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1、第2篇 工程运动学基础,理论力学,第2篇 工程运动学基础,工程运动学涉及工程运动分析的基本的概念、基本理论和基本方法。这些内容不仅是工程运动学的基础，而且也是工程动力学(dynamics)的基础。,运动学的研究对象是点和刚体。,工程运动学的分析方法主要是矢量方法。,第2篇 工程运动学基础,第4章 运动分析基础,运动学（kinematics）研究物体在空间的位置随时间的变化，即物体的运动，但是不涉及引起运动的原因。,物体的运动都是相对的，因此研究物体的运动必须指明参考体和参考系。,物体运动的位移、速度和加速度都是矢量，因此研究运动学采用矢量方法。而且，一般情形下，这些矢量的大小和方向随着时间变化
2、，因而称为变矢量。变矢量运算与常矢量有相同之处，也有不同之处。这是学习运动学的难点。,第4章 运动分析基础, 点的运动学, 刚体的简单运动, 结论与讨论,第4章 运动分析基础, 点的运动学, 参考系, 位矢、速度和加速度, 点的运动学, 点的运动学, 参考系,根据运动的相对性，研究物体的运动，必须选取另一个物体作为参考，这一物体称为参考体(reference body)，与参考体固连的坐标系称为参考系(reference system)。,参考体总是一个大小有限的物体，而参考系则应理解为与参考体固连的整个坐标空间。例如，若以地球作为参考体，研究行星的运动，对于所研究的行星而言，地球是遥远而不可
3、及的，但是与地球固连的参考系却可以延伸到所研究的行星处。, 参考系, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,点(point)的运动主要有直线运动（rectilinear motion）和曲线运动（curvilinear motion）两种形式。后者又有平面曲线和空间曲线之分。, 位矢、速度和加速度,考察定参考系中，沿空间曲线运动的点P 。自坐标原点O向点P作矢量r，称为点P对于原点O的位置矢量。当点P运动时，位矢r也随该点一起运动，且为时间t 的单值函数：,r = r (t),描述点运动的矢量法,故位矢为变矢量。,r = r (t) 则是用变矢量表示的点的运动方程。点P在运动过程中，其位置矢量的端
4、点描绘出一条连续曲线，称为位矢端图。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,t 瞬时: 矢径 r(t), r(t) r (tt)r(t),点在 t 瞬时的速度, t 时间间隔内矢径的改变量, 称为点的位移,t t 瞬时: 矢径 r (t t )或 r(t) r(t),描述点的运动的矢量法,在时间间隔t内，点由位置P运动到,其方向沿轨迹切线方向，指向点的运动方向。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,t 瞬时: 速度 v(t), v(t) v (t t ) v(t),点在 t 瞬时的加速度：, t 时间间隔内速度的改变量,t t 瞬时:速度 v(t t ) 或v(t) v(t),描述点的运动的矢量
5、法,显然，速度v和加速度a也都是变矢量。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,不受约束的点在空间有 3个自由度，在直角坐标系中，点在空间的位置由3个方程确定：,x = f1(t),y = f2(t),z = f3(t),描述点的运动的直角坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,将矢径表示成,描述点的运动的直角坐标法,点的速度为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,描述点的运动的直角坐标法, 点的速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的一阶导数。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,描述点的运动的直角坐标法, 点的加速度矢量在直角坐标轴上的投影等于点的相应坐标对时间的二阶导数。
6、例P.110, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,如果已知点的轨迹，则可在轨迹上任取一点为原点，运动的点P至原点的弧长sOP，并且规定：原点O的某一侧弧长为正；另一侧为负。这种具有确定正负号的弧长s称为P点的弧坐标(arc coordinate of a directed curve)。弧坐标s完全确定了动点P在轨迹上的位置。,点运动时，其弧坐标随时间而变化：,这就是动点P的弧坐标形式的运动方程。,描述点的运动的弧坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,弧坐标具有以下要素：,1. 有坐标原点(一般在轨迹上 任选一参考点作为坐标原点)；,2. 有正、负方向(一般以点的 运动方向作为正向)；,
7、3. 有相应的坐标系。,描述点的运动的弧坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的速度表示,点的速度在切线轴上的投影等于弧坐标对时间的一阶导数。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,几点讨论, 若,反之点沿着s的方向运动；, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,根据加速度的定义以及弧坐标中速度的表达式, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,当 0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,当 0时， 的极限方向垂直于 ，亦即n方向。, 弧坐标中的
8、加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的加速度表示, 点的运动学, 位矢、速度和加速度, 弧坐标中的加速度表示,切向加速度,法向加速度, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,几点讨论, 切向加速度,表示速度矢量大小的变化率；, 法向加速度,表示速度矢量方向的变化率 例p.115，116, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,椭圆规机构,描述点的运动的直角坐标法, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,求：P点的运动方程、速度、加速度。,描述点的运动的直角坐标法,1. 建立固定参考系Oxy；,2. 将所考察的点置于坐标系中的一般位置；,3. 根据已知的约束条件列写点的运动
