初中数学竞赛题库资料

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1、书书书!#$%$&第!章!实!数! ! !实 数 的 运 算! ! ! ! !计算! #! $ ! $#! $! # ! # !解析!将! $ ! $及! # ! #分别分解为两数的积 得! $ ! $! $% %! $! $% %! # ! #$! #% %! #$! #% %所以 原式$! #! $% %#! $! #% %$ !评注!一般地有& & $& % %#& ( & ($& (% %#& ( ) & ( )$& ( )% %# $! ! ! ! 计算!%!&%!$%(% ! %&#%!$% %(! %& #!解析!原式$%!&%!%(&%&#%!%(&)!#! ! ! ! #计算

2、!%!%!&%$%* *% !解析!原式$ %#%&!%!#%&%$%* *#%&% $%#% $* *% !评注!在做分数加减法运算时 根据特点 将其中一些分数适当拆开 使得拆开后有一些分数可以相互抵消 达到简化运算的目的 这种方法叫拆项法!本例中我们把%*%*%&拆成%*#%*% 即有%*%*%&$%*#%*%!其他常用的拆项方法如! !第章!实!数!%&)*%*%)&$%*#%*%)或%*%*%)&$%)%*#%*%&()!它经常用于分母各因子成等差数列 且公差为)的情形!%!&%*%*%&%*%!&$%!%*%*%&#%*%&%*%!(&! ! ! ! $计算!% +%# % +% +

3、 %! ( %& ( +%# %$ +%+ % %* * !解析!原式$%&$%$*%*% !% !% #% #% +% +! %! %! !%! ! (%! (& %& & &$%&%&#%&%$%&%$#%&%*%&%*#%&% !%$%&%& #%& &$%&%&#%& &$% * *! ! ! ! %计算!%!&%!&%$%* +* *% !解析!因为%+%+%& %+%!&$%!%+%+%&#%+%& %+%!%& 所以原式$%!%!#%!%&%!%!&#%&%&%$%!%* +* *#%* *%&% $%!%!#%* *%&% $ * *% * + ! ! ! ! &计算!%!%!

4、%&%!%&%$%!%$% !解析!因为%!%$%*$!*%*%&$!%*#%*%&% 所以原式$!&%!&%!#%$%!% % %$!%!#%&% %$* *% %! ! ! ! 设,$ +%&!#%!#%$% !#%& 求与,最接近的正整数!解析!对于正整数*#& 有%*!#$%*#!#%*%&! # !实 数 的 运 算$!所以!,$ +%&!#%!#%$% !#%&$ +%!%$%&* +#%#%$%$%&(% !$% ! %!%&%#%* *#% #% %#%&% !$! #% !%* *% % %&% !因为% !%* *% % %&% !$% !* *$%! 所以 与,最接近的正

5、整数为! # ! ! ! ! (! +加上它的%!得到一个数 再加上所得的数的%&又得到一个数 再加上这次得数的%又得到一个数$ 依此类推 一直加到上一次得数的%! +!最后得到的数是多少)解析!由! +加上它的%!得! + %&%! 再加上这数的%&得! +%&%! %&%& 依此类推 最后得到的数为! + %&%! %&%&$ %&! +$! +&!&$! *! +$! +! *!$! % ( & $ ! ! ! ! )计算!%!%+% $%& !%$ !解析!原式$%!%+% $%& !%$ %&$ #%$ $%!%+% $%& !%& !#%$ $%!%+% $%&% $#%$ $%!

6、%&!#%$ $ &$ ! ! ! ! ! *计算!-$%#!%&#%$%! (#! + !解析!-$%#!&%&#&%$%! (#! +&$%#%&%#%&%$%#%&共% 个%! !第章!实!数!$#% ! ! ! ! ! !计算!%!%!&%&%$% *! !解析!因为! %!$%&%!&!&$%&%!&#%!& &$%&%&#!& $% *! $%&% *! ! %#% +% *! & 所以!%!%!&%&%$% *! $%&%!&%&%!&#%!&%$%&% *! ! %#% +% *! &$%&% *! ! %$! $ $ ! ! ! ! ! 计算!%!&%!&%&#%$%! +!

7、 *& !解析!%!&%!&%&#%$%! +! *& $%!&%!&#%!&%$%! +! *& & %#! (! +! *& &$%! +! *& & %$% + + ( * ! ! ! ! ! #计算!%!%!%$%!% !解析!设-$%!%!%$%!% 则%!-$%!%!%$%!% %!% %所以-#%!-$%#%!% %故-$!#%!% !评注!一般地 对于求和!%.%.!%$%.* 我 们常常采用如下方法 令! # !实 数 的 运 算&!-$%.%.!%$%.*则. -$.%.!%$%.*%.*% %于是-#. -$%#.*% %-$%#.*% %#.%.(%&! ! ! ! !

8、 $计算!%&%&!%$%&% !解析!设-$% %&%&!%$%&% 则%&-$%&%&!%$%&% %&% % 所以-#%&-$%#%&% %-$&!#%!&% ! ! ! ! ! %计 算!%!%&%$%&* * *%!%$%&* * +%#%!%$%&* * *%!%&%$%&* * +!解析!设&$%!%&%$% * * *$%!%&%$% * * + 则原式$&%&#%&$&#$% * * *! ! ! ! ! &计算下列繁分数!%#%#%#%$%#%#% % & # #%! +个减号&!解析!先耐心地算几步 从中发现规律!可将& # #% % &用字母&代替% 这样可以得到更一般

9、的结论&!自下而上逐步算出%#%&$&#%&%#%&#%&$%#&#%$#%&#%#%#%&#%$%&#%&$&!由此可见 每计算&步&又重新出现 即&是 一个周期!而! +$&$ $ *%! !第章!实!数!% 所以 原式$%#%&$&#%&!特别地 在&$& # #% % &时 得出本题的答案是%#% % & # #$! !& # #! ! ! ! ! 比较-*$%!%!%&+% $%$%*!*与!的大小!解析!先将-*中的每一个数拆成两数的差!%!$! #&!$&!#&+$#+% $#+#$% $ $*!*$*%!*# %#*%!*!所以-*$ !#&%&!%&!#%&%#%&+%#+#

10、$%&% $%$%*%!*# %#*%!%&*$!#*%!*$!即-*$! ! ! ! ! ! (已知&$% %$ $% !$ (% &$ +% $ *% #( % %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% 问!&的整数部分是多少)解析!我们只要估算出&在哪两个相邻整数之间即可!&$% %$ $% !$ (% &$ +% $ *% #( % %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% $% %$ #%&% !%$ $%&% &!%$ (%&% %$ +%&% #%$ *%&% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% $% %$ #% % !$ $

