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1、近年中考数学压轴题大集合（二）17.如图，在平面直角坐标系内，C与y轴相切于D点，与x轴相交于A（2，0）、B（8，0）两点，圆心C在第四象限.（1）求点C的坐标；（2）连结BC并延长交C于另一点E，若线段BE上有一点P，使得AB2BP·BE，能否推出APBE？请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线BE上是否存在点Q，使得AQ2BQ·EQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，也请说明理由.解 （1） C（5，-4）； （2）能。连结AE ，BE是O的直径， BAE=90°. 在ABE与PBA中，AB2BP· BE , 即, 又ABE=PBA,ABEPB
2、A . BPA=BAE=90°, 即APBE . （3）分析：假设在直线EB上存在点Q，使AQ2BQ· EQ. Q点位置有三种情况：若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C即点Q；若无两条等长，且点Q在线段EB上，由RtEBA中的射影定理知点Q即为AQEB之垂足；若无两条等长，且当点Q在线段EB外，由条件想到切割线定理，知QA切C于点A.设Q(),并过点Q作QRx轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程： 当点Q1与C重合时，AQ1=Q1B=Q1E, 显然有AQ12BQ1· EQ1 ,Q1(5, -
3、4)符合题意； 当Q2点在线段EB上， ABE中，BAE=90°点Q2为AQ2在BE上的垂足， AQ2= 4.8（或）.Q2点的横坐标是2+ AQ2·BAQ2= 2+3.84=5.84,又由AQ2·BAQ2=2.88,点Q2（5.84，-2.88）, 方法一：若符合题意的点Q3在线段EB外,则可得点Q3为过点A的C的切线与直线BE在第一象限的交点.由RtQ3BRRtEBA，EBA的三边长分别为6、8、10,故不妨设BR=3t，RQ3=4t，BQ3=5t, 由RtARQ3RtEAB得， 即得t=，注:此处也可由列得方程； 或由AQ32 = Q3B·Q3E=
4、Q3R2+AR2列得方程)等等Q3点的横坐标为8+3t=， Q3点的纵坐标为，即Q3（，）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE过B(8, 0), C(5, -4), 直线BE的解析式是 . 设Q3（，）,过点Q3作Q3Rx轴于点R, 易证Q3AR =AEB得 RtAQ3RRtEAB, , 即 ,t= ,进而点Q3 的纵坐标为，Q3（，）. 方法三：若符合题意的点Q3在线段EB外,连结Q3A并延长交轴于F,Q3AB =Q3EA，,在R tOAF中有OF=2×=，点F的坐标为（0，）,可得直线AF的解析式为 , 又直线BE的解析式是 ,可得交点Q3（，）. 18.如图1，抛物线关
5、于y轴对称，顶点C坐标为（0，h ）(h>0)， 交x轴于点A（d,0）、B（-d,0）（d>0）。（1）求抛物线解析式（用h、d表示）；（2）如图2，将ABC视为抛物线形拱桥，拉杆均垂直x轴，垂足依次在线段AB的6等分点上。h=9米。(i )求拉杆DE的长度；FGxyCBOA图4(ii)若d值增大，其他都不变，如图3。拉杆DE的长度会改变吗？(只需写结论)（3）如图4，点G在线段OA上，OG=kd（比例系数k是常数，0k1），GFx轴交抛物线于点F。试探索k为何值时，tgFOG= tgCAO？此时点G与OA线段有什么关系？解 （1）用顶点式，据题意设y=ax2+h代入A（d，0）
6、得a=y=x2+h(2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=x2+9据题意OE=d，设D（d，yD）点D在抛物线上，yD=(d)2+9=5，DE=5米。(ii) 拉杆DE的长度不变。（3）OG=kd，点F坐标可设（kd，yF）代入y=x2+h ，得：yF= h(1k2) tgFOG= tgCAO ， = 解得 （0<k<1，舍），此时点G是线段OA的黄金分割点。19.已知：抛物线经过A（2，0）、B（8，0）、C（0，）CO（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为P，把APB翻折，使点P落在线段AB上（不与A、B重合），记作，折痕为EF，设A= x，PE = y，求y关于x
7、的函数关系式，并写出定义域；（3）当点在线段AB上运动但不与A、B重合时，能否使EF的一边与x轴垂直？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请你说明理由。解 （1）设 把代入得 即 （2）顶点P（ AP=AB=BP=6 作于G，则，又，在中， （3）若轴 则 ， （舍去） 若轴 则 ， （舍去） 若轴， 显然不可能。 或 20.已知抛物线：（，为常数，且，）的顶点为，与轴交于点；抛物线与抛物线关于轴对称，其顶点为，连接，注：抛物线的顶点坐标为（1）请在横线上直接写出抛物线的解析式：_；（2）当时，判定的形状，并说明理由；（3）抛物线上是否存在点，使得四边形为菱形？如果存在，请求出的值；如果不存在，
