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1、第二轮能力专题: 三种典型力学模型的分析,三种模型及其概要,三种模型是指：碰撞模型、人船模型、子弹打木块模型,碰撞的分类,弹性碰撞,非弹性碰撞,完全非弹性碰撞,1碰撞模型:,碰撞过程的力学特征：,经历的时间极短，所经历的时间在整个力学过程中可以忽略；碰撞双方相互作用的内力往往是远大于外力，系统在碰撞前后遵从总动量守恒定律，且碰撞前后能量不会增加,弹性碰撞特例：,遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即 m11+m22=m1u1+m2u2,遵从碰撞前后系统的总动能相等,即,m112+m222=m1u12+m1u22,由此可得碰后的速度,且碰撞前后,双方的相对速度大小相等,即u2u1=v1v2,完全非
2、弹性碰撞特例：,遵从碰撞前后系统的总动量守恒定律,即 m11+m22=m1u1+m2u2,具备碰撞双方碰后的速度相等的特征，即,E=m112+m222m1u12m2u22 =m112+m222,碰撞过程中机械能损失最大,2人船模型,“人船模型”是由人和船两个物体构成的系统；该系统在人和船相互作用下各自运动，运动过程中该系统所受到的合外力为零，即系统在运动过程中总动量守恒。,原型：,长为L、质量为M的小船停在静水中，一个质量为m的人立在船头。若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，水平方向上动量守恒，人走动过程中的每时每刻它们的总动量都是零。设人的速度为v人，船的
3、速度为v船，人经t秒从船头到船尾，人相对岸的位移为s人，船相对岸的位移为s船.,由动量守恒定律得： mv人=Mv船,满足相似的关系。即,两边同乘以运动时间t，则,即 ms人=Ms船,而 s人+s船=L，所以有：,3子弹打木块模型,原型:如图所示，一颗质量为m的子弹以速度v0射入静止在光滑水平面上的木块M中且未穿出。设子弹与木块间的摩擦为f。子弹打进深度d相对木块静止，此时木块前进位移为s。,对子弹由动能定理有： ,对系统，由动量守恒有： mv0=（Mm）v ,对木块由动能定理： ,将相加可得 ,相互作用的力f与相时位移的大小d的乘积，等于子弹与木块构成的系统的动能的减少量，亦即产生的内能。,由
4、和可得动能的损失值：,故打入深度,明确:当构成系统的双方相对运动出现往复的情况时,公式中的d应就理解为“相对路程”而不是“相对位移的大小”.,1碰撞模型,例1 甲、乙两球在光滑水平轨道上向同方向运动，已知它们的动量分别是p甲=5kgm/s，p乙=7 kgm/s。甲从后面追上乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为10kgm/s，则两球质量m甲与m乙的关系可能是下面的哪几种？ （ ） A.m甲m乙 B.m乙2m甲 C.m乙4m甲 D.m乙6m甲,解析：,从题中给出的选项看，m甲、m乙是倍数关系，这样可用km甲来表示m乙，,设碰前甲、乙两球的速度为v甲、v乙，碰后甲、乙两球的速度为v/甲、v/乙。,因甲从
5、后面追上乙发生碰撞，则在碰前甲的速度应大于乙的速度，即v甲v乙。,由已知m甲v甲=5，m乙v乙=7，则有 ,由动量守恒定律可知，碰后甲的动量为2kgm/s，又因碰后，乙的速度大于等于甲的速度，v/乙v/甲，,则同理也有 ,在碰撞的过程中，未说动能有无损失，这样可列出动能的不等式为,将已知量代入，并分别解上述不等式；,由,由此可知，只有选项C正确。,A.m甲m乙 B.m乙2m甲 C.m乙4m甲 D.m乙6m甲,例2 如图所示质量为m的滑块静止在光滑的水平桌面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度v0向滑块飞来，设小球不会越过滑块，求滑块能获得的最大速度？此后小球做什么运动?,