11、% !% &$ (% &% $ +% % #$ *% #% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% $ % % !% &% % #% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #%&$ *% $% %!这里$% % !% &% % #% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% 下面进一步估计介于哪两个相邻整数之间!$% % !% &% % #% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% ! # !实 数 的 运 算(!$% % !% &% % #% %$ #% !$ #% &$ #% $ #% #$ #% $% % !% &% % #%

12、% !% &% % #&$ #% $% $ #$!$% % !% &% % #% %$ #% !$ $% &$ (% $ +% #$ *% )% % !% &% % #% %$ *% !$ *% &$ *% $ *% #$ *% $% % !% &% % #% % !% &% % #&$ *% $% $ *)% !所以%$!% %$&$% ! !即&的整数部分是% % ! ! ! ! ! )在数!% &% % #% $% (% +% *% 的前面分别添加*%+或*#+ 使它们的和为% !你能想出多少种方法)解析!这+个有理数的分母都是% 只要!&#$(+*这+个整数的代数和为% 即可 而!%&

13、%$%*$ 所以添加*%+ 或*#+ 后 正数的和应为! ( $%!% % %&!方法很多!如!% %&% % %#% %$% %(% #+% #*% $%#!% %&% % %#% #$% %(% %+% #*% $%!% #&% % #% %$% %(% %+% #*% $%!% #&% % %#% #$% %(% #+% %*% $%!% %&% #% %#% #$% #(% %+% %*% $%等! ! ! ! *计算%(%$ & % #%$ & %! &%$ & %& %$ & %& *%$ &%&%$ & % %$ & % *%$ & %! (%$ & %& #%$ &!解析!因为

14、&%$ $&% $&!%$ #% $&!$%&!%+&!#% $&!$%&!%&%+& %&!#&%+&$ %&%!&!%( %&#!&!%( 所以 原式等于)! !第章!实!数!%#!%& %*!%& % &!%& % (!%& %! %!%&!%! #!%& %! *!%& %& &!%& %& (!%& % %!%&%!%& %#!%& %*!%& % &!%& % (!%&!%! %!%& %! #!%& %! *!%& %& &!%& %& (!%&$ %!%!%$& & ( ! ! ! ! !求和!%!%!%!%!%&%&!%&%$% % !% !解析!因为%+!%+$%+!&!#

15、+!$%#+%+!& %+%+!& 所以+%+!%+$%!%+%+#%&%#%+%+%&%&%故原式$%!%#%!%&%!%#%!&%&%$%* *% %#% % %&(%$%!%#% %&% %$# # % % %! ! ! ! 计算!% % &% % % !&% % & % #% % !&% % ! % &% % & % # % (% % ! % &% % ! % & % &%$%&%#%$%! *%!%&%$% &%!%&%$% #&!解析!原式的第+个分数是!%&%#%$%!+%&%!%&%$%+& %!%&%$%+%& ($%+%&!+%+%&!,%+%& %+%!&!$+%+%!&

16、$!%+#%+%&!+$%!$% !故原式$!%&%!%!&#%!$%$%!% %&% $!%#%&%!#%&%&#%&#%#%&$%$% #%&(% $! %!#% #%&% $& ! *% ! ! # !实 数 的 运 算*! ! ! ! #求下列分式的值!%!%!#% %# %!#! %# %$%* *!* *!#* * %# !解析!由于+!+!#% +%# % #+&!% #+&!#% % #+&%# $!+!+!% #+&!%!% #+&!% #+&!%+!$!由此 原式$%!%!#% %# %* *!* *!#* * %#%& %$% *! *!# * %# %# %!# %!#

17、 % %#%& %# !# !# %# $!,* *#%!%$* * !评注!对通项的分子分母同乘! 发现可以首尾配对是本题的关键! ! ! ! $已知一列数%!%!%&!&!&%&%$ 那么(% 是第!个数 第 个数是!解析!把这些分数按分母分组!第一组!%#第二组!%!%!#第三组!%&!&!&%&#$分组之后 易发现!%&第一- 二- 三-$组中 分数的个数依次为%&#$%!&第+组的分母都是+#%&各组中分数的分子是从%到*再到% !利用这三条规律 易知(% 是第%&%#%$% (&%($+ +% 个& !或第%&%#%$% *&#$* % 个& #第 个分数的分母是! 分子是% 该分

18、数是%! ! +!第章!实!数! # !实 数 与 数 轴! ! ! !数&-在数轴上对应的点如图所示 试化简/&%/ % /#&/ % / #/&# /&/ / !解析!由图可知&$) 而且由于&点离原点的距离比点离原点的距离大 因此&%$ !我们有!/&%/ % /#&/ % / # /&# /&/ /)#%&%&%#&%# /&#%#&/)#&#%#&%#%#!&)!评注!本题由图 即数轴 上&-两点的位置 * 读+ 得&$)&%$等条件 从而去掉绝对值符号 解决问题! ! ! 已知0$#& 化简!/ &% / !# / %0/ / / !解析!这是一个含有多层绝对值符号的问题 可从里往

19、外一层一层地去绝对值符号!原式$ / &% / !%0&/ /% 因为%0$&$ / &% / &%0/ / $ / &#%&%0&/% 因为&%0$&$ / #0/ $#0! ! ! #若0$ 化简/ /0/ #!0/0#& / # /0/!解析!因为0$ 所以0#&$ 从而/0/ $#0/0#& / $#%0#&$�/0#& / # /0/ $�#%#0&$&/ /0/ #!0/ $ / #0#!0/ $ / #&0/ $#&0因此 原式$#&0&$#0!评注!根据所给的条件 先确定绝对值符号内的代数式的正负 然后化去绝对值符号!若有多层绝对值符号 即在一个绝对值符号内又含有绝对值

20、符号% 如本例中的分 子/ /0/ #!0/& 通常从最内层开始 逐层向外化去绝对值符号! ! ! $化简!/ &0% / % / !0#% / !解析!本题是两个绝对值和的问题!解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号!若分别去掉每个绝对值符号 则是很容易的事!例如 化 简/ &0% / 只要考! # ! !实 数 与 数 轴 !虑&0%的正负 即可去掉绝对值符号!这里我们是分0#%&与0$#%&两种情况加以讨论的 此时0$#%&是一个分界点!类似地 对于/ !0# % /而言0$%!是一个分界点!为同时去掉两个绝对值符号 我们把两个分界点#%&和%!标 在数轴上 把数轴分为三个部分% 如图所

