《高中数学函数部分知识点总结(修正版)资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数部分知识点总结(修正版)资料（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）1 函数部分知识点归纳总结函数部分知识点归纳总结 辽宁家教协会内部资料辽宁家教协会内部资料禁止翻印禁止翻印 姓名：姓名： 编号：编号： 学校：学校： 年级：年级： 科目：科目： 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）2 第一部分、函数的基本第一部分、函数的基本概念概念 1. 1. 1. 1.映射映射: : : :设 A、B 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系f,对于集合 A 的任 何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,
2、这样的对应叫做从集 合 A 到集合 B 的映射,记作f： AB.(包括集合 A,B 及 A 到 B 的对应法则) 注:(1)对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象（单射） (2)集合B中的每一个元素都是集合A中的每一个元素的象（满射） (满射即集合B中的每一个元素都有原象。) 对映射概念的认识 (1)f: AB 与f: BA 是不同的,即 A 与 B 上有序的.或者说： 映射是有方向的. (2)集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一输出值.输出值的集合 是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到对应的
3、输入值. 即：即：( ( ( (i i i i) ) ) )不允许集合不允许集合 A A 中有空余元素；中有空余元素；(ii)(ii)(ii)(ii)允许集合允许集合 B B 中有剩留元素；中有剩留元素； (iii)(iii)(iii)(iii)允许多对一，不允许一对多允许多对一，不允许一对多. . 2 2. .函数函数：设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集 合 A 中的任意一个数x,在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对 应。称f: AB 为从集合 A 到集合B的一个函数,记作：y=f(x),xA (1)函数的定义域、值域： 在函数y=f(x),xA 中，
4、x x x x叫做自变量自变量,x的取值范围 A 叫做函数的定义定义 域域；与x的值相对应的y y y y值叫做函数值函数值,函数值f(x)|xA的集合 B 叫做函 数的值域值域. 注意:(i)函数符号y=f(x)与f(x)的含义是一样的; 都表示y是x的函数,其中 x是自变量,f(x)是函数值,连接的纽带是法则f。f是单值对应。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）3 (ii)定义中的集合 A，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； (2)一个函数的构成要素函数的构成要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数相等函数：两函数
5、定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。 注:两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数； y=sinx与y=cosx， 其定义域为R， 值域都为-1,1， 显然不是相等函数。 因此判断判断两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法函数的表示方法：表示函数的常用解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数分段函数: :若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几 个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 分段函数的定义域等于各段函数的定
6、义域的并集定义域等于各段函数的定义域的并集, ,其值域等于各段函其值域等于各段函 数的值域的并集数的值域的并集, ,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。 (6)复合函数:设y=f(u)，,u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时,u=g(x)的值 在y=f(u)的定义域 Df 内变化,因此变量x与y之间通过变量u形 成的一种函数关系,记为：y=f(u)=fg(x)称为复合函数(composite function),其中x称为自变量,u为中间变量， y为因变量(即函数)。 如：设f(x)=2x3，g(x)=x2+2 则称fg(x)(或gf(x)为复合函数。 fg(x)=2(
7、x2+2)3=2x2+1;gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）4 第第二二部分、函数的基本性质部分、函数的基本性质 一、一、函数定义域的求法：函数定义域的求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数ytan ,(,) 2 x xRkZ =且xk + 余切函数y cot ,(,)x x RkZ=且x k 反三角函数的定义域(有些地方不考反三角,可以不理) 函数 yarcsin
