.5 用卡诺图化简逻辑函数,1卡诺图化简逻辑函数的原理 利用卡诺图化简逻辑函数，是依据逻辑相邻的最小项合并可消去多余因子，保留公共因子的原理来实现。其中， 具有逻辑相邻性的2个最小项相加，可合并为1项，消去1个取值不同的变量。 具有逻辑相邻性的4个最小项相加，可合并为1项，消去2个取值不同的变量。 具有逻辑相邻性的8个最小项相加，可合并为1项，
8、消去3个取值不同的变量。,2逻辑相邻最小项的合并,三变量卡诺圈的合并,四变量卡诺圈的合并,最小项的合并规则： 卡诺圈内的1方格应尽可能多，卡诺圈越大，消去的乘积项数越多。但卡诺圈内的1方格个数必须为2n个，即2、4、8、16等，不能是其他数字。 卡诺圈的个数应尽可能少，卡诺圈数即为逻辑函数化简后与或表达式中的乘积项数。 不能遗漏任何一个1方格。若某个1方格不能与其他1方格合并，可单独作为一个卡诺圈； 1方格可以被重复圈在不同的圈中，但在新画的圈中至少要含有1个未被圈过的1方格。,3用卡诺图化简逻辑函数的步骤 将逻辑函数化为最小项之和的形式；(该步骤可省略) 画出逻辑函数的卡诺图； 合并卡诺图中
9、的相邻最小项； 将各个包围圈所得到的乘积项相加，即可得到逻辑函数的最简与或表达式。,4具有无关项的逻辑函数卡诺图化简 (1) 无关项的概念 (2) 具有无关项的逻辑函数卡诺图化简 在卡诺图中，无关项用“”表示。在逻辑函数表达式中，无关项用字母d和相应的编号表示。具有无关项的逻辑函数卡诺图化简，具体步骤是： 用卡诺图表示具有无关项的逻辑函数； 利用无关项可以当0也可以当1(可圈可不圈)的特点，合并最小项将逻辑函数画至最简。 根据化简后的卡诺图写出与或逻辑表达式,2.3 实例电路分析,本章小结,逻辑代数是分析和设计数字电路的重要数学工具。在逻辑代数中，只有0和1两种取值，仅用来表示两种截然不同的状
10、态，而并不表示数量的大小。逻辑代数有与、或、非三种基本逻辑运算，与非、或非、与或非以及异或和同或等常用的复合逻辑运算，利用这些简单的逻辑关系可以组合成更复杂的逻辑运算。,本章重点讲解了逻辑代数的基本公式、定理和逻辑函数的表示、逻辑函数的化简三部分内容。常用的逻辑函数表示方法有真值表、逻辑函数表达式、卡诺图、逻辑图和波形图，它们之间可以任意地互相转换。不同表示方法各具特点，适宜不同的应用。真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。卡诺图主要用于化简逻辑式。逻辑图是分析和安装实际电路的依据。,逻辑函数化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电路简单、成本低、可靠性高。逻辑函数的化简方法主要有代数法和卡诺图法两种。代数法是用逻辑代数的基本公式与规则进行化简，必须熟记基本公式和规则并具有一定的运算技巧和经验。而卡诺图法是基于合并相邻最小项的原理进行化简的，特点是简单、直观。,