21、示& 即0$#%&#%&*0$%!0#%!这样我们就可以分类讨论化简了!%& 当0$#%&时 原式$#%&0%&#%!0#%&$#0#%!& 当#%&*0$%!时 原式$%&0%&#%!0#%&$0%!#%& 当0#%!时 原式$%&0%&%!0#%&$#0!即/ &0% / % / !0#% / $#0 当0$#%&时#0%! 当#%&*0$%!时#0当0#%!时+,-!评注!解这类题目 可先求出使各个绝对值等于零的变量字母的值 即先求出各个分界点 然后在数轴上标出这些分界点 这样就将数轴分成几个部分 根据变量字母的这些取值范围分类讨论化简 这种方法又称为* 零点分段法+! ! ! %设&$

22、 且0*&/&/ 试化简/0% / # /0#! / !解析!因为&$/&/ $#& 所以&/&/$&#&$#% !0*&/&/ 即0*#%所以!0%*0#!$因此!/0% / # /0#! /$#%0%&#%0#!& ($#0#%0#!$#& ! ! ! &化简/ /0#% / #! / % /0% / !解析!先找零点!由0#%$得!0$% !由/0#% / #!$即/0#% / $! 得0#%$1! 从而0$#%或0$& ! !第章!实!数!由0%$得!0$#% !所以零点共有, %&三个!因此 我们应将数轴分成个部分即!0$#%#%*0$%*0$&0#& !当0$#%时原式$ / #%

23、0#%&#! / %#%0%& ($ / #0#% / #0#%$#0#%#0#%$#!0#! !当#%*0$%时原式$ / #%0#%&#! / %0%$ / #0#% / %0%$0%0%$!0%! !当%*0$&时原式$ /0#%#! / %0%$ /0#& / %0%$�%0%$ !当0#&时原式$ /0#%#! / %0%$ /0#& / %0%$0#&%0%$!0#! !即原式$#!0#! %0$#%&!0%!%#%*0$%&!%*0$&!0#! ! !%0#&+,-!评注!由于本例中含双重绝对值 采用零点分段法时 不要忘了考虑/ /0#% / # ! /的零点! ! ! 若!

24、0% / #0/ % / %#&0/ %的值恒为常数 求0该满足的条件及此常数的值!解析!要使原式对任何数0恒为常数 则去掉绝对值符号 化简合并时 必须使含0的项相加为零 即0的系数之和为零 故本题只有!0#0%&0$一种情况!因此必须有/ #0/ $#0且/ %#&0/ $&0#% !故0应满足的条件是! # ! !实 数 与 数 轴 $!#0#&0#%#.!解得%&*0*#!此时 原式$!0%#0&#%#&0&%$( ! ! ! (如果2$ /0% / #! /0/ % /0#! / 且#%*0*! 求2的最大值和最小值!解析!%& 当#%*0$时 有2$ /0% / #! /0/ % /

25、0#! / $0%!0#%0#!&$!0%&所以%*2$& !%!& 当*0*!时 有2$ /0% / #! /0/ % /0#! / $0%#!0#%0#!&$&#!0所以#%*2*& !综上所述2的最大值是& 最小值是, % ! ! ! )求代数 式/0% % / % /0#% ! / % /0% & /的最小值!解析!设2$ /0% % / % /0#% ! / % /0% & / 根据绝对值的几何意义 我们知道2表示数轴上对应0的点到对应% !-#% %-#% &的点的距离之和!下面分类讨论!当0#% !时2) /0% & / #! #当0*#% &时2) /0#% ! / #! #当

26、#% &$0$% !时2# /0#% ! / % /0% & / $! # !因此 当0$#% %时2取最小值! # ! ! ! ! *如果3为有理数 求代数式/3#%/ % /3#&/ % /3%#/ %/3%$ /的最小值!解析!分3*#$#$3*#$3*%$3*&3)&五个部分进行讨论!去掉绝对值符号 经过化简得到!当3*#$时 原式$#3#( 最小值为% (#当#$3*#时 原式$#!3%# 最小值为% #当#$3*%时 原式$% # !是一固定值#当%$3*&时 原式$!3% # 最小值大于% #当3)&时 原式$3%( 最小值大于% # !综上所述 原代数式的最小值为% # ! %

27、!第章!实!数!此题还可以用绝对值的几何意义求解!本题就是要在数轴上找一点0 使它到, $-, #-%-&的距离之和最小!这一点显然应在, #与%之间% 包括这两点& 的任意一点 它到, $-, #-%-&的距离之和为% # 就是要求的最小值! ! ! ! !已知/0/ *%/2/ *% 且+$ /0%2/ % /2% / % / !2#0# /求+的最大值和最小值!解析!由题设条件知!#%*0*%#%*2*% !于是2%#!2#0#$ !所以%& 当0%2*时 有+$ /0%2/ % /2% / % / !2#0# /$#%0%2&%2%#%!2#0#&$#!2%#所以&*+*( !%!&

28、当0%2#时 有+$0%2%2%#%!2#0#&$!0%#所以&*+*( !因此+的最大值为( 最小值为& ! ! ! ! 已知2$ / !0%$ / % /0#% / # /0% / 求2的最大值!解析!首先使用* 零点分段法+ 将2化简 然后在各个取值范围内求出2的最大值 再加以比较 从中选出最大者!有三个分界点!, &%, % !%& 当0*#&时2$#%!0%$&#%0#%&%0%&$0#% 由于0*#&所以2$0#%*#2的最大值是# !%!& 当#&*0*#%时2$%!0%$&#%0#%&%0%&$#0% % 由于#&*0*#% 所以#*#0% %*$2的最大值是$ !%& 当#%

29、*0*%时2$%!0%$&#%0#%&#%0%&$#&0%& 由于#%*0*% 所以*#&0%&*$2的最大值是$ !%& 当0#%时2$%!0%$&%0#%&#%0%&$#0% 由于0#% 所以%#0*2的最大值是 !综上可知 当0$#%时2取得最大值为$ ! ! ! ! #设&$($) 求/0#&/ % /0#/ % /0#(/ % /0#)/的最小值!解析!设&-(-)-0在数轴上的对应点分别为,-4-5-6-7 则/0#&/表示线段, 7之长 同理/0#/0#(/0#)/分别表示线段4 75 76 7之长 现要求/0#&/0#/0#(/0#)/之和的值最小 就是要在数轴! # ! !实

