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1、第十一章 差错控制编码和线性分组码,2,主要内容和重点,差错控制编码的基本概念 线性分组码 性质、基本原理 校正子 监督矩阵 生成矩阵 汉明码 循环码 概念及性质 生成多项式 生成矩阵与监督矩阵 编码器,3,2.1 引言,为什么要引入差错控制编码？ 什么是差错控制编码（信道编码）？ 差错控制编码的3种方式 信道发生差错的模式 差错控制编码的基本原理 差错控制编码的分类 编码信道及香农编码定理,4,2.1 引言,为什么要引入差错控制编码？ 在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地会发生错误 为了在已知信噪比情况下达到一定的误比特率指标，
2、应该合理设计基带信号，选择调制解调方式，采用时域、频域均衡，使误比特率尽可能降低 但若误比特率仍不能满足要求，则必须采用信道编码（即差错控制编码），将误比特率进一步降低,5,2.1 引言,什么是差错控制编码 差错控制编码的基本思路： 在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束） 接收端按照既定的规则校验信息码元与监督码元之间的关系，一旦传输发生差错，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至纠正错误 差错控制编码所要解决的问题：各种编码和译码方法,6,2.1 引言,差错控制的三种方式 检错重发（ARQ） 在接收端根据
3、编码规则进行检查，如果发现规则被破坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止 ARQ系统的重发机制：停发等候重发、返回重发和选择重发 需要反馈信道，效率较低，但是性能很好,7,2.1 引言,差错控制的三种方式（续） 前向纠错（FEC） 发送端发送能纠正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则，能自动纠正传输中的错误 不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备复杂,8,2.1 引言,差错控制的三种方式（续） 混合方式 结合FEC和ARQ：在纠错能力范围内，自动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送,9,2.1 引言,信道发生差错的模式 随机差错： 差错
4、的出现是随机的，差错出现的位置是随机分布的 一般由信道的加性随机噪声引起 这种信道称为随机信道 突发差错： 差错的出现是一连串出现的。这种情况如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落，造成一串差错；光盘上的一条划痕等等 这样的信道称之为突发信道 混合差错： 既有突发错误又有随机差错的情况 这种信道称之为混合信道,10,2.1 引言,差错控制编码的基本原理 以差错重发编码来阐述差错编码在相同的信噪比情况下为什么会获得更好的系统性能？ 例1：假设发送的信息0、1等概，采用2PSK方式，则最佳接收的系统误比特率为 ，现假设 如果将信息0编码成00，信息1编码成11，则在接收端： 如果发送00，收到01
5、、10，知道发生了差错，要求发送端重新传输，直到传送正确为止 只有当收到11时，我们才错误地认为当前发送的是1 因此在这种情况下发生译码错误的概率是 同理，如果发送的是11，只有收到00时才可能发生错误译码，因此在这种情况下发生译码错误的概率是 故采用00、11编码的系统误比特率为,11,2.1 引言,差错控制编码的基本原理（续） 依此类推，可知： 采用000、111编码的ARQ系统误比特率是多少？ 采用0000、1111编码的ARQ系统误比特率是多少？ 例2，如例1，如果0、1采用00000、11111编码，在接收端用如下的译码方法，每收到5个比特译码一次，采用大数判决，即5个比特中0的个数
