Shanghai Jiao Tong University 第五章流体旋涡运动第五章流体旋涡运动 Shanghai Jiao Tong University 涡量涡量(vorticity)用来描述流体微团的旋转运动涡量的定义为：用来描述流体微团的旋转运动涡量的定义为： V×∇==Ωω2 5.1 涡量场涡量场 涡量是点的坐标和时间的函数它在直角坐标系中的投影为：涡量是点的坐标和时间的函数它在直角坐标系中的投影为： x wv yz ∂∂ Ω =− ∂∂ y uw zx ∂∂ Ω =− ∂∂ z vu xy ∂∂ Ω =− ∂∂ 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场涡量场如 同在速度场中引入了流线、流管 如 同在速度场中引入了流线、流管(流束流束)和流量一样在涡量 场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念 和流量一样在涡量 场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念 Shanghai Jiao Tong University 5.2 涡线涡线 涡线涡线(vortex line)定义定义: 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上 任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。
由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度 为，取过该点涡线上的微元矢量为 ，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉 乘积为 某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上 任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致 由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度 为，取过该点涡线上的微元矢量为 ，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉 乘积为0，即，即 kji zyx ωωωω++= kdzjdyidxsd++= 0=×sdω zyx dzdydx ωωω == 这就是涡线方程这就是涡线方程 Shanghai Jiao Tong University 5.3 涡管和涡丝涡管和涡丝 涡管(涡管(vortex tube)定义: )定义: 某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲 线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成 封闭的管形曲面 某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲 线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成 封闭的管形曲面 如果曲线c构成的是微小截 面，那么该涡管称为 如果曲线c构成的是微小截 面，那么该涡管称为微元涡 管 微元涡 管横断涡管并与其中所有 涡线垂直的断面称为 。
横断涡管并与其中所有 涡线垂直的断面称为涡管断 面 涡管断 面，在微小断面上，各点的 旋转角速度相同 涡管中充满着的作旋转运动 的流体称为 ，在微小断面上，各点的 旋转角速度相同 涡管中充满着的作旋转运动 的流体称为涡束涡束，微元涡管 中的涡束称为 ，微元涡管 中的涡束称为微元涡束微元涡束或或涡 丝( 涡 丝(vortex filament) C Shanghai Jiao Tong University 5.4 旋涡强度旋涡强度 旋涡强度旋涡强度，也称，也称涡通量涡通量(vortex flux)，定义如下：，定义如下： 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为 微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即 在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为 微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即 dAdAnAddJ n ωωω2)cos(2=⋅=⋅Ω= 对有限面积，则通过这一面积的涡通量 应为 对有限面积，则通过这一面积的涡通量 应为 dAdAJ n AA ω ∫∫∫∫ =⋅Ω=2 如果面积如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束是涡束的某一横截面积，就称为涡束 旋涡强度旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的，它也是旋转角速度矢量的通量通量。
旋涡 强度不仅取决于旋度Ω，而且取决于面积 旋涡 强度不仅取决于旋度Ω，而且取决于面积A Shanghai Jiao Tong University 5.5 速度环量速度环量 速度环量速度环量(velocity circulation)定义定义：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 Γ 表示，即 ：在流场的某封闭周线上， 流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 Γ 表示，即: cos l ll v dlvdlαΓ =⋅=⋅ ∫∫ rr ?? αα表示速度矢量与该点切线方向的 夹角将上式写成标量积的形式为 表示速度矢量与该点切线方向的 夹角将上式写成标量积的形式为 () l ll v dludxvdywdzΓ =⋅=++ ∫∫ rr ?? 速度环量是速度环量是标量标量，有，有正负号正负号，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向 ，规定沿曲线逆 时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕 行的方向为负方向对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量 对非定常流动，速度环 量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线 上各点的速度计算，积分时为参变量。
Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理定理 Stokes定理定理: 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即 在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通 过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即: () 2 n AAA v dlvd Ad AdAJωΓ =⋅=∇×⋅=Ω⋅== ∫∫∫∫∫∫∫ rrrururur ? 这一定理将这一定理将旋涡强度旋涡强度与与速度环量速度环量联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法 联系起来，给出了通过速 度环量计算旋涡强度的方法 Shanghai Jiao Tong University 涡线，涡管涡线，涡管流线，流管流线，流管 涡通量(旋涡强度)涡通量(旋涡强度)流量流量 Stokes 定理： 线积分 定理： 线积分 ï 面积分面积分 Gauss 定理： 面积分 定理： 面积分 ï 体积分体积分 () A v dlvd AJΓ =⋅=∇×⋅= ∫∫∫ rrrur ?()() S dSdρρ Ω ⋅=∇⋅Ω ∫∫∫∫∫ V nV ? 0 0 速度环量速度环量 0源汇强度源汇强度 5.6 Stokes定理定理 Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理定理 例子1：例子1：已知二维流场的速度分布为，，试求 绕圆的速度环量。
已知二维流场的速度分布为，，试求 绕圆的速度环量 3uy= −4vx= 222 Ryx=+ 解：解： 此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为: θcosrx =θsinry = 速度变换为：速度变换为：cossin r vuvθθ=+cossinvvu θ θθ=− θθ θ 22 sin3cos4rrv+= 22 22 00 22 2222222 00 (4 cos3 sin) (4cos3sin)6cos7 v rdrrrd rdrrdr ππ θ ππ θθθθ θθθπθ θπ Γ ==+ =+=+= ∫∫ ∫∫ Shanghai Jiao Tong University 5.6 Stokes定理定理 例子例子2：：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量若流体微团在半 径 一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的涡通量若流体微团在半 径r处的速度分量为常数，它的值是多少？处的速度分量为常数，它的值是多少？ mr1 . 0= smJ/4 . 0 2 π= θ v 解：解：由由Stokes定理得 ：定理得 ： 2 0 2v rdrvJ π θθ θπΓ === ∫ sm r J v/2 1 .02 4 .0 2 = × == π π π θ Shanghai Jiao Tong University 5.7 涡量场的特性涡量场的特性 • 涡量场的空间特性涡量场的空间特性 • 涡量场的时间特性涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 5.7.1 涡量场的空间特性涡量场的空间特性 涡量场的空间特性涡量场的空间特性 (旋涡强度空间保持定理旋涡强度空间保持定理) 2== ∇ ×ΩωV涡量：涡量： ()0 SVV d AdVdV⋅=∇⋅=∇⋅ ∇×= ∫∫∫∫∫∫∫∫ ΩΩV ur ? 由张量公式，知道涡量的散度为由张量公式，知道涡量的散度为0：： ()0∇ ⋅= ∇ ⋅ ∇ ×=ΩV 因此：因此： 表明通过任一封闭曲面的涡通量为表明通过任一封闭曲面的涡通量为0。
K Shanghai Jiao Tong University 5.7.1 涡量场的空间特性涡量场的空间特性 因此：因此： 1) 涡管中任一横截面上的涡通量 (旋涡强度)保持同一常数 涡管中任一横截面上的涡通量 (旋涡强度)保持同一常数 (Helmholtz第一定理第一定理) 2) 涡管不能在流体中产生或消失 涡管的横截面积在流体中趋于 涡管不能在流体中产生或消失 涡管的横截面积在流体中趋于0 时，涡量将趋于无穷，这在物理上 是不可能的 时，涡量将趋于无穷，这在物理上 是不可能的 流场中的涡管只能有以下三种形式：流场中的涡管只能有以下三种形式： K 1) 两端都延伸到无穷远； 2) 形成封闭涡环； 3) 中止于物面或其它界面 1) 两端都延伸到无穷远； 2) 形成封闭涡环； 3) 中止于物面或其它界面 Shanghai Jiao Tong University 5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性 Thomson定理定理(也称为也称为Kelvin定理定理)：： 理想、不可压或正压流体理想、不可压或正压流体*，在有势 的质量力作用下，沿任何封闭流体周 线的速度环量不随时间变化，即： ，在有势 的质量力作用下，沿任何封闭流体周 线的速度环量不随时间变化，即： 0= dt dΓ K * * 密度仅是压力函数的流体称为密度仅是压力函数的流体称为正压流体正压流体，密度是温度和压 力的函数的流体称为 ，密度是温度和压 力的函数的流体称为斜压流体斜压流体。
Shanghai Jiao Tong University 5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性 证明 ：证明 ：在流场中任取一由流体质点 组成的封闭周线 在流场中任取一由流体质点 组成的封闭周线K，它随流体的运 动而移动变形，但组成该线的流体 质点不变沿该线的速度环量的时 间全导数为： ，它随流体的运 动而移动变形，但组成该线的流体 质点不变沿该线的速度环量的时 间全导数为： () dd udxvdywdz dtdt Γ =++ ∫ ? 分步积分后为：分步积分后为： ()()() ddd udxvdyw dudvdw dxdydz dtdtd dz dtddttt d dt ⎡⎤ + Γ = ⎛⎞ +++ ⎜⎟ ⎠ + ⎢ ⎦⎝ ⎥ ⎣ ∫∫?? K Shanghai Jiao Tong University 由于质点线由于质点线K始终由同样的流体质点组成，所以始终由同样的流体质点组成，所以 () d dxdu dt =() d dydv dt =() d dzdw dt = 2222 [] ()() () 2 ( 2 )()uduvdvwdw uvw ddd udxvdywdz dt V dtdt dd =++ ++ == ⎡⎤ ++ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ ∫∫ ?? ?? 因此方程左边第一项为：因此方程左边第一项为： 5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性 Shanghai Jiao Tong University 由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为:由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为: () 111 1 1 xyz xyz ppp fd。