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1、高中数学公式大全（高中数学公式大全（皮豆皮豆整理版）整理版） 01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A, , U xC AxA. . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB. . 5 5 集合集合 12 , n a aa的子集个数共有的子集个数共有2n个个； 真子集有真子集有2n1 1 个个；
2、 非空子集有非空子集有2n1 1 个；非空的真子集有个；非空的真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf xM ( ) ( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x 11 ( )f
3、 xNMN . . 8.8.方程方程0)(xf在在),( 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()( 21 kfkf不等价不等价, ,前者是后前者是后 者的一个必要而不是充分条件者的一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 ),( 21 kk内内, ,等价于等价于0)()( 21 kfkf, ,或或0)( 1 kf且且 22 21 1 kk a b k , ,或或0)( 2 kf且且 2 21 22 k a bkk . . 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次
4、函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 处及区处及区 间的两端点处取得，具体如下：间的两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 aa0 0 时时， 若若qp a b x, 2 ， 则则 minmaxmax ( )(),( )( ),( ) 2 b f xff xf pf q a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ),( )f xf pf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. . (2)(2)当当 a0) ) （1 1）)()(axfxf，则，则)(xf的周期的周期 T=T=a a；
5、（2 2）0)()(axfxf， 或或)0)( )( 1 )(xf xf axf， 或或 1 () ( ) f x a f x ( ( )0)f x , , 或或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, ,则则)(xf的周期的周期 T=T=2a2a； (3)(3)0)( )( 1 1)( xf axf xf，则，则)(xf的周期的周期 T=3T=3a a； (4)(4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 ( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则，则 )(xf的周期的周期 T
6、=4T=4a a； (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, ,则则)(xf的周期的周期 T=5T=5a a； (6)(6)()()(axfxfaxf，则，则)(xf的周期的周期 T=6T=6a.a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)(1) 1 m n nm a a （0,am nN ，且，且1n ）. . (2)(2) 1 m n m n a a （0,am nN ，且，且1n ）. . 3131根式的性质根式的性质 （1 1）()n n
7、aa. . （2 2）当）当n为奇数时，为奇数时， nn aa； 当当n为偶数时，为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . . 3232有理指数幂的运算性质有理指数幂的运算性质 (1)(1)(0, ,) rsr s aaaar sQ . . (2)(2)()(0, ,) rsrs aaar sQ. . (3)(3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. . 注注： 若若 a a0 0，p p 是一个无理数是一个无理数，则则 a a p p表示一个确定的实数 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂
8、都适用. . 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN(0,1,0)aaN . . 3434. .对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a ( (0a , ,且且1a , ,0m , ,且且1m , ,0N ).). 推论推论loglog m n a a n bb m ( (0a , ,且且1a , ,0m n , ,且且1m , ,1n , ,0N ).). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1)log ()loglog aa
9、a MNMN; ; (2)(2)logloglog aaa M MN N ; ; (3)(3)loglog() n aa MnM nR. . 36.36.设设函数函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , ,记记acb4 2 . .若若)(xf的定义域为的定义域为 R, ,则则0a，且，且0; ;若若)(xf的值域为的值域为R, ,则则0a，且，且0. .对于对于0a的情形的情形, ,需要需要 单独检验单独检验. . 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a , ,0b , ,0x , , 1 x a , ,则函数则函数log () ax ybx (1)(
10、1)当当ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 (,) a 上上log () ax ybx为增函数为增函数. . ， (2)(2)当当ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 (,) a 上上log () ax ybx为减函数为减函数. . 推论推论:设设1nm，0p ，0a ，且，且1a ，则，则 （1）log()log mpm npn . . （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn . . 03.03. 数数 列列 38.38. 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间，则
11、对于时间x的总产值的总产值y，有，有 (1)xyNp. . 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( ( 数列数列 n a的前的前 n n 项的和为项的和为 12nn saaa) ). . 4040. .等差数列的等差数列的通项公式通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. . 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1*
12、 1 1 () nn n a aa qqnN q ； 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . . 4242. .等比差数列等比差数列 n a: : 11 ,(0) nn aqad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn ndq s dqd bn q qqq . . 43.分
13、期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b). 04. 三角函数三角函数 44常见三角不等式常见三角不等式 （1）若）若(0,) 2 x ，则，则sintanxxx. (2) 若若(0,) 2 x ，则，则1sincos2xx. (3)|sin|cos| 1xx. 4545. .同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= = cos sin ，tan1cot. . 4646. .正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式
14、（奇变偶不变，符号看象限） 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s, s() 2 ( 1)sin, n n co n co 4747. .和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsin; ; tantan tan() 1tantan . . 22 sin()sin()sinsin( (平方正弦公式平方正弦公式) ); ; 22 cos()cos()cossin. . sincosab= = 22 sin()ab( (辅助角辅助角所在象 限由点所在象 限由点( , )a b的象限 决的象限 决 定定, ,tan b a ).). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin 2sincos. .2 2 2222 cos2cossin2cos11 2sin . . 2 2tan tan2 1tan