6、解析：小球m在滑块M上先上升再下落，整个过程中M一直在加速，故M的最大速率出现在m与M分离时刻，整个相互作用的过程中系统动量守恒、机械能守恒。即,由方程可以看出，属于弹性碰撞模型，故,V1=0,小球做自由落体运动,例3 如图所示，水平光滑轨道宽和弹簧自然长度均为d。m2的左边有一固定挡板。ml由图示位置静止释放，当m1与m2相距最近时m1速度为v1，求在以后的运动过程中m1的最小速度和m2的最大速度。,解析：,m1与m2相距最近时m1的速度v1为其最大速度，在以后的运动中，m1先减速，m2先加速；,当两者速度相等时，相距最远，此后m1将继续减速，而m2将继续加速。当它们距再次相距d时，m1减速
7、结束，而m2加速结束，此时m1与m2的速度v1/、v2/即为所求。以后m2将减速运动，而m1将加速运动，,此即弹性碰撞模型，则,例4：如图,弧形斜面质量为M,静止于光滑水平上，一质量为m的小球以速度VO向左运动，小球最多能升高到离水平面h处，求该系统产生的热量。,解：小球减少的动能转化为小球的重力势能和产生的热量，即EK=Q+ mgh,由完全非弹性碰撞模型知EK=,所以Q=EKmgh= mgh.,例5:如图.质量为m的小车静止在光滑的水平轨道上,长为L的细线一端固定在小车上,另一端拴一质量也为m的小球.现给小球一初速度V,求其能上升的最大高度为多少?,解：当小球上升到最高点时,二者具有共同速
8、度,符合上述模型的条件.系统减少的动能 EK全部转化为小球的重力势能EP=m球gh,例6：如图,在光滑的水平上,依次有质量分别为m、2m、3m、10m的10个小球,排成一直线,彼此有一定的距离.开始时,后面的9个小球是静止的,第一个小球以初速度VO向着第二小球碰去,结果它们先后全部粘合在一起向前运动,由于连续地碰撞,系统损失的机械能为多少？,解：,把后面的9个小球看成一个整体，由完全非弹性碰撞模型,有,解：取人和气球为对象，系统开始静止且同时开始运动，人下到地面时，人相对地的位移为h，设气球对地位移L，则根据推论有 ML=mh,例7:载人气球原来静止在空中，与地面距离为h ，已知人的质量为m
9、，气球质量（不含人的质量）为M。若人要沿轻绳梯返回地面，则绳梯的长度至少为多长？,2人船模型,解：劈和小球组成的系统水平方向 不受外力，故水平方向动量守恒，且初始时两物均静止，故由推论知ms1=Ms2,其中s1和s2是m和M对地的位移，由上图很容易看出：s1=b-s2代入上式得，m(b-s2)=Ms2, 所以 s2=mb/(M+m)即为M发生的位移。,例8.一个质量为M,底面边长为 b 的劈静止在光滑的水平面上，见左图，有一质量为 m 的物块由斜面顶部无初速滑到底部时，劈移动的距离是多少？,拓展：如图所示，三个形状不同，但质量均为M的小车停在光滑水平面上，小车上质量为m的滑块，由静止开始从一端
10、滑至另一端，求在此过程中，小车和滑块对地的位移是多少？,解:滑块与圆环组成相互作用的系统，水平方向动量守恒。虽均做非匀速运动，但可以用平均动量的方法列出动量守恒表达式。,设题述过程所用时间为 t，圆环 的位移为s，则小滑块在水平方向上对地的位移为（R-s），如图所示.,即 Ms=m(Rs),拓展:如图所示，质量为M，半径为R的光滑圆环静止在光滑水平面上，有一质量为 m 的小滑块从与环心O等高处开始无初速下滑到达最低点时，圆环发生的位移为多少？,取圆环的运动方向为正，由动量守恒定律得,例9.如图所示，宽为d、质量为M的正方形木静止在光滑水平面上，一质量m的小球由静止开始沿“Z”字通道从一端运动到
