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1、第四章 根轨迹法,控制系统的稳定性是由其闭环传递函数的极点（特征根Pi）所决定的。,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,根轨迹法不直接求解特征方程，而是用复平面上的系统的开环零、极点来确定系统的闭环零、极点的图解方法。,特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化趋势。 （3）近似方法，不十分精确。,第四章 根轨迹法,4.1 根轨迹的基本概念,4.1.1 根轨迹,该系统的开环极点为P1=0，P2=-1。,系统的闭环传递函数：,系统的特征方程：,第四章 根轨迹法,第四章 根轨迹法,根轨迹 系统中某个参数的值从零变到无穷大时，其闭环特征方程的根在复平
2、面上的变化轨迹,(1)当0K0.25时，系统为过阻尼状态,(2)当K=0.25 时，系统为临界状态,(3)当0.25 K时，系统为欠阻尼状态,第四章 根轨迹法,4.2.2 根轨迹的幅值条件和相角条件,第四章 根轨迹法,根轨迹上的所有点满足同一个相角条件，K变动相角条件是不变的。,根轨迹的绘制方法,首先在S平面上找出所有符合相角条件的点 其次将这些点连成曲线-根轨迹 最后反过来按幅值条件求出根轨迹上任一点的K值。,第四章 根轨迹法,系统的闭环特征方程：,变形：,4.2.1 开环零极点与相角条件,4.2 绘制典型根轨迹,典型根轨迹方程,第四章 根轨迹法,幅值条件为：,相角条件为：,第四章 根轨迹法
3、,（2）在复平面上任取一试验点S，画出由开环零点和开环极点至S的矢量。,按相角条件绘制根轨迹的具体方法:,（1）在复平面上标出开环极点和开环零点,第四章 根轨迹法,（4）计算各矢量的模和幅角，如果S是根轨迹上的一点，则必然满足相角条件 ：,（4）当S为根轨迹上的一点时，可以求得开环增益：,（3）标出各开环零、极点至实验点的幅角,第四章 根轨迹法,1、 起点和终点,根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。,当n=m时：开始于n个开环极点的n条根轨迹，正好终止于m 个开环零点。,终点，K：特征方程的根就是它的m个开环零点。,4.2.2 基本规则,起点，K=0：特征方程的根就是它的n个开环极点，,
4、第四章 根轨迹法,当nm：终止于m个开环零点m条根轨迹，有n条来自n个开环极点，有m-n条来自无穷远处（无穷远极点）,当nm：开始于n个开环极点的n条根轨迹，有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处（无穷远零）,第四章 根轨迹法,2、 分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环零点数m和开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。,3、 渐近线,当nm时，根轨迹存在|nm|条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,第四章 根轨迹法,4、 实轴上的根轨迹,实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段
5、就一定是根轨迹的一部分。,图中z1和p1之间、z2和p4之间以及z3和-之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。,第四章 根轨迹法,对s0右边实轴上所有开环零、极点来说：,满足相角条件。,实轴上的s0，任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2,p3）对应的相角（2,3）之和均为3600； 对s0，其左边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为00，其右边实轴上任一开环零、极点对应的相角均为1800。,第四章 根轨迹法,例题1，某控制系统的开环传递函数为,试画出实轴上的根轨迹和s时的渐进线。,解：（1）标出开环函数极点p1=0，p2=-1，p3=-4,(2)在实轴上(-1,0)和(-,-4)区间之右的实数零
6、、极点数之和为奇数，故这两个区间的实轴是根轨迹。,（3）渐进线与实轴的交点为,第四章 根轨迹法,5、 根轨迹的分离点,第四章 根轨迹法,位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点， 位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有汇合点（分离点）。,第四章 根轨迹法,定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,第四章 根轨迹法,6、 根轨迹与虚轴的交点,将s =j代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和K0 。,用劳斯判据也可以求得K0,例4-4 已知系统的开环传递函数为,解：系统的特征方程为,方法一,第四
7、章 根轨迹法,方法二：列劳斯表为,系统稳定条件为,系统临界增益 K=6,由辅助方程,根轨迹与虚轴的交点为,第四章 根轨迹法,7、 根轨迹的出射角和入射角,根轨迹从某个开环极点出发时的切线与正实轴的夹角称为出射角,根轨迹进入某个开环零点时的切线与正实轴的夹角称为入射角,第四章 根轨迹法,9 、根之和 当系统的开环传函分母和分子的次数满足 时，系统开环极点之和总是等于系统闭环特征根,10 、根之积,8 、根轨迹上分离点（会合点）的分离角（会合角）,l为趋向或离开实轴的根轨迹的分支数。,第四章 根轨迹法,课程回顾（1）,一、根轨迹 根轨迹是指系统中某个参数的数值从零变到无穷大时，系统闭环特征方程的根
8、在复平面上的变化轨迹。,二、典型根轨迹方程,1、幅值条件为,2、相角条件为,第四章 根轨迹法,三、基本规则,课程回顾（2）,1、 起点和终点,根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。,2、 分支数和对称性,根轨迹的分支数与开环零点数m和开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且一定对称于实轴。,3、 渐近线,当nm时，根轨迹一定有n-m条趋向无穷远； 当nm时，根轨迹一定有m-n条来自无穷远。 当nm时，根轨迹存在|nm|条渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：,第四章 根轨迹法,课程回顾（3）,所有渐近线交于实轴上的一点，其坐标为：,4、 实轴上的根轨迹,实轴上的开环零、极点将实轴分段，其中任一
9、段，如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。,5、 根轨迹的分离点,位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点， 位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有汇合点（分离点）。,第四章 根轨迹法,定理：若系统有2个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。,课程回顾（4）,分离点的座标，是下列代数方程的解：,第四章 根轨迹法,课程回顾（5）,6、 根轨迹与虚轴的交点,将s =j代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和K0 。,用劳斯（Roth）判据也可以求得K0,7、 根轨迹的出射角和入
10、射角,第四章 根轨迹法,1、系统有三个无穷远零点，有三个开环极点 p1=0，p2=-1，p3=-2,4.2.3 绘图示例,2、根轨迹有3支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。,第四章 根轨迹法,3、根轨迹有3条渐近线,交点坐标为,4、实轴上的根轨迹 -1,0，(-,-2段是根轨迹的一部分,第四章 根轨迹法,5、确定根轨迹与虚轴交点,令实部和虚部分别等于零，得到： =0,K=0,令特征方程中的s=j得：,K=6,K=6,第四章 根轨迹法,6、分离点,整理得,解得=-0.423, =-1.577,第四章 根轨迹法,7、出射角,第四章 根轨迹法,图4-5（手工）,图4-5（matlab）,第四章 根轨迹法,例1 已知系统结构图，绘制根轨迹。,解：, 渐近线：, 实轴上的根轨迹：-,0, 与虚轴交点：, 出射角：,
