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1、测试信号处理,机械工业出版社,目 录,第章 测试信号处理的理论基础 第章 离散傅里叶变换 第章 数字滤波器的设计 第章 离散随机信号的特征描述及其估计 第章 功率谱估计 第章 维纳滤波器和卡尔曼滤波器 第章 自适应滤波器 第章 小波变换 第章 信号测试技术,第章 数字滤波器的设计,3.1 引言 3.2 时域离散信号与时域离散系统 3.3 序列傅里叶变换 3.4 序列的z变换,3.1 引言 滤波器能够滤除信号中一些不必要的频率成分。也就是说，滤波就是改变输入信号的中所含频率分量的相对比例，它是信号处理的主要内容之一。模拟滤波器具有成熟的设计方法，这里不作详细介绍。数字滤波器与模拟滤波器的不同是实
2、现方式。数字滤波是采用数值运算的方法达到滤波目的，可以按照一定的算法编写软件，通过计算机实现滤波；也可以按照算法选用硬件组成专用计算机实现滤波；另外目前已研制出各种专用数字信号处理芯片，可以很方便地实现一个数字滤波器。,3.1 引言 数字滤波器具有高精度、高稳定性、可采用超大规模集成电路、体积小、重量轻、实现灵活且不要求阻抗匹配等优点。因此数字滤波器在很多方面优于模拟滤波器。 数字滤波器和模拟滤波器一样，从频率响应分类可以划分成低通、高通、带通和带阻等滤波器，当然还有其它一些按照具体技术要求提出的滤波器。这里需要说明的是由于序列的傅立叶变换具有以2为周期的周期性，滤波器的特性也具有这一周期性，
3、各种滤波器的幅度特性示意图如图3-1所示。由图可见，低通通带处于0或2整数倍频率附近；高通通带处于的奇数倍频率附近。,数字滤波器按单位脉冲响应长度可分成无限脉冲响应滤波器和有限脉冲响应滤波器两类，分别称为IIR滤波器和FIR滤波器；按照滤波器的实现方法可以分成递归滤波器和非递归滤波器两类。当然一般情况下递归滤波器对应IIR滤波器，非递归滤波器对应FIR滤波器。 数字滤波器可用N阶差分方程,来描述，相应的系统函数为 滤波器的设计任务就是根据预先规定的技术指标，找到一组系数，使其滤波器的性能满足技术指标。如果找到了，剩下的问题就是设计一个具体的网络结构去实现它。,滤波器的技术指标可以在频域也可以在
4、时域给出，但通常是在频域给出。图3-1所示的是一些理想滤波器的幅度特性，是非因果的，我们只能设计一个因果滤波器尽量逼近它，通常只要满足给定的指标就可以了。一个实际滤波器的幅度特性在通带中允许有一定的波动，阻带衰减大于给定的衰减，且在通带阻带之间允许有一定宽度的过渡带。图3-2示出了一个低通滤波器的幅频特性。,通带频率范围是,在通带中要求,称为通带上限频率或称滤波器截止频率。频率范围称为阻带，在阻带内要求称为阻带下限频率。频率在和之间称为过渡带，一般要求在过渡带幅度特性单调下降。通带内衰减（波动）和阻带内衰减（波动）通常用dB表示。对于图3-2，令 （3-3) （3-4）,式中 称为滤波器相位频
5、率特性，一般选频滤波器对 没有要求。但要求具有线性相位特性时，设计时要考虑满足 （ 为时延常数）。,3.1 无限长单位脉冲响应IIR数字滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫（Chebyshev）滤波器、椭圆（Cauer）滤波器、贝塞尔（Bessel）滤波器等，他们都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器各有特点，例如巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅度特性，切比雪夫滤波器的通带内或阻带内有波动，提高了滤波器的选择性，贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性。,根据
6、以上特点只要选定一种类型，就可以用相应的设计公式或曲线图表，按规定的技术指标设计出模拟滤波器的传输函数。为了利用模拟滤波器这些成熟的理论和设计方法，设计数字滤波器可以按技术要求设计一个模拟滤波器 ,再按一定的转换关系，将 转换成数字滤波器的 。这样问题就变成了如何将s平面上的 转换成z平面上的数字滤波器 。,为了保证转换后的仍满足技术要求，必须对转换关系提出如下要求： 1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器后，仍是因果稳定的。模拟滤波器 因果稳定要求极点位于s平面左半平面上；数字滤波器因果稳定要求极点位于单位圆内。因此转换关系应使s平面的左半平面映射z平面的单位圆内部。 2)数字滤波器的频响
