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1、第3章 函数逼近与数据拟合法,用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为 被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B( A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。,最常用的度量标准：,(一) 一致逼近,以函数f (x)和p (x)的最大误差,作为度量误差 f (x) p (
2、x) 的“大小”的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,(二) 平方逼近：,采用,作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。,3.1 正交多项式,一、正交函数系的概念,考虑函数系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间- , 上的积分都等于0 ！,我们称这个函数中任何两个函数在- , 上是正交的，并且称这个函数系为一个正交函数系。,若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，,使之成为：,那么这个函数系在- , 上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的).,设f (x)，g
3、 (x) C a, b， (x)是a, b上的权函数，,则称,为 f (x) 与 g (x)在 a, b上以 (x)为权函数的内积。,内积的性质：,(1) (f, f )0，且 (f, f )=0 f = 0；,(2) (f, g) = (g, f )；,(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；,(4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。,设 f (x)，g(x) C a, b 若,则称f (x)与g (x)在a, b上带权 (x)正交。,设在a, b上给定函数系，若满足条件,则称函数系k (x)是a, b上带权 (x)的正交函数系，,特
4、别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。,若上式中的函数系为多项式函数系 pn(x) ，则称为以 (x)为权的在a, b上的正交多项式系。并称pn(x)是a, b上带权 (x)的n次正交多项式。,一般来说,当权函数(x)及区间a,b给定后，由函数序列1,x,.,xn,.利用Gramma-Schmidt正交化方法就可构造出正交多项式序列。,1勒让德(Legendre)多项式,称多项式,为n次勒让德多项式。,勒让德多项式的性质：,(1) 正交性,勒让德多项式序列Pn(x)是在-1, 1上带权 (x) = 1的正交多项式序列。,二、常用的正交多项式,(2) 递推关系,相邻的三个勒让德多项式
5、具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,当n为偶数时，Pn (x)为偶函数；,当n为奇数时，Pn (x)为奇函数。,(4) Pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全 部在区间-1, 1内部。,2切比雪夫(Tchebyshev)多项式,称多项式,为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。,切比雪夫多项式的性质：,(1) 正交性：,由 Tn (x)所组成的序列 Tn (x)是在区间-1, 1上带权,的正交多项式序列。且,(2) 递推关系,相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：,(3) 奇偶性：,切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数；n为偶数时为偶函数。,(4) Tn (x)在区间-
6、1, 1上有n 个不同的零点,Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, )。,(5) Tn (x) 在-1, 1上有n + 1个不同的极值点,使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。,我们把这n + 1个点xk叫做Tn (x)在-1, +1上的极值点，也称为Tn (x)的交错点组。这是Tchebyshev多项式的一个重要性质。,3 拉盖尔(Laguerre)多项式,称多项式,为拉盖尔多项式。, Ln(x)是在区间0, +上带权 (x) = e-x的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,4 埃尔米特(Hermite)多项式,称多项式,为埃尔米特多项式。,
7、 Hn(x)是在区间(-, +)上带权函数,的正交多项式序列。, 相邻的三项具有递推关系式：,以上四个正交多项式都有三项递推关系式。一般地，由如下三项递推关系,给出的多项式序列pn(x)是正交多项式序列，其中,可用数学归纳法证明。,3.2 最佳平方逼近,一函数系的线性关系,若函数 ，在区间a, b上连续，如果关系式,连续函数在a, b上线性无关的充分必要条件是它们 的Gramer行列式Gn 0，其中,当且仅当 时才成立，则称函数在a, b上是线性无关的，否则称线性相关。,如何证?,设 是a, b上线性无关的连续函数 a0, a1, , an 是任意实数，则,并称 是生成集合的一个基底。,的全体