8、x 的定义域是 1, 1，值域是, 2 2 ， 函数 yarccosx 的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ， 函数 yarctgx 的定义域是 R ，值域是, 2 2 ， 函数 yarcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 二、函数值域求法：二、函数值域求法： 1 1. .直接观察法直接观察法: :对于一些比较简单的函数， 如正比例,反比例,一次函数,指数函 数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。 2 2 2 2. . . .配方法配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数） ； 3 3 3 3. . . .换元法换元法（无理函数，部分三角函数；形如 2( +b ( +
9、 y afxf x c=） 的函数） 4 4 4 4. . . .分离常数法分离常数法 5 5 5 5. . . .变量反表示法（变量反表示法（利用变量及已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 ） 6 6 6 6. . . .判别式法判别式法（ () 2 111 12 2 222 ,0 a xbx c ya a a xb x c + = + 形如不同时为 分式函数） 7 7 7 7. . . .函数的单调性法函数的单调性法： a.形如,yaxbcxd=+若 ac0 用单调性法，ac+=k x k xy，若 k x x 与不能相等，用单调性法， k x x 与能相等，用不 等式法（特别关注)0(
10、+=k x k xy的图象及性质） 8 8 8 8. . . .导数法导数法（高次函数） 9. . . .不等式法不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(+=k x k xy型函数，当 k x x 与不 能相等时必须用函数单调性） 10101010. . . .数形结合法数形结合法 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）5 三、函数单调性三、函数单调性 1 1 1 1. . . .定义：定义：(1)(1)(1)(1)单调函数的定义单调函数的定义 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果定义域 I 内某个区间 D 上任
11、意两个自变量的值x1,x2,当x1x2时， 若f(x1) 上是增函数；上是增函数； 1212 ()( )()0xxf xf x0，g(x)0)； (iv)f(x)为增函数(f(x)0)； 奇函数奇函数在对称的两个区间上有相同的相同的单调性单调性； 偶函数偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；相反的单调性； 互为反函数互为反函数的两个函数在各自定义域上有相同的单调性相同的单调性； 4. 4. 4. 4.抽象函数的单调性：抽象函数的单调性：抽象函数要紧扣单调性的定义结合题中所给的性质和 相应的条件，对任意的x1,x2在所给的区间内，比较f(x1)-f(x2)与 0 的大小，或 () () 1 2
12、 f x f x 与 1 的大小。 5. 5. 5. 5.对号函数对号函数( )() ,0 a f xxa x =+ 的单调性：的单调性： （i）在 () ,0 a，( ) 0, a分别递减； 在( ) , a，( ) ,+a分别递增。 (ii) x0 时有最小值() min 2ff=aa； x0 时，一次函数是增函数；当 k0 开口向上；a a b 即a,b同号）时,对称轴在 y 轴左侧； 00 与 y 轴交于正半轴； c0=00)的图像 ax2+bx+c=0的解有两个不相等实根x1,x2有一个根x0没有实数根 ax2+bx+c0的解()() 12 ,xx+U 0 xxR ax2+bx+c0
13、的解( ) 12 ,xx+U RR ax2+bx+caaa0 0 0 0的前提下解题口诀:“ “ “ “小于取中间小于取中间, , , ,大于取两边大于取两边.“ .“ .“ .“ (2)二次函数图像与 x 轴交点横坐标是对应一元二次方程的根， 也是相应一元 二次不等式解的端点； (3)关于不等式恒成立问题不等式恒成立问题，常见的解法有三种： (i)利用数形结合思想； （ii）利用分离变量，转化为函数最值求解； （iii）与二次函数有关的问题用判别式解决。 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）13 ax2+bx+c0恒成立 0
14、0a ； ax2+bx+c0恒成立 0 0a ； ax2+bx+c 21 2 1 2 0 0 0 k a b k kf kf 12 ,x x只有一个 根在() 12 ,k k内 12 ( )()0f kf k+ 0 0 0 21 21 xx xx ； 辽宁家教协会咨询电话：02462610358辽宁高考数学命题教研组：13591657580 （姚老师）14 （II）方程有两个不等的负根 0 0 0 21 21 xx xx （III）方程有一个正根一个负根0(0)0(0)0acaff） (1) 1 m n nm a a = ；(2) 1 m n m n a a = . 2、根式的性质 （1）()
15、n n aa=. （2）当n为奇数时， nn aa=；当n为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a = ，则 (1) rsr s aaa + =. (2)( ) rsrs aa=.(3)()r rr aba b=. 注：若 a0，p 是一个无理数，则 a p 表示一个确定的实数上述有理指数幂 的运算性质，对于无理数指数幂都适用. ( (二二) )对数：对数： 1.1.对数的定义对数的定义： 若ab=N,(a0且a1)则b b b b叫做叫做以以a a a a为为底底N N N N的对数的对数， 记作：logaN （a0且a1） 指数式与对数式的互化式：log(0,1,0) b a NbaN aaN= . 2 2. .对数恒等式对数恒等式： （a0且a1，N0） ( ) log 1 aN aN= ；( )2 log N a aN=；( ) 1 3 log log a N N a = ； 3 3. .对数性质：对数性质： 负数和零没有对数； 1 的对数是零， 底的对数是 1,即log 1 0 a = ,log 1 a a= . 4 4. .对数运算法则：对数运算法则：( (若 a0，a1，M0，N0，则) (1)log ( )loglog aaa MNMN=+ ; (2)log loglog aaa M MN N = ; (3)log log() n aa MnM nR