6、大于1的个数则译码成0，反之译码成1；不采用ARQ方式。那么，这种编码方式就变成了纠错编码 由于传输错误当接收端收到11000，10100，10010，10001，01100，01010，01001，00110，00101，00011中的任何一种时，都可以自动纠正成00000 课外题：请计算在这种情况下的系统性能 上述例1、例2的编码方式叫重复码,12,2.1 引言,差错控制编码的基本原理（续） 例3，2PSK系统中误比特率与Es/N0有关 我们看到，重复码中假设传输时每个符号的Es/N0相等，因此才得到以上的性能分析对比 但是如果我们以Eb/N0的指标进行比较，则我们看到 例1的 例2的 如
7、果要求各系统在Eb/N0相同的情况下进行比较（n重复码中用了n倍能量来传输一个比特，从每个比特能量的角度来看），则可看到这2种系统性能相近（即获得相近的编码增益）,13,2.1 引言,差错控制编码的基本原理（续） 当x1有 2PSK系统： 2重重复码： 编码增益=,14,2.1 引言,差错控制编码的分类 根据差错控制编码的功能不同： 检错码、纠错码、纠删码（兼检错、纠错） 根据信息位和校验位的检验关系： 线性码（存在线性关系）和非线性码 按信息码元在编码后是否保持原来的形式 系统码：保持不变 非系统码：信息码元改变了原有的信号形式 按纠正错误的类型： 纠正随机错误的码：用于随机错误的信道 纠正
8、突发错误的码：用于突发信道,15,2.1 引言,差错控制编码的分类（续） 根据信息码元和监督码元的约束方式： 分组码：监督码元仅与本码组的信息码元有关 卷积码：监督码元还与前面码组的信息码元有约束关系 分组码：将k个信息比特编成n个比特的码字，共有2k个码字。所有个码字组成一个分组码。传输时前后码字之间毫无关系 卷积码：也是将k个信息比特编成n个比特的码字，但是前后的N个码字之间相互关联 编码速率=平均每个码字所携带的信息比特率,16,2.1 引言,编码信道 所谓的编码信道就是将调制解调包括在信道内的一种模型上的等效。 即如果研究编码和译码，完全可以将调制、解调与信道合起来等效成一个等效的信道
9、，这种信道就称之为编码信道,17,2.1 引言,编码信道（续） 根据调制解调的不同输入和输出具有不同的类型 离散无记忆对称二进制输入二进制输出信道（BSC） 这种情况相应于2进制调制解调+判决 离散无记忆二进制输入多进制输出信道 对应于2进制输入，量化后输出的情况，即所谓的软译码 离散无记忆多进制输入多进制输出 对应于多进制输入、量化后输出 离散无记忆二进制输入连续输出 对应于二进制输入，模拟输出（未判决、未量化）,18,2.1 引言,香农有扰离散信道的编码定理 对于一个给定的有扰信道，若信道的容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为编码器的输入二进制码元速率），则一定存在一种编码方
10、法，使编码错误概率P随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值，表示为 其中E(R)称为误差指数 结论： n和R一定情况下，为减小P，可增大C 在C及R一定的情况下，增加n，可以 使P指数下降。从实际的角度看，这时 设备复杂性和译码延时也随之增加,E（R） C 0 C1 C2 R,19,2.2 纠错编码的基本原理,主要内容 码重、码距 最小码距 码的纠错、检错性能,20,2.2 纠错编码的基本原理,分组码将k个比特编成n个比特一组的码字（码组），记为（n，k）码 由于输入有 2k种组合，因此（n，k）码应该有2k个码字 码重、码距 码重：码字中1的个数。如码字11000的码重为2 码距：码字C1