8、是Ca, b的一个子集，记为,设函数系 ，线性无关，,则其有限项的线性组合,称为广义多项式。,二广义多项式,对于给定的函数,如果存在,使,则称 为f (x)在区间a, b上的最佳平方逼近函数。,三、函数的最佳平方逼近,即求广义多项式,的系数aj(j=0,1,.,n)，使多元函数,取极小值.,I (a0, a1, ，an)是关于a0, a1, ，an的二次函数， 利用多元函数取得极值的必要条件，,如采用函数内积记号,方程组可以简写为,写成矩阵形式为,法方程组 ！,由于0, 1, , n线性无关，故Gn 0，于是上述方程组 存在唯一解 。,从而肯定了函数f (x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必
9、是,四、逼近误差,选取为多项式空间,五、用多项式空间作为逼近函数类,解得f(x)的最佳平方逼近多项式：,平方误差,Hilbert矩阵是一种典型的病态矩阵，随着n增大，病态越严重。,因此法方程是病态方程组，数值计算结果不稳定。,所以，要改用正交多项式构造最佳平方逼近多项式。,六. 基于正交多项式的逼近函数类,则法方程为,方程组的解为,最佳平方逼近函数为,平方误差为,求y=arctan(t+1)/2在-1,1上的一次最佳平方逼近多项式。,所求一次最佳平方逼近多项式为,将0,1变换到-1,1,作变量替换 ：x=(t+1)/2,函数y=arctanx, 0x1,变为y=arctan(t+1)/2,-1
10、t1,3.3 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,设函数f (x)是区间a, b上的连续函数，对于任意给定的 0， 如果存在多项式p (x)，使不等式,成立，则称多项式p (x)在区间a, b上一致逼近(或均匀逼近)于函数f (x)。,维尔斯特拉斯定理,若f (x)是区间a, b上的连续函数，则对于任意 0， 总存在多项式p (x)，使对一切a x b有,使得,如果精确度要求较高，则用来逼近的多项式的次数一般也很高，这就增加了计算工作量。,切比雪夫从这样的观点去研究一致逼近问题: 对于给定的a, b上的连续函数f (x)，他提出在次数不超过n的多项式的集合Pn中去寻找一个多项式p*n(x)，
11、使它在a, b上“最佳地逼近”f (x)。,也就是说,这就是通常所谓的最佳一致逼近问题，也称为切比雪夫逼近问题。,现在要问：最佳逼近多项式p*n(x)，是否存在？是否唯一？如何构造？,不妨设n次多项式,若记,则I 应是n + 1个系数a0, a1, ，an的正值连续函数。,称多元函数I(a0, a1, ，an)的最小值,为f (x)与p (x)在a, b上最小偏差。,可以证明，存在唯一的 能使,二、最佳一致逼近多项式的求法,其中 是f (x)与p*n(x)在a, b上的最大偏差，即,s 为“1”或“-1”。,点集x1, x2, ，xn+2称为切比雪夫交错点组。其中每一个xk (k = 1, 2
12、, ，n+2)称为交错点。,推论1 设f(x)是a,b上连续函数，则f (x)在Pn中的最佳一致逼近多项式，就是f (x)在a, b上的某个n次拉格朗日插值多项式。,推论1表明：如果能适当选择插值节点，求出使偏差,为最小的n次拉格朗日插值多项式，那么就能求得f (x)的n次最佳一致逼近多项式,。,的交错点组。,证 用反证法.,对于n+1个交错点，f(x)-pn*(x)取最大值或最小值，有取极值的必要条件知 f(x)-pn*(x) 的一阶导数等于零.,这样，由Rolle定理便可推得在(a,b)内至少存在一点 ，使得 f (n+1) ( ) =0.,若点a (点b类似)不属于交错点组，那么在区间(
13、a,b)内至少存在n+1个点属于交错点组.,这与f(n+1)(x)在a,b上恒正矛盾。故点x=a属于交错点组.,1.线性最佳一致逼近多项的求法,由推论2知,a,b是交错点。另一个交错点在(a,b)内，且是f(x)-p1*(x)的极值点。,解：,2切比雪夫多项式在函数逼近中的应用,极值定理 在-1x 1上，在首项系数为1的一切n次多项式中,与零的偏差最小，且其偏差为,即，对于任何首项系数为1 ， 有,(1) 若f (x)是n次多项式，则它的n 1次最佳一致逼近多项式P*n-1(x)能精确求出。,例 已知f(x)=4x3+3x2+2x+1，求其在-1, 1上的二次最佳一致逼近多项式p2*(x)。,
14、Tchebyshev多项式的极值定理知，在-1, 1上，P3中与零偏差最小的首项系数为1的三次多项式是,(2) 若f (x)不是多项式，也可利用Tchebyshev多项式的极值定理，求出f (x)的近似最佳一致逼近多项式。,例： 在1, 1上，为计算f (x) = ex ，找一个多项式p(x)近似代替ex，使误差0.01.,此时误差,若略去其最后的两项，则所增添的误差为,从而在-1,1上，若用,近似代替ex的总误差不超过,0.0038 + 0.0058 = 0.0096 0.01,注：对一般区间a, b，先将 x 换为 t ，考虑 f (t)在1, 1上的逼近Pn(t)，再将 t 换回x，最后
15、得到Pn(x)。,已知一个函数的数值表,求一个简单易算的近似函数 p(x) f (x) 。,这时没必要使 p(xi) = yi , 而只要 p(xi) yi 总体上尽可能小。,常见做法：,使 最小,太复杂,使 最小,不可导， 求解困难,使 最小,3.4 离散数据的曲线拟合,一、拟合问题的提出及其最小二乘法,曲线拟合的最小二乘问题的更一般提法：,已知函数值表 ( xi , f (xi) )，在函数空间 中求 (x) ，使得,其中 i 是点 xi 处的权。,这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。 可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。,若取函数类=Pn=Span1,x,x2,xn,现求一 ,使得,称为多项式拟合。,显然上式中I为a0, a1, ，an的多元函数，因此，上述问题即为求I=I(a0,a1,.,an)的极值问题。由多元函数求极值的必
