《第3章_jordan标准型.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章_jordan标准型.（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3章：Jordan标准形介绍,Jordan Canonical Form,第3章：Jordan标准形介绍,Problem： 矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？ Solution： 理想情况下：A为对角形 并非所有的矩阵都可以对角化 Jordan标准形理论。 Jordan标准形的应用,第3章：Jordan标准形介绍,本章的主要结论： Theorem 任何复数域上的n阶矩阵A都和一个Jordan标准形相似,Jordan 标准形,Jordan 块,2.1 求矩阵的Jordan标准形的道路之一,利用如下的流程图,A()= E-A,行列式因子,不变因子,初级因子,Jordan块,J,A,1. 行列式因
2、子: Step1: 计算所有的k阶子式； Step2: 求所有的k阶子式的首一最大公因式即为Dn,高阶行列式因子可以整除低阶的行列式因子,2. 不变因子:,高阶不变因子可以整除低阶的不变因子,3. 初级因子: 对次数非零的不变因子进行因式分解，所得的一次因式的方幂即为初级因子 Remark: 来自于不同不变因子的一次因式不能进行合并！,4. 初级因子和Jordan块的关系:一一对应 初级因子 Jordan block,2.2 求矩阵的Jordan标准形的道路之二,利用如下的流程图,A()= E-A,不变因子,初级因子,Jordan块,J,A,Smith标准形,1. 矩阵及其初等变换,矩阵的初等
3、变换： 交换两行（列）； 某行（列）乘非零数； 某行（列）的多项式p()倍加到另行（列） 和矩阵的初等变换差不多！,2. 矩阵的Smith标准形 Problem: 矩阵经初等变换可以变成什么样的矩阵？ Answer: Smith标准形 Theorem:,Smith 标准形,Ex1 求下面矩阵的Smith标准形,3. Smith标准形和不变因子,为A的不变因子； 理论依据： Theorem(P070, 定理3.2.4) 相似的矩阵有相同的行列式因子,Ex2: (P071, 例3.2.3)： 求Jordan标准形的第二种方法,2.3 求相似变换的矩阵P,Problem:如何求可逆阵P,使得P1AP
4、=J? Solution:待定系数法。,Example:,求可逆阵P,使得P1AP=J,2.4 最小多项式 (minimal polynomials),Def: 矩阵多项式,例 设,1 Cayley-Hamilton Theorem (1858) 设A为n阶复方阵，f ()= | E-A|，则f(A)=0 Application：对矩阵多项式进行降次 Example: P074 例3.3.1,哈密顿，WR(Hamilton，William Rowan,1805-1865)爱尔兰人 哈密顿自幼聪明，被称为神童他3岁英语已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来
5、语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语.；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头 主要贡献：力学、数学、光学,2 矩阵的零化多项式 (Annihilating polynomials of Matrices),问题：ACnn ， A0，是否存在非零多项式g（），使 得 g( A )=0？ Definition(零化多项式) 如果 g(A) = 0，则g()被称为矩阵A的零化多项式。 Cayley-Hamilton 定理保证：矩阵的零化多项式存在！,3 最小多项式,Definition（最小多项式） mA（ ）是最小多项式,mA（ A） =0 mA（ ）在零化多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。 mA（ ）整除任何化零多项式,3 最小多项式,求解最小多项式方法一：最小多项式的结构 P075 定理3.3.4 最小多项式与特征多项式有相同的根，区别在于最小多项式的根的重数比后者要低,f（ ）=| E-A|=,mA（ ）=,例1 （P076， 例3.3.2）,