7、应模仿的频响 ，即要求s平面的虚轴j线性映射到z平面的单位圆上。 将传输函数 从s平面转换到z平面的方法有很多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性不变法，下面我们分别对这两种方法进行研究。,3.2.1脉冲响应不变法 设模拟滤波器的传输函数为 ，相应的单位冲击响应是 。 对 进行等间隔采样，采样间隔为T,得到 ,将 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数 便是 的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它使 在采样点上等于 。,设模拟滤波器 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将 用部分分式表示： （3-5） 式中 为 的单阶极点。将 进行拉氏反
8、变换得到 （3-6） 式中 是单位阶跃函数。对 进行等间隔采样，采样间隔为T,得到,（3-7） 对式（3-7）进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数 （3-8） 如果 是一个r阶极点，其逆拉氏变换 为,对 进行采样得到 ，再进行Z变换得到 ,它们分别为 可记为,由式（3-5）和式（3-8）表明，对于单阶极点 ,映射到z平面上，其极点为 。实际转换时可以先将 部分分式展开，直接将极点 转换成z平面上的 ，按照式（3-8）写出 表示式。 例如一个RC低通滤波电路如图3-3所示。 传输函数 为,极点为-1/RC。转换成H（z）,H（z）的极点为 , 因此H（z）用下式表示： 另 =RC,称为RC电路的
9、时间常数， 为 相应的差分方程为,下面我们进一步讨论脉冲响应不变法的转换性能。设用 表示的采样信号 ，那么 的傅里叶变换 与边 的傅里叶变换 之间的关系用下式表示： （3-9） 令 ,得到相应拉氏变换之间关系： （3-10）,根据拉氏变换的定义，写出 因此 （3-11）,式（3-11）说明，将模拟信号 的拉氏变换 在s平面上沿虚轴周期延拓后，再按照 的映射关系映射到z平面上，就得到 。为了更清楚地说明这种映射关系，将s和z分别用直角坐标形式和极坐标型式表示，即令 将s和z的表示式代入关系 中，得到,因此得到 那么 上面关系式说明s平面的虚轴（ =0）映射z平面的单位圆（r=1）。S平面左半平面
10、（ 0 ）映射z平面单位圆内（r1） ,s平面右半平面映射z平面单位圆外（r1）。这说明如果 因果稳定，转换后得到的 仍是因果稳定的。,（3-12）,另外注意到 是一个周期函数，可写成 , M任意整数 当 不变，模拟频率变化 的整数倍时，映射值不变。或者说将s平面沿着j轴分割成一条条宽为2/T的水平带，每条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个z平面。此时 所在的s平面与 所在的z平面映射关系如图3-4所示。,（3-12）,由该图表明，每条水平带的左边映射为z平面单位圆内部，模拟频率从- /T变化到 /T,相应的数字频率则从- 变化到 ，在单位圆上转了一周，由式（3-12）式，模拟频率与数字
11、频率成线性关系，因此满足转换关系中要求的频率线性映射关系。 以上分析结果表明脉冲响应不变法，其转换关系满足前面提出的两点要求。,但是由公式（3-9）看到对 采样后得到的 ,其傅立叶变换 是由 按照周期2/T，即采样角频率s周期延拓而成，如果原模拟信号 并不是带限于/T之间，则会在/T的奇数倍附近产生频率混叠现象，相应的在z平面上就在=附近产生频率混叠现象。频率混叠现象产生在=的奇数倍附近，脉冲响应不变法的频率混叠现象如图3-5所示。如果产生了频率混叠现象，用脉冲响应不变法设计出的数字滤波器，在=附近的频率响应应会不同程度的偏离模拟滤波器在/T附近的频率响应。其最终的结果使数字滤波器不满足给定的
12、技术要求。为此要求模拟滤波器是一个带限滤波器，但实际上的频响不可能真正带限，只要在折叠频率/T以上频响衰减加快，即是锐截止的，用脉冲响应不变法设计出的数字滤波器仍能较好地满足要求。,假设 没有频率混叠现象，即满足 按照（3-11）式，并代入关系式s=j,=T,得到 （3-13） 说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。,， |/T,，|,在式（3-13）中， 的幅度特性与采样间隔成正比，这样当T较小时， 就会有太高的增益，为避免这一现象，令 那么 此时 ,|,一般 的极点是一个复数，且以共轭成对的形式出现。在式（3-5）中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节（只有实数乘法）的形式为,极点,如果模拟滤波器二阶基本节形式为 则相应的数字滤波器二阶基本节的形式为 利用以上这些变换关系，可以简化设计。,