11、另一端，求木块-和小球的对地位移.,解：,把小球和木块看成一个系统,由于水平方向所受合外力为零,则水平方向动量守恒.,设小球的水平速度为v1、木块的速度为v2，则有 mv1=Mv2 若小球对地位移为 s1、木块对地位移为s2，则有 ms1=Ms2,且 s1+s2=d 解得,例10. 质量为M的船静止于湖水中，船身长L,船头、船尾分别站着甲、乙两人，甲的质量为m1，乙的质量为m2，且m1m2，求当甲、乙两人交换位置后，船身位移的大小是多少？,解析：,船及甲、乙两人组成的系统水平方向不受外力作用，故水平方向动量守恒，系统每时每刻总动量为零，符合人船模型的条件。,甲、乙两人互换位置相当于质量为（ml
12、m2）的人在质量为M2m2的船上，从甲的位置走到乙的位置，如图所示。,可以应用人船模型的结论,得船的位移：,例11、质量为M=4.0kg的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当t=0时，两个质量分别为mA=2kg、mB=1kg的小物体A、B都以大小为v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰，A、B与车间的动摩擦因数=0.2，取g=10m/s2,求： （1）A在车上刚停止滑动时，A和车的速度大小 （2）A、B在车上都停止滑动时车 的速度及此时车运动了多长时间。 （3）在给出的坐标系中画出小车 运动的速度时间图象。,解:(1)当
13、A和B在车上都滑行时，在水平方向它们的受力分析如图所示：,由受力图可知，A向右减速， B向左减速，小车向右加速，所以首先是A物块速度减小到与小车速度相等。,设A减速到与小车速度大小相等时，所用时间为t1，其速度大小为v1，则：,v1=v0-aAt1 mAg=mAaB v1=a车t1 mAg-mBg=Ma车 ,由联立得：v1=1.4m/s t1=2.8s ,（2）根据动量守恒定律有： mAv0mBv0=(M+mA+mB)v v=1m/s ,总动量向右， 当A与小车速度相同时，A与车之间将不会相对滑动了。,设再经过t2时间小物体A与B、车速度相同，则： v=v1aBt2 mBg=(mAm车)aB
14、由式得：t2=1.2s,所以A、B在车上都停止滑动时，车的运动时间为t=t1+t2=4.0s ,（3）由（1）可知t1=2.8s时，小车的速度为v1=1.4m/s，在0t1时间内小车做匀加速运动。在t1t2时间内小车做匀减速运动，末速度为v=1.0m/s,小车的速度时间图如图所示,3子弹打木块模型,例12 如图所示，在光滑水平面上有一质量为M的盒子，盒子中央有一质量为m的小物体（大小可忽略），它与盒底部的摩擦系数为。盒子内部长L，现给物体m以水平初速v0向右运动。设物体与壁碰撞时无能量损失。求：（1）物体相对盒子静止时，盒的速度大小； （2）物体m与盒壁碰撞的碰撞次数。,解析：,由m以v0开始
15、运动到m与M 相对静止的全过程中，系统动量守恒，符合子弹打木块模型。即,mv0=（Mm）v,由,可得,所以,例13、如图所示,倾角370的固定斜面AB长L=12m,质量为M=1kg的木块由斜面上的中点C从静止开始下滑,0.5s时被一颗质量为m=20g的子弹以v0=600m/s沿斜面向上的速度正对木块射入并穿出,穿出时速度u=100m/s.以后每隔1.5s就有一颗子弹射入木块,设子弹射穿木块的时间可忽略不计，且每次射入木块对子弹的阻力都相同。已知木块与斜面间的动摩擦因数=0.25。(g取10m/s2，sin3700.60，cos3700.80)，求： 第一颗子弹从木块中穿出时木块的速度大小和方向。 木块在斜面上最多能被多少颗子弹击中。 在木块从C点开始运动到最终离 开斜面的过程中，子弹、木块和 斜面这一系统所产生的总热量是 多少。,解：,（1）木块开始下滑时: MgsinMgcos=Ma1 a1 = g(sincos) = 4m/s2,末速度 v1 = a1t1 = 2m/s,设第一颗子弹穿过木块时木块的速度大小为V1/,方向沿斜面向上： 由动量守恒定律: mv0 Mv1 = mu + Mv1/ v1/ = 8m/s 方向沿斜面向