11、与码字C2之间不同的比特数（又称汉明距）,21,2.2 纠错编码的基本原理,最小码距 所用码字中任何两个码字之间的码距的最小值，用 dmin表示 码的纠错、检错性能：由最小码距决定 为了检测e个错误，要求最小码距 为了纠正t个错误，要求最小码距 为了纠正t个错误，同时检测e个错误，要求最小码距,22,纠错码的抗干扰能力完全取决于许用码字之间的距离，码的最小距离越大，说明码字间的最小差别越大，抗干扰能力就越强,2.2 纠错编码的基本原理,23,2.3 常用的简单编码,奇偶监督码（奇偶校验） 设奇偶监督码的码字表示为： 则偶校验码： （即偶数个1） 奇校验码： （即奇数个1） 可见这种码的最小码距
12、为2，只能检1个错,24,奇偶监督码的编码可以用软件实现，也可用硬件电路实现 如果码组B无错，BA，则M0；如果码组B有单个（或奇数个）错误，则M1,2.3 常用的简单编码,25,2.3 常用的简单编码,二维奇偶监督码 提高奇偶校验码对突发错误的检测能力 将若干奇偶校验码排成若干行，然后对每列进行奇偶校验，放在最后一行。传输时按照列顺序进行传输，在接收端又按照行的顺序检验是否差错 由于突发错误是成串发生的，经过传输后错误被分散（交织编码+奇偶校验） 移动通信中的信道衰落造成突发错误，因此传输前，先将输入的信息比特交织，将突发错误尽可能分散成随机错误，然后用其它编码方式来纠正随机的错误,26,2
13、.3 常用的简单编码,恒比码 每个码组中的1的个数都一样 电传机传输汉字时每个汉字用4位阿拉伯数字表示，每个阿拉伯数字用5个比特的码字表示。由于阿拉伯数字只有10个，因此从32中可能的码字中挑出 =10个1的个数为3的码字作为阿拉伯数字的编码方式 译码可以采用查表方法，检错时检查1的个数是否为3 一般用在电传、电报,27,2.3 常用的简单编码,ISBN国际统一图书编号 国际图书的发行中，用编码的方式来防止书号在通信过程中发生错误 如通信原理的书号是ISBN 7-118-01429-X 其中第一位数字“7”表示“中国”，“118”表示出版社，“01429”表示书名编号，最后一位“X”表示校验位
14、（它是罗马数字10的表示） 所采用的校验方式如下所示： 7 1 1 8 0 1 4 2 9 X=10 7 8 9 17 17 18 22 24 33 43 7 15 24 41 58 76 98 122 155 198 198 (模11)=0,28,2.4 线性分组码,差错编码的重点：各种编码和译码的方法 主要内容 性质 基本原理 校验矩阵（监督矩阵） 生成矩阵 校正子（伴随式） 汉明码,29,2.4 线性分组码,定义： 将信息码分组，为每组信息位附加若干监督位，且信息位和监督位间的关系可由线性方程组表示的编码 即可用线性方程组表述码的规律性的分组码 线性分组码（n，k）的性质 许用码字（组）
15、为2k个 定义线性分组码的加法为模2加，乘法为二进制乘法。即有 1+1=0、1+0=1、0+1=1、0+0=0 1x1 = 1, 1x 0 =0, 0x0 =0, 0x1 =0 且码字与码字的运算是各相应比特位上符合上述二进制加法运算规则,30,2.4 线性分组码,线性分组码（n，k）的性质（续） 群：集合G上定义了一种加法运算，如果该运算符合以下4条公理，则称G是该运算的一个群 封闭性：任何a、b属于G，有a*b属于G 单位元：G中存在一个元素e满足e*a=a 有逆元：任何a属于G，存在b属于G满足a*b=e 结合率成立：a*(b*c)=(a*b)*c 线性分组码的性质： 封闭性。任意两个许
16、用码组的和仍是一个许用码组 最小码距等于非零码的最小码重,31,2.4 线性分组码,基本原理 (n, k)码：码长n，信息位数为k，则监督位数r=n-k 校正子（伴随式）S：为了检测传输过程中是否有错，将接收到的码组代入监督方程式所得到的结果 以（7，4）线性分组码为例，说明（n，k）码的基本原理 7码元a6a5a4a3a2a1a0，信息码元a6a5a4a3，监督码元a2a1a0 校正子S1S2S3与信息码元及监督码元之间的关系为,32,2.4 线性分组码,基本原理（续） 3个校正子可以指示23-1=7种错误图样，如表所示 可知，（7，4）码可纠正一位错误 在编码时a2a1a0应根据监督方程确定：,33,2.4 线性分组码,基本原理（续） 由此可得16