30、 数 与 数 轴 &!上找一点7 使该点到,-4-5-6四点距离之和最小!因为&$($) 所以,-4-5-6的排列应如图所示!所以当7在4-5之间时 距离和最小 这个最小值为, 6%4 5 即%)#&%(#&! ! ! ! $&-为有理数 且/&%/ $&# 试求& 的值!解析!当&%#时 由/&%/ $&%$&#得$# 故此时$ !当&%$时 由/&%/ $#%&%&$#&#$&# 得#&$& 故此时&$ !所以 不管是&%#还是&%$&-中至少有一个为 因此& $ ! ! ! ! %若&-(为整数 且/&#/% *% /(#&/* *$% 试计算/(#&/ %/&#/% /#(/的值!解析

31、!因为&-(均为整数 则&#(#&也应为整数 且/&#/% */(#&/* *为两个非负整数 和为% 所以只能是/&#/% *$且/(#&/* *$%!或者/&#/% *$%且/(#&/* *$ !由!有&$且($&1% 于是/#(/ $ /(#&/ $%# 由有($&且&$1% 于是/#(/ $ /&#/ $% !无论!或都有/#(/ $%且/&#/ % /(#&/ $%所以/(#&/ % /&#/ % /#(/ $! ! ! ! ! &将%!$% 这% 个正整数任意分成# 组 每组两个数 现将每组的两个数中任一个数记为& 另一个数记为 代入代数式%!%/&#/ %&%&中进行计算 求出其结

32、果# 组都代入后可求得# 个值 求这# 个值的和的最大值!解析!代数式%!%/&#/ %&%& 的值就是&-中的较大数 为保证所计算出的# 个值之和最大 分组时不要把# %# ! $% 这# 个数中任两个分成一组即可!对于任意一组中的两个数&- 不妨设&) 则代数式%!%/&#/ %&%&$%!%&#%&%&$&!于是这# 个值之和与大数&有关 所以 这# 个值的和的最大值为 !第章!实!数!# %# !%$% $& ( ( # ! ! ! ! 设*个有理数0%0!$0*满足/08/ $%8$%!$*& 且/0%/ % /0!/ %$% /0*/ $% *% /0%0!%$%0*/求*的最小值

33、!解析!先估计*的下界!由/08/ $% 及/0%0!%$%0*/ # 知*) /0%/ % /0!/ %$% /0*/ $% *% /0%0!%$%0*/ #% *所以*#! !又当*$! 时 取08$ ! * #!8$%&#$% *# ! * #8$!$! .满足已知条件 所以 正整数*的最小值为! ! $ !实 数 的 判 定! ! # ! !证明循环小数! - $ % # # # $! - $ % # , ,是有理数!解析!要说明一个数是有理数 其关键要看它能否写成两个整数比的形式!设0$! - $ % # ,!两边同乘以% 得% 0$! $ % -# , ,$! $ % - # #

34、,!,!得* *0$! $ % - # #! - $ %$! # + - * &所以0$! # + * &* * !既然0能写成两个整数比的形式 从而也就证明了! - $ % # ,是有理数! ! # ! 已知0是无理数 且 %0%& %0%& 是有理数 在上述假定下 分析下面四个结论!%&0!是有理数#%!&%0#%& %0#& 是无理数#%&%0%&!是有理数#%&%0#%&!是无理数!哪些是正确的) 哪些是错误的)! # $ !实 数 的 判 定 (!解析!取无理数0$槡 &#! 这时%0%& %0%&$槡 &#%&槡%&%&% $!是有理数 而0!$槡 &#%&%!$# 槡!&是无理数

35、 故结论%& 不正确!仍取0$槡 &#! 仿上可知结论%& 不正确!由 于%0#%& %0#&$0!#0%&$0!%0%&#+0$%0%& %0%&#+0且%0%& %0%& 是有理数+0是无理数 故%0#%& %0#& 是无理数 即结论%!& 正确!同样 由%0#%&!$%0%& %0%&#$0#!知结论%& 正确! ! # ! #求证!% %$/%*# %& 个! !$/!*个槡#是有理数!解析!要证明所给的数能表示成3*%3*为整数*(& 的形式 关键是要证明% %$/%*# %& 个! !$/!*个#是完全平方数!% %$/%*# %& 个! !$/!*个#)% %$/%*# %& 个

36、% *% %! !$/!*个% %#$% *# %#%*% *% %!% *#%*% %#$%*% !*#% *% %!% *% %#! % #&$%*% !*% % *%! #&$%*% *%#&!所以% %$/%*# %& 个! !$/!*个槡#$&% *%#!因为% *%#与&均为整数 所以% %$/%*# %& 个! !$/!*个槡#是有理数! ! # ! $证明槡 !是无理数!解析!要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事!由于有理数 )!第章!实!数!与无理数共同组成了实数集 且二者是矛盾的两个对立面 所以 判定一个实数是无理数时 常常采用反证法!假设槡 !不是无理数 则槡

37、 !必为有理数!设槡 !$9.%9-.是互质的正整数& 两边平方有9!$!.!所以9一定是偶数!设9$!3%3是正整数& 代 入!得3!$!.!.!$!3!所以.也是偶数!9-.均为偶数和9与.互质矛盾 所以槡 !不是有理数 于是槡 !是无理数!评注!只要9是质数槡9就一定是无理数 这个结论的证明并不困难 请同学们自己完成! ! # ! %设*是正整数槡*是有理数 则*必是完全平方数# 反过来 如果*是完全平方数 则槡*是有理数% 而且是正整数&!解析!第二个结论显然成立 下面证明第一个结论!因槡*是有理数 故可设槡*$.9%9-.为互质的正整数& 从而* 9!$.!我们知道 任何一个平方数的

38、质因数分解式中 每一个质因数的指数都是正偶数% 反过来也成立& # 而非平方% 自然& 数的质因数分解式中 至少有一个质因数的指数是奇数!由此可见 如果*不是完全平方数 那么无论*与9!有无相同的质因数在* 9!的质因数分解式中 至少有一个质因数的指数是奇数 即* 9!不是平方数!这样!式不可能成立!所以*是完全平方数!评注!本题是一个重要的结论 它可作为定理使用 读者应熟悉它!有了这个结论 可以立即断定槡 (槡 % 槡 ! !等都是无理数! ! # ! &设&-及槡&%槡都是整数 证明!槡&及槡都是整数!解析!由于负数不能开平方 故由题设知&都是非负整数!若&$或$ 易知结论成立!若&都是正

