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1、台州市书生中学高二年级第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的1.直线的倾斜角是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.【详解】由直线,可得直线的斜率为，直线倾斜角的正切值是，又倾斜角大于或等于且小于，故直线的倾斜角为，故选A.【点睛】本题主要考查直线方程与直线的斜率、倾斜角，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.2.椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由椭圆的标准方程可得，
2、利用离心率公式可得结果.【详解】由椭圆的方程可得：，所以椭圆的离心率为，故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及简单性质，意在考查利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.3.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线离心率为2，列出关于的方程，解之得，从而可得双曲线渐近线的斜率，进而可得结果.【详解】双曲线的方程是，双曲线渐近线为，又离心率为，可得，即，可得，由此可得双曲线渐近线为，故选B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率与渐近线，意在考查综合应用数学知识解决问题的能力，属于中档题.4.直线与圆交于两点，则 （ ）A. B.
3、C. D. 【答案】B【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，,再由垂径定理求弦长.【详解】化圆为，可得圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离，故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及待定系数法求直线的方程，属于中档题.解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系（求弦长问题需要考虑点到直线距离、半径，弦长的一半之间的等量关系）；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.5.已知定点，点在圆上运动，是线段上的中点，则点的轨迹方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
4、析】设，由是的中点，可得，利用“逆代法”可得结果.【详解】设，是的中点，又，化为，故选C.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题就是利用方法求的轨迹方程的.6.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，根据过抛物线的焦点，可设直线方程为，代入抛物线方程可得，根据韦达定理和弦长公
5、式，以及中点坐标公式即可求出.【详解】设，过抛物线的焦点，设直线方程为，代入抛物线方程可得，解得，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质,以及韦达定理、弦长公式与中点坐标公式的应用，意在考查数形结合思想、函数与方程思想的应用，属于难题.7.已知双曲线 的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 ，则双曲线的方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线离心率为，由到双曲线的同一条渐近线的距离可得右焦点到渐近线的距离为，从而可得结果.【详解】双曲线离心率为，双曲线方程为，又到双曲线的同一条渐近线的距离
6、，由梯形中位线定理得右焦点到渐近线的距离为，双曲线的方程为，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率、双曲线的渐近线方程以及点到直线距离公式的应用，意在考查计算能力、转化与划归思想的应用，属于中档题.8.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则 （ ）A. 且 B. 且 C. 且 D. 且【答案】A【解析】【分析】由椭圆与双曲线的焦点重合可得，即，由条件可得，再由离心率公式，即可得到结论.【详解】由椭圆与双曲线的焦点重合，可得，即，又，则，由，则，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率与几何性质，解答本题的关键是利用椭圆与双曲线的焦点重合，得到，本题属于中档题.9.若动点与两
7、定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是 （ ）A. 除两点外的圆 B. 除两点外的椭圆C. 除两点外的双曲线 D. 除两点外的抛物线【答案】D【解析】【分析】根据题意可分别表示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数 ，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1 ,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式
8、，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.本题就是利用方法求动点的轨迹方程的.10.已知为椭圆上一个动点，直线过圆的圆心与圆相交于两点，则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由可得圆心， 由得椭圆右焦点也是，结合向量的加减运算法则，利用向量的数量积公式用表示出，根据椭圆的几何性质可得结果.【详解】由可得圆心， 由得椭圆右焦点也是，即的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及平面向量的数
9、量积公式，属于难题向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.已知直线，直线，若，则_；若，则两平行直线间的距离为_.【答案】 (1). (2). 【解析】若，则，解得：若，则，解得：两平行直线间的距离为故答案为：，12.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面
10、轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中，动点满足，若点的轨迹为一条直线，则_；若，则点的轨迹方程为_；【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】设，由可得，从而可得结果.【详解】设，由，时，轨迹方程为，表示直线，时，轨迹方程为，故答案为，.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
11、逆代法，将代入.13.抛物线的准线方程是_，过此抛物线的焦点的最短弦长为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】将化为，从而可得准线方程，利用抛物线的几何性质可得当过焦点的直线与对称轴垂直时，弦长最小值为.【详解】代入，准线方程为，由抛物线的几何性质可得，当过焦点的直线与对称轴垂直时，弦长最小值为，故答案为 ， .【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于简单题.14.若动点在直线上，动点在直线上，记线段的中点为，则点的轨迹方程为_，的最小值为_.【答案】 (1). (2). 8【解析】【分析】由两直线平行，可得中点的轨迹是与两直线平行
12、且与两直线等距离的直线，设的轨迹方程为，利用平行线的距离公式可得结果.【详解】因为直线上与直线平行，中点的轨迹是与两直线平行且与两直线等距离的直线，设的轨迹方程为，则，得，即的轨迹方程为，原点到直线的距离为，的最小值为，故答案为，8.【点睛】本题主要考查轨迹方程以及点到直线距离公式、两平行线的距离公式的应用以及数形结合思想的应用，属于中档题.15.设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心为_【答案】【解析】双曲线的一条渐近线为，联立，得，令，则该双曲线的离心率为.16.已知为椭圆的下焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则当的最大时点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆
13、的定义可得，根据三角形的性质可得当共线时，有最大值，利用直线与椭圆的交点可得结果.【详解】设椭圆上焦点为，则，当共线时，有最大值9，直线的方程为与椭圆方程联立，可得或（舍去），故答案为.【点睛】解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.17.设定点，是函数图象上的一动点，若点之间的最短距离为，则_【答案】或【解析】【分析】设点，利用两点间的距离公式可得,利用基本不等式和二次函数的单调性即可得出的值.【详解】设点，则，令，令，当时，时取得最小值，解得；当时，在区间上单调递减，在单调递增，取得最小值，解得，综上可知或，故答案为或.【点睛】本题主要考查二次函数的性质、基本不等式求最值、以及两点间距离公式与分类讨论思想的应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过