9、方程。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,描述点的运动的直角坐标法,P点的运动方程：,从中消去t 得到P点的轨迹方程, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,描述点的运动的直角坐标法,P点的运动方程：,P点的速度：,P点的加速度：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 1,几点讨论:,1. 建立运动方程时，一定要将所考察的点置于坐标系中的一般位置： 对于直线坐标，位于坐标轴的正向； 对于直角坐标系，位于坐标系的第一象限。,2.关于P点运动的性质：何时作加速度运动？何时作减速度运动？,这一问题请同学们自己研究。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,P.110,例 题
10、2,半径为R的圆盘沿直线轨道无滑动地滚动（纯滚动），设圆盘在铅垂面内运动，且轮心A的速度为v0(t),1分析圆盘边缘一点M的运动，并求当M点与地面接触时的速度和加速度以及M点运动到最高处时，轨迹的曲率半径； 2讨论当轮心的速度为常数时，轮边缘上各点的速度和加速度分布。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,于是M点的运动方程为：,解：1. 建立坐标系Oxy,取点M所在的一个最低位置为原点O，设在任意时刻t圆盘的转过的角度为CAM，为时间t的函数，C是圆盘与轨道的接触点，由于圆盘作纯滚动，所以：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,点M的速度分量为：,加速度分量为：,于是M点的运动方程
11、为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,解： 2建立 和 与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系,将其对 t 求一次导数，可得, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,因为圆盘沿直线轨道作纯滚动，故轮心A点作水平直线运动，所以有,再对 t 求一次导数，可得,这对于沿直线轨迹滚动的物体都是正确的。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,即轮上M点的速度大小与M点到C点（轮上与地面接触点）的距离成正比。其方向由下式确定：,M点的速度大小为, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,解： 2建立 和 与圆盘中心A点的速度v0(t)之间的关系,例 题 2,于是，纯滚动时轮上
12、各点的速度如图所示。,v MC,当 = 0和 = 2时，M点与地面接触，此时M点的速度为零。,从图中的几何关系可以证明：任意点的速度矢量垂直于滚动时轮与地面接触点的连线，即，, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,加速度可由式,求得,由此可见，当M点与地面接触时，其加速度的大小不等于零，方向垂直于地面向上。该加速度是点M在此瞬时的切向加速度，因为此时速度为零，故其法向加速度为零。, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,这时M点的速度为v =2v0，于是，轨迹在最高处的曲率半径为：,3确定M点的轨迹在最高点处的曲率半径,M点轨迹在最高点处的切线方向与i 同向；曲线向下弯曲，所
13、以主法线方向与j 同向。于是，法向加速度的大小为：,由于当 = 时，M点的速度和加速度分别为：, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,4.讨论：,若v0为常矢量，则为常量，故，此时由式,M点加速度大小恒为：,M点加速度的方向由下式确定：,根据式, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2,所以，这时轮缘上M点的加速度方向均指向轮心A，如图中所示，此时的加速度既非切向加速度，也非法向加速度，而是这两种加速度的矢量和。不过请注意，若v0不为常矢量，则加速度方向并不指向轮心。 例：P.110，115, 点的运动学, 位矢、速度和加速度,例 题 2, 平 移, 定轴转动, 刚体的简单运动
14、, 刚体的简单运动,根据平移的定义，rAB为常矢量，,刚体运动时，其上任意直线永远平行于其初始位置，这种运动称为刚体的平行移动（translation）,简称平移或平动。在平移刚体内任选两点A、B，令点A、B的矢径分别为rA和rB ，则两条矢端曲线就是这两点的轨迹。, 平 移,平移时，同一瞬时，刚体上各点的速度相同，各点的加速度也相同。因此刚体平移时，可以用刚体上任一点（例如质心）的运动表示刚体的运动。于是，研究平移刚体的运动可归结为研究点的运动。,根据平移的定义，为常矢量，,平移的特点, 刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；, 刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和 加速度；, 刚体平移时的
15、运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为质心)的运动分析.,已知：O1A O2B l； O1A杆的角速度 和角 加速度 a 。,求：C点的运动轨迹、 速度和加速度,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。,1.运动轨迹,C点的运动轨迹与A、B两点的运动轨迹形状相同，即以O点为圆心l为半径的圆弧线。而不是以O1点为圆心、或以O3点为圆心的圆弧。,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。,2. 速 度,vC= vA= vB= l,例 题 3,解：板运动过程中，其上任意直线始终平行于它的初始位置。因此，板作平移。,3.加速度,例 题 3,需要注意的是：虽然平板上各点的运动轨迹均为圆，但是，平板并不作转动，而是作平面曲线平移。由此，在分析中，需要注意刚体运动与刚体上点的运动的区别。,例 题 3,刚体运动时，若其上（或其扩展部分）有一条直线始终保持不动，则称这种运动为定轴转动（fixed-axis rotation）。这条固定的直线称