39、整数 由槡$槡&%槡%&#槡& 两边平方得$槡&%槡%&!#! 槡&槡&%槡%&%&所以槡&$槡&%槡%&!%&#!槡&%槡%&! # $ !实 数 的 判 定 *!由所设&-及槡&%槡都是整数 故槡&是有理数!从而&是平方数 故槡&是整数 从而槡是整数! ! # ! 求满足等式&! #%槡 !槡0$%槡 !2的有理数0-2!解析!把原式两边立方 得! #%槡 !0$%$2!&%槡 !%&2%!2&!因02是有理数 故%$2!$! #0$&2%!2&.!解得0$! !2$!或0$#! !2$#! 易检验它们都满足原式! ! # ! (求满足条件&#! 槡槡$ $ 槡0#槡2的正整数&02!解析

40、!将原式两边平方得&#! 槡 $0%2#!0槡2!显然&#! 槡 $是无理数!假设0槡2是有理数 则0%2#!0槡2是有理数 这与!式矛盾 所以0槡2必为无理数!由!式变形为0%2#&$!0槡2#槡%&$!假设0%2#&( 则0槡2#槡 $必为非零有理数 设为+%+(& 即0槡2#槡 $+ 所以有0槡2$槡 $%+两边平方得0 2$%!+槡 $%+!所以!+槡 $0 2#$#+!因为+( 所以!+槡 $是无理数 而0 2#$#+!是有理数 矛盾!所以! +!第章!实!数!0%2#&$且0槡2#槡 $ !所以0%2$&0 2$.!又因为槡0#槡2$&# 槡槡!$) 所以0)2 所以满足条件的正整

41、数为!0$2$%&$(或0$&2$!&$# ! ! # ! )若&%!$&!%!% 其中&%-&!-%-!为有理数!为无理数& 则&%$&!%$! 反之 亦成立!解析!设法将等式变形 利用有理数不能等于无理数来证明!将原式变形为%#!&!$&!#&%!若%(! 则!$&!#&%#!因为!是无理数 而&!#&%#!是有理数 矛盾!所以必有%$! 进而有&%$&!反之 显然成立!评注!本例的结论是一个常用的重要运算性质! ! # ! ! *设&与是两个不相等的有理数 试判断实数&%槡 &%槡 &是有理数还是无理数 并说明理由!解析!假设&%槡 &%槡 &是有理数 设其为, 即&%槡 &%槡 &$,

42、!整理得&%槡 &$, %,槡 &!由% - & - *知&$, %$,即&$ 这与已知&(矛盾!所以原假设&%槡 &%槡 &是有理数错误 故&%槡 &%槡 &是无理数!评注!本例并未给出确定结论 需要解题者自己发现正确的结论!解这样的问题时 可以先找到一个立足点 如本例以&%槡 &%槡 &为有理数作为立足点 以其作为推理的基础! # $ !实 数 的 判 定! ! ! # ! ! !已知&-是两个任意有理数 且&$ 求证!&与之间存在着无穷多个有理数% 即有理数集具有稠密性&!解析!只要构造出符合条件的有理数 题目即可被证明!因为&$ 所以!&$&%$! 所以&$&%!$!设&%$&%!&%

43、显然是有理数% 因为&-为有理数&!因为&%$ 所以 同理可证&%$&%!$!设&!$&%!&!显然也是有理数!依此类推 设&*% %$&*%!*为任意正整数 则有&$&%$&!$&*$ 且&*为有理数 所以在&和之间存在无穷多个有理数! ! # ! ! 已知在等式& 0%( 0%)$-中&-(-)都是有理数0是无理数!问!%&当&-(-)满足什么条件时-是有理数#%!&当&-(-)满足什么条件时-是无理数!解析!%& 当&$($)(时-$)为有理数!当(时 有-$& 0%( 0%)$&(% (#& )(%( 0%)&所以 只有当 (#& )$ 即& )$ (时-为有理数!故当&$($ 且)(

44、# 或( 且& )$ (时-为有理数!%!&当($)(&(时-$&)0%)为无理数!当(时 有-$&(% (#& )(%( 0%)&故只有当 (#& )( 即& )( (时-为无理数!所以 当($&()(# 或(& )( (时-为无理数! ! # ! ! #已知&-是两个任意有理数 且&$ 问是否存在无理数! 使得&$!$成立)解析!因为&$槡 !#%) 所以槡 !#%&%&$槡 !#%&%! !第章!实!数!即槡 !&$槡 !#%&%&!又因为&$%槡 !#槡 ! 所以&%槡 !#$槡 !即槡 !#%&%&$槡 !由!有槡 !&$槡 !#%&%&$槡 !所以&$槡 !#%&%&槡 !$!取!

45、$槡 !#%&%&槡 !$!%槡 !%&#&!$%&#&!,槡 !因为-&#!是有理数 且&#!( 所以%&#!,槡 !是无理数 即存在无理数! 使得&$!$成立! ! # ! ! $已知数槡 % 的小数部分是 求% !&%& (!%$#! 的值!解析!因为无理数是无限不循环小数 所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位确定下来 这类涉及无理数小数部分的计算题 往往是先估计它的整数部分% 这是容易确定的& 然后再寻求其小数部分的表示方法!因为*$% $% $ 即&$ 槡 % $ 所以槡 % 的整数部分为& !设槡 % $&% 两边平方得% $*%$%!所以!%$# !% !&%& (!%$#!

46、 !$%!,$&%& $!&%!%$&#! $%!%$&!%!%$&#! $#!%#! $% ! ! # ! ! %已知!9-.是有理数0$槡 #%! 且满足0 0%.$ 试求9#.的值!解析!将0$槡 #%!代入方程!0 0%.$ 得! # $ !实 数 的 判 定! $!槡 #%&! ,槡 #%!%.$化简 得%!#9&槡 #%#9%!.$ !因为9-.都是有理数 则!#9$#9%!.$.!解方程组 得9$!.$#%.!所以9#.$& !评注!本题应用到了性质! 若&-为有理数9为无理数&% 9$ .&$ ! ! # ! ! &若*为正整数 求证!*%!*&%!*!%!*%

47、槡%必为无理数!解析!只需证*%!*&%!*!%!*%为非完全平方数!而这只要证明它位于两个相邻的正整数的平方之间即可!因为*%!*&%!*!%!*%$%*%!*&%*!&%*!%!*%&)*%!*&%*!$%*!%*&!又因为!*%!*&%!*!%!*%$*%!*&%&*!%!*%$*%*!%!*&%!*!%!*$%*!%*%&!所以!%*!%*&!$*%!*&%!*!%!*%$%*!%*%&!而%*!%*&!与%*!%*% %&!是两个 相邻的整数的完全平方数 它们之间一定没有完全平方数!因而对任意的正整数* 数*%!*&%!*!%!*%不可能是完全平方数 即*%!*&%!*!%!*%槡%

