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1、第 4 章 弯曲内力,4.1.1 弯曲的概念与实例,4.1.1 弯曲的概念与实例,受力特征: 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系或作用于包含杆轴线的纵向平面内的力偶 。,变形特征: 变形前梁的轴线为直线，变形后成为曲线。,纵向对称面: 包含梁横截面对称轴及梁轴线的平面称为纵向对称面。,4.1.1 弯曲的概念与实例,FA,FB,A,B,F1,F2,平面弯曲:梁变形后的轴线与外力在同一平面内,A,M,平面弯曲: 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线，这种弯曲称为平面弯曲，或称为对称弯曲。,非对称弯曲: 梁不具有纵向对称面，或虽具有纵向对称面但外力并
2、不作用在纵向对称面内，这种弯曲称为非对称弯曲。,4.1.1 弯曲的概念与实例,4.1.2 受弯杆件的简化梁的计算简图,固定端,1.梁的几何形状简化,固定铰支座,可动铰支座,2.支座的简化,在梁的计算简图中常用梁的轴线代表梁。,3. 载荷简化,受弯杆件的简化,4.静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学平衡方程可求出支反力，主要有三种基本形式的静定梁。,超静定梁：由静力学平衡方程求不出支反力或不能求出全部支反力。,作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。,5. 工程中常见的静定梁,悬臂梁,左端外伸梁,简支梁,图示车床上的割刀及刀架。割刀的一端用螺钉压紧固定于刀架上
3、, 使割刀压紧部分对刀架既不能有相对移动, 也不能有相对转动, 这种形式的支座称为固定端支座, 或简称为固定端。,6. 工程具体实例,图示传动轴, 轴的两端为短滑动轴承。由于支承处的间隙等原因, 可把短滑动轴承简化成铰支座。又因轴肩与轴承的接触限制了轴线方向的位移, 故可将一个简化成固定铰支座, 另一个简化成可动铰支座。,4.2 剪力和弯矩,如图简支梁，已知F、a、l。求距A端距离为x处横截面上的内力。,解：1、求支反力,2、求内力截面法,A,FS,M,M,FS, 弯曲内力,C,C,3、内力的正负规定:,剪力FS: 使微段产生顺时针转动的剪力为正；反之为负。,弯矩M：使梁变成上凹形的为正弯矩；
4、使梁变成上凸形的为负弯矩。即使梁下侧受拉的弯矩为正弯矩；使梁上侧受拉的弯矩为负弯矩。,在后面的求解过程中，同样要求大家画弯曲内力的时候始终假使其为正，画图时画正向。,例1：求图a所示梁1-1、2-2截面处(距梁左端截面距离分别为x1和x2)的内力。,解：截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体如图（b）所示。,2-2截面处截取的分离体如图（c）,横截面上的剪力在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁上所有外力的代数和。,横截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧(或右侧)梁段上所有外力对该截面形心的力矩的代数和。,牢记口诀: 外力左上右下剪力为正；力矩左顺右逆弯矩为正。,练习 计算1-1、2-2截面的剪力
5、和弯矩。,解:,22：,梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变化的, 可以用坐标x表示横截面沿梁轴线的位置, 将梁各横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数, 即：,这两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程。,4.3 剪力图和弯矩图,4.3 剪力图和弯矩图,取一平行于梁轴线的横坐标x表示横截面的位置, 以纵坐标表示各对应横截面上的剪力和弯矩, 画出剪力和弯矩与x的函数曲线。这样得出的图形叫做梁的剪力图和弯矩图。,绘图时将正值的剪力画在x轴的上侧；正值的弯矩则画在梁的受压侧, 也就是画在x轴的上侧。,Fl,例1 图示悬臂梁在自由端受集中载荷F作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。,解：将坐标原点取在梁的
6、左端, 写出梁的剪力方程和弯矩方程,F,负值, 全梁,负值, B截面,解: 求两个支反力,例2 图示简支梁在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试作此梁的剪力图和弯矩图。,l,A,B,q,FA,FB,取距左端为x的任意横截面，写出剪力方程和弯矩方程。,l,A,B,q,FA,FB,剪力图为倾斜直线。,x = 0处, FS = ql/2,弯矩图为二次抛物线。,x = l处, FS = -ql/2,令,得驻点：,弯矩的极值：,x = 0处, M = 0, x = l 处, M = 0,梁在跨度中点截面上的弯矩值为最大,但在此截面上 FS = 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,例3 图示简支梁在C点
7、处受矩为Me的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。,解：求支座反力,l,A,B,Me,a,b,FA,FB,C,剪力方程和弯矩方程分别为,AC段：,CB段：,由此绘出梁的剪力图,由(1)式可见, 整个梁的剪力图是一条平行于x轴的直线。梁的任一横截面上的剪力为,Me/l,AC, CB两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线。,x = 0, M = 0,AC段 ：,x = a,x = l, M = 0,CB段 ：,x = a,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)发生突变, 其突变值等于集中力偶矩的数值。此处剪力图没有变化。,Me/l,作剪力图和弯矩图的几条规律,在集中力或集中力偶作用处,
8、分布荷载开始或结束处, 及支座截面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程, 然后绘出剪力图和弯矩图。,梁上集中力作用处左、右两侧横截面上, 剪力值(图)有突变, 其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。,4.3 剪力图和弯矩图,梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值(图)也有突变, 其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。,梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；,梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面, 或FS = 0 的截面处。,4.3 剪力图和弯矩图,例 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。,解： 1、求支反力,2、建立剪力方程和弯矩方程,由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。,