8、请说明理由解 （1）（2）当时，为等腰直角三角形3分理由如下：如图：点与点关于轴对称，点又在轴上，过点作抛物线的对称轴交轴于，过点作于当时，顶点的坐标为，又点的坐标为，从而，由对称性知，为等腰直角三角形 （3）假设抛物线上存在点，使得四边形为菱形，则由（2）知，从而为等边三角形 四边形为菱形，且点在上，点与点关于对称与的交点也为点，因此点的坐标分别为，在中，故抛物线上存在点，使得四边形为菱形，此时21.如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点(n0）以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB2OA矩形AOBC绕点A逆时针旋转90o得矩形AGDE过点A的直线ykxm 交y轴于点
9、F，FBFA抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HMx轴，垂足为点M(1)求k的值；(2)点A位置改变时，AMH的面积和矩形AOBC 的面积的比值是否改变？说明你的理由解 （1）根据题意得到：E（3n，0）， G（n，n）当x0时，ykxmm，点F坐标为（0，m）RtAOF中，AF2m2n2，FBAF，m2n2(-2nm)2，化简得：m0.75n， 对于ykxm，当xn时，y0，0kn0.75n，k0.75 （2）抛物线y=ax2+bx+c过点E、F、G， 解得：a，b，c0.75n 抛物线为y=x2x0.75n 解方程组： 得：x15n，y13n；x20，y
10、20.75n H坐标是：（5n，3n），HM3n，AMn5n4n，AMH的面积0.5×HM×AM6n2； 而矩形AOBC 的面积2n2，AMH的面积矩形AOBC 的面积3:1，不随着点A的位置的改变而改变 22.如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在x轴上，AB=25，顶点C在y轴的负半轴上，tanACO=，点P在线段OC上，且PO、PC的长(PO<PC)是关于x的方程x2-(2k+4)x+8k=O的两根 (1)求AC、BC的长； (2)求P点坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形?若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若
11、不存在，请说明理由解 (1) ACB=900，COAB， ACO=ABC tanABC=， RtABC中，设AC=3a，BC=4a 则AB=5a，5a=25 a=5 AC=15， BC=20 (2) SABC=AC·BC=OC·AB， OC=12 PO+PC=4+2k=12 k=4 方程可化为x2-12x+32=O解得x1=4，x2=8 PO<PC PO=4 P(O，-4) (3)存在，直线PQ解析式为：y=- x-4或y=- -423.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程x2-18x+72=0的两个根，点
12、C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD (1)求点C的坐标； (2)求直线AD的解析式； (3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解 (1)OA=6，OB=12 点C是线段AB的中点，OC=AC作CEx轴于点E OE=OA=3，CE=OB=6 点C的坐标为(3，6) (2)作DFx轴于点F OFDOEC，=，于是可求得OF=2，DF=4 点D的坐标为(2，4) 设直线AD的解析式为y=kx+b把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得 直线AD的解析式为y=-x+6 (3)存在 Q1(-
13、3，3) Q2(3，-3) Q3(3，-3) Q4(6，6) 二、函数与方程综合的压轴题1.已知抛物线yx2mxm2. （1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB，试求m 的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 MNC的面积等于27，试求m的值.MNCxyO解（1）设点（x1，0）,B(x2，0) .则x1 ，x2是方程 x2mxm20的两根. x1 x2 m ，x1·x2 =m2 0 即m2 又ABx1 x2 m24m3=0. 解得：m=1或m=3(舍去), m的值为1. （2）设M(a，b)，则N(a，b) . M、N是抛物线上的两点, 得：2a22m40 .a2m2.当m2时，才存在满足条件中的两点M、N. 这时M、N到y轴的距离均为, 又点C坐标为（0，2m）,而SM N C = 27 ,2××（2m）×=27. 解得m=7 . 2.已知二次函数(为常数，=)的图象与轴相交于A，B两点，且A，B两点间的距离为，例如，通过研究其中一个函数及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。5