48、必为无理数! ! # ! ! 若3-*是正整数&-)是实数 问是否存在三个不同的素数9-.-: 满足&槡9$&槡.$&%3 )&槡:$&%* )解析!假设存在三个不同的素数9-.-: 满足&槡9$&槡.$&%3 )&槡:$&%* )!其中&-)为实数3-*是正整数!消去&-) 得&槡.#&槡9&槡:#&槡9$3*即3&槡:#*&槡.$%3#*&槡9!式的两边立方 得3&:#*&.#&3 *&:槡.%3&槡:#*&槡.&$%3#*&9! %!第章!实!数!将!式中的3&槡:#*&槡.代 入式 得&3 *%3#*&9 .槡:$3&:#*&.#%3#*&9!但是&9 .槡:是无理数 故上面等式有矛盾

49、!因此 不存在三个不同的素数9-.-: 满足&槡9$&槡.$&%3 )&槡:$&%* )! ! # ! ! (设&*是%!%!%&!%$%*!的个位数字*$%!&$ 求证! !&%&!&$&*$ 是有理数!解析!有理数的另一个定义是循环小数 即凡有理数都是循环小数 反之循环小数必为有理数!所以 要证 -&%&!&$&*$是有理数 只要证它为循环小数!因此本题我们从寻找它的循环节入手!计算&*的前若干个值 寻找规律!%#%#$*#$#*%#%$!发 现!&! $&! %$&%&! !$&!&! &$&$ 于是猜想!&+% ! $&+ 若此式成立 说明 -&%&!$&*$ 是由! 个数字组成循环节

50、的循环小数 即 -&%&!$&*$ - %,# # % # # $ * # $ # * ,!下面证明&+% ! $&+!令;%*&$%!%!%$%*! 当;%*%! &#;%*& 是% 的倍数时 表明;%*%! & 与;%*& 有相同的个位数 而!;%*%! &#;%*&!$%*%&!%*%!&!%$%*%! &!$% %!*!% !,*&%!%!%$%! !&!由前面计算的若干值可知!%!%!%$%! !是% 的倍数 故&+% ! $&+成立所以 -&%&!$&*$ 是一个有理数! ! # ! ! )已知0%2-0#2-0 2-02均为有理数 如果它们中有三个数相等求0-2的值!解析!依题意

51、2( 否则02无意义!若0%2$0#2 则2$ 矛盾!所以0%2(0#2!若0$ 则由0%2$0 2或0#2$0 2都得到2$ 矛盾!所以0 2( !因此 三个相等的代数式只能是!%&0%2$0 2$02或%!&0#2$0 2$02! # $ !实 数 的 判 定! &!由0 2$020(+,-得!2!$% /2$1% !当2$%时 由%& 得0%$0 矛盾#由%!& 得0#%$0 矛盾!所以2(% !当2$#%时 由%& 得0#%$#0!0$%0$%!由%!& 得0%$#0!0$#%0$#%!所以0$1%!2$#% ! ! # ! *0( 表示不超过实数0的最大整数 令.00$0#0(!%&

52、找出一个实数0 满足.00.%00$%#%!&证明! 满足上述等式的0 都不是有理数!解析!设0($3.00$!%(0$*.%00$ 则3-*是整数*!$% !由题设!%$% 所以0%0$3%*%!%$3%*%0!#%3%*%&0%$0$%!3%*%1%3%*%&!#槡%&!令3%*%$& 则0$%!&1槡%&# 再验证它满足.00.%00$% !%&取0$&%槡 #! 则%0$&#槡 #! 于是.00$&%槡 #!#!$槡 #%!.%00$&#槡 #! 所以.00.%00$槡 #%!%&#槡 #!$% !%!&设0$3%!%0$*% 其中3-*是整数*!$% !则!%$%0%0$3%*% !

53、于 是0!#%3%*%&0%$! !第章!实!数!0$%!3%*%1%3%*%&!#槡%&!当%3%*%&!$时0$1% 均不满足.00.%00$% !当%3%*%&!)时 若%3%*%&!#$+!其中+为正整数 则%3%*%#+& %3%*%+&$ !由于3%*%#+$3%*%+ 且3%*%#+与3%*%+同奇偶所以3%*%#+$#!3%*%+$#.!或3%*%#+$!3%*%+$.!均 不可能!故%3%*%&!#不是完全平方数 从而0是无理数! ! # ! !设&-是实数 对所有正整数*%#!& &*%*都是有理数 证明!&%是有理数!解析!由题意&!%!&%&%$ 都是有理数!而&*%*

54、有如下* 递推关系+ !&*% !%*% !$%&%& %&*% %*% %&#& %&*%*& 所以&%$%&%& %&%&#& %&!%!& &#%#$%&%& %&%&#& %&%& 从中 解出&%即 可!设0$&%2$& 则 有&%$%&%&0#%&!%!&2&#%#$%&%&0#%&%&2消去2 得! %&!%!& %&%&#%&%&!(0$%&!%!& %&#%#&#%&%& %&%& 所以 当%&!%!& %&%&#%&%&!( 即& %&#&(时0$%&!%!& %&#%#&#%&%& %&%&%&!%!& %&%&#%&%&!是有理数! # $ !实 数 的 判 定! (!当

55、& %&#&$时 若&-全为 则结论成立# 若&-中恰有一个为 不妨设&$ 则$&%&!%!为有理数 从而&%$为有理数# 若&#$ 且&-均不为 则&%$&%&!%!#& $&%&!%!%&#&!#%&!%!&!$!%&%&!%!是有理数!从而命题得证!评注!本题分析中给出的递推关系!&*% !%*% !$%&%& %&*% %*% %&#& %&*%*&非常重要!遇到涉及&*%*类型的问题时 利用这一递推关系 可以帮助我们解题! ! # ! 设,是给定的正有理数!%&若,是一个三边长都是有理数的直角三角形的面积 证明! 一定存在&个正有理数0-2- 使得0!#2!$2!#!$,#%!&若存

56、在&个正有理数0-2- 满足0!#2!$2!#!$,证明! 存在一个三边长都是有理数的直角三角形 它的面积等于,!解析!%&设&-(是某个直角三角形的三边长&-(都是有理数 且&!%!$(!%!& $,!若&$ 则!&!$(!(&$槡 !这与&-(都是有理数的假定矛盾 故&(!不妨设&$ 取0$&%!2$(!$#&! 则0-2-都是正有理数 且0!#2!$%&%&!#(!$%!& $,2!#!$(!#%#&!$%!& $,!%!&设三个正有理数0-2-满足0!#2!$2!#!$, 则0)2)!取&$0#$0%($!2 则&-(都是正有理数且&!%!$!%0!%!&$2!$(!%!& $%!%0

