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第三章第三章 函数极限函数极限 1 函数极限概念函数极限概念 1、按定义证明下列极限: (1); 6 56 lim= + x x x (2)2)106(lim 2 2 =+ xx x ; (3) ; 1 1 5 lim 2 2 = x x x (4) 04lim 2 2 = x x ; (5) 0 coscoslim 0 xx xx = 证: (1)当0x时, xx x5 6 56 = + ,于是对任给正数,只要取 5 =M,当Mx 时,有 x时, 1)(= x x xf,故1)(lim 0 = + xf xx . 当0 x时, )(xxf=0=,故0)(lim 0 = + xf xx . 当01,使得当Mx 时,有 2 )( Axf. 当 x0时,有 2 ) 1 ( B x f. 令 1 ,min M =,则当 1 , 从而由(1)知 2 ) 1 ( A x f. 于是当 x0时,由(2)与(3)知,使得 0 x的空心邻域),( 0 0 xU内不含这样的既约分数, 于是只要 0 0xx(对0 0 =x,只要 x0;对1 0 =x,只要x10). 不论x是否为有理数,有)(xR故0)(lim 0 = xR xx , 1 , 0 0 x.