57、!#!&$%! %0!#2!&%2!#!& ($,即存在一个三边长&-(都是正有理数的直角三角形 它的面积等于,!第#章!代!数!式# ! !整 式 的 运 算! ! ! ! !化简 %0& %#0%0!#0&%$%#0&*# %( 其中*为大于%的整数! !解析!原式$%#0%0!#0&%$%#0&*# %!%0#0!%0&%$#%#0&*# %#0&*$%#0&*!评注!本例可推广为一个一般的形式!%&#& %&*# %&*# !%$%& *# !%*# %&$&*#*! ! ! ! 计算%& %&#%(#)& %(#&#)#& #%!& %0%!2& %0#!2& %0#+0!2!% $

58、2&!解析!%&这两个多项式对应项或者相同或者互为相反数 所以可考虑应用平方差公式 分别把相同项结合 相反项结合!原式$ %(#)&%&( %(#)&#&($%(#)&!#&!$(!%!%)!%! )#! (#!( )#&!%!& %0%!2& %0#!2& 的结果是0!#2! 这个结果与多项式0#+0!2!% $2相乘时 不能直接应用公式 但0#+0!2!% $2$%0!#2!&!与前两个因式相乘的结果0!#2!相乘时就可以利用差的立方公式了!原式$%0!#2!& %0!#2!&!$%0!#2!&$%0!&#&%0!&!%2!&%&0!%2!&!#%2!&$0$#% !02!% +0!2#$

59、 2$! ! ! ! #设=%0&$&0!#!0%;%0&$0&#&0!#0#% 求用=%0& 去除;%0& 所得的商.%0& 及余式:%0&!解析! !用普通的竖式除法! ! # !整 式 的 运 算! *!=%0& $&0!#!0%&%&0#(*!0&#! &0!#!0#% ! !$.%0&$;%0&0&#!&0!%&0! !#(&0!#&0#%!#(&0!% *0#(*! !#! $*0#!*! !$:%0&因此 所求的商.%0&$%&0#(* 余式:%0&$#! $*0#!*!解析# !用待定系数法由于;%0& 为&次多项式 首项系数为% 而=%0& 为!次 首项系数为& 故商.%0&

60、 必为%次 首项系数必为%& 而余式次数小于! 于是可设商式.%0&$%&0%& 余式:%0&$ 0%(!根据;%0&$.%0&=%0&%:%0& 得!0&#&0!#0#%!$%&0!#!0%&%&0%&% 0%(&$0&% &#%&!&0!%#!&%&%&0%&%(&!比较两端系数 得&#!&$#&#!&%&$#%&%($#%+,-!解得&$#(*$#! $*($#!* 故商式.%0&$%&0#(* 余式:%0&$#! $*0#!*! ! ! ! $已知当0$(时 代数式& 0#% 0#+的值为 求当0$(时 代数式&!0#%!0%&的值!解析!比较两个代数式 发现它们的相同与不同!$ +!

61、第!章!代!数!式!当0$(时&!0#%!0%&$%!%& 0#% 0#+&%($%!%($* ! ! ! ! %若0$2!$& 且0%2%$% ! 试求!0%&2%的值!解析!2$!0$&0!代入0%2%$% !得0$! 故2$ 所以!0%&2%$ ! ! ! ! &试确定&和 使0%& 0!# 0%!能被0!%&0%!整除!解析!由于0!%&0%!$%0%& %0%!& 因此 若设;%0&$0%& 0!# 0%!假如;%0& 能被0!%&0%!整除 则0%和0%!必是;%0& 的因式 因此 当0$#%时;%#%&$ 即%&%!$!当0$#!时;%#!&$ 即% $%&%!%!$由!联立 则

62、有&$#$&.! ! ! ! 若 %0#%& %0%& %0%#&$0&% 0!%( 0%) 求%)的值!解析!%0#%& %0%& %0%#&$%0!#%& %0%#&$0&%#0!#0#所以$#)$# !%)$ ! ! ! ! (将&0!%#0#(表示成&%0#!&!%0#!&%(的形式!解析!&0!%#0#($& %0#!&%!(!%# %0#!&%!(#($&%0#!&!% (%0#!&% # ! ! ! ! )已知&!%&#%$ 求&%!&!%!的值!解析! !由&!%&$% 有&%!&!%!$%&%&!&%&!%!$&%&!%&%&!%! ! # !整 式 的 运 算$ !$%&%

63、&!&%!$%!$& !解析# !由&!$%#& 有&%!&!%!$&!%&%!&%!$%#& %&%!&%!$!#&#&!%!$#&#&!$#&#%#&$#&#%&$& !注意!解析%是应用拆项法# 解析!是应用降次法!这两种方法在整式恒等变形中常用! ! ! ! ! *已知0%2$30&%2&$*3( 求0!%2!的值!解析!因为0%2$3 所以3&$%0%2&$0&%2&%&0 2%0%2&$*%&3 0 2所以0 2$3!&#*&3!所以0!%2!$%0%2&!#!0 2$3!#!3!&#*&%&3$3!&%!*&3! ! ! ! ! !若0!%0 2%2$% 2!%0 2%0$! +

64、 求0%2的值!解析!把两个方程相加 得 %0%2&!%0%2&$ ! 于是有%0%2#$& %0%2%(&$故0%2$或0%2$#( ! ! ! ! ! 已知0%2$%0!%2!$! !求0(%2(的值!解析!因为0!%2!$! 所以%$%0%2&!$0!%2!%!0 2$!%!0 2 从而0 2$#%!所以0&%2&$%0%2&#&0 2%0%2&$%&#& #%&!%$#!0%2$%0!%2!&!#!0!2!$!#! #%&!$(!故0(%2($%0&%2& %0%2�&2&%0%2&$#!(!# #%&!&%$( %+! ! ! ! ! #已知&$% * * *0%! $% * *

65、 *0%! %($% * * *0%! !求多项式&!%!%(!#& # (#( &的值!解析!由&!%!%(!#& # (#( &$%! %&#&!%#(&!%(#&!( $ !第!章!代!数!式!又因为&#$#%#($#%(#&$! 故原式$%! %#%&!%#%&!%!($& ! ! ! ! ! $已知实数&-0-2满足&%$0%2$!& 0% 2$# 求%&!%!&0 2%& %0!%2!& 的值!解析!由&%$0%2$! 得%&%& %0%2&$& 0% 2%& 2% 0$ !因为& 0% 2$# 所以& 2% 0$#% !因而 %&!%!&0 2%& %0!%2!&$%& 2% 0

66、& %& 0% 2&$# ! ! ! ! ! %已知 %&0#%&($&(0(%&$0$%�#%$%&%0%& 试求&(%&$%&#%$%&%&的值!解析!多项式;%0& 的系数和 就是;%&!&(%&$%&#%$%&%&$%&%#%&($!($% ! + ! ! ! ! ! &求一个关于0的二次三项式;%0& 它被0#%除余!# 被%0#!& 除余+# 并且被0%整除!解析!设这个二次三项式为;%0&$& 0!% 0%(!则;%&$&%($!;%!&$&%!%($+;%#%&$&#%($+,-!#!,#得$% !代入-#得&%($&%($%.$%$,%得&$#&代入%得($#!&!所求二

67、次三项式为#&0!%0#!&! ! ! ! ! 未知数0-2满足! ! # !整 式 的 运 算$ $!%0!%2!&3!#!2%0%*&3%2!%*!$其中3*表示非零已知数 求0-2的值!解析!两个未知数 一个方程 对方程左边的代数式进行恒等变形 经过配方之后 看是否能化成非负数和为零的形式!将已知等式变形为3!0!%3!2!#!3 0 2#!3 * 2%2!%*!$%3!0!#!3 0 2%2!&%3!2!#!3 * 2%*!&$!即%3 0#2&!%3 2#*&!$ !所以3 0#2$3 2#*$.!因为3( 所以2$*30$*3! ! ! ! ! (已知0-2-满足0%2%$0 2

68、求证!0%#2!& %#!&%2%#0!& %#!&%#0!& %#2!&$0 2 !解析!因为0%2%$0 2 所以左边$0%#!#2!%2!&%2%#!#0!%0!&!%#2!#0!%0!2!&$%0%2%� !#0 2!%0 2!#2 !#2 0!%2 0!# 2!# 0!% 0!2!$0 2 #0 2%2%0� %0% %2%&!%0 2 %0 2%2 % 0&$0 2 #0 2%0 2 #� %0 2 #2 %0 2 #0&!%0 2 %0 2%2 % 0&$0 2 %0 2 %0 2 %0 2 $0 2 $右边! ! ! ! ! )已知&!%!%(!$& %

69、 (%( & 证明&$(!解析!因为&!%!%(!$& % (%( &所以!%&!%!%(!&#!%& % (%( &$即%&#&!%#(&!%(#&!$因此&#$#($(#&$即&$(! ! ! ! *证明!$ %!第!章!代!数!式!%2%#!0&%0#!2&%0%2#!&$&%2%#!0& %0#!2& %0%2#!&!解析!此题看起来很复杂 但仔细观察 可以使用换元法!令2%#!0$&!%0#!2$0%2#!$(#则要证的等式变为&%&%(&$& (!因为&%&%(&#& ($%&%(& %&!%!%(!#& # (#( & 所以将!#相加有&%($2%#!0%0#!2%0%2#!$所

70、以&%&%(&#& ($所以!%2%#!0&%0#!2&%0%2#!&$&%2%#!0& %0#!2& %0%2#!&! ! ! ! !已知&%(%)$& ( ) 且&-(-)都是正数 求证!&$($)!解析!由已知可得&%(%)#& ( )$%&!#!&!%(!#)!&!%!&!%!(!)!#& ( )$所以%&!#!&!%(!#)!&!%!%& #( )&!$ !因为 %&!#!&!#%(!#)!&!#%& #( )&!# 所以&!#!$(!#)!$& #( )$所以%&%& %&#&$%(%)& %(#)&$ !又因为&-(-)都为正数 所以&%(%)( 所以&$($)!所以& #( )

71、$&!#(!$%&%(& %&#(&$所以&$(!故&$($)成立! ! # ! !因 式 分 解$ &! ! ! ! 已知&%($ 求证!%&%(&$%&!%!%(!&!解析!用作差法 注意利用&%($的条件!左#右$!%&%(&#%&!%!%(!&!$&%(#!&!#!(!#!(!&!$%&!#!#(!&!#!(!$%&!#!#(!%! (& %&!#!#(!#! (&$&!#%#(&!( &!#%(&!($%&#%(& %&%#(& %&#(& %&%(&$ !所以等式成立!# # !因 式 分 解! ! ! !分解因式!%&#!0#*# %2*%0&*# %2*% !#!0*# %2*

72、% #%!&0&#+2&#&#$0 2 #%&!%!%(!#! (%!( &#!& #%&(#&#!%&!#(!解析!%& 原式$#!0*# %2*%0*#!0!*2!%2&$#!0*# %2* %0!*&!#!0!*2!%2!&!($#!0*# %2*%0!*#2!&!$#!0*# %2*%0*#2&!%0*%2&!%!& 原式$0&%#!2&%#&#&0%#!2& %#&$%0#!2#& %0!%2!%!%!0 2%0 #!2 &!%& 原式$%&!#!& %!&%#! (%!( &%(!$%&#&!%!(%&#&%(!$%&#%(&!本小题可以稍加变形 解法如下!原式$&!%#&!%(!

73、%!%#&(%!( &%!&%#&$%&#%(&!%& 原式$%&(#&#!&%&!#(&$&#%&!#!&%#%&!#!&$%&!#!& %&#%#&$%&%& %&#& %&%& %&#&%&!#& &%&$%&%&!%&#& %&#&%&!#& &%&! ! ! 分解因式!0$#2$!$ !第!章!代!数!式!解析! !原式$%0&!#%2&!$%0&%2& %0&$%0%2& %0!#0 2%2!& %0#2& %0!%0 2%2!&!解析# !原式$%0!&#%2!&$%0!#2!& %0!&!%0!2!%2!&!($%0%2& %0#2& %0!%2!&!#0!2!($%0%

74、2& %0#2& %0!%2!%0 2& %0!%2!#0 2&!评注!解析!中0%0!2!%2$%0!%2!%0 2& %0!%2!#0 2& 是因式分解中经常用到的一个结论 记住这个结论是必要的! ! ! #分解因式! %0!%2!&%!#0!&#%2!%!&!解析!原式中 %0!%2!& 与%!#0!& 的和等于%2!%!& 所以考虑用立方和公式&%&$%&%&#& %&%& 变形后 再进行分解!原式$%0!%2!%!#0!&#&%0!%2!& %!#0!& %0!%2!%!#0!&#%2!%!&$%2!%!&#&%0!%2!& %!#0!& %2!%!&#%2!%!&$#&%0!%2!

75、& %0& %#0& %2!%!&! ! ! $!分解因式!&%&%(&#& (!解析!原式$%&%&#& %&%&%(&#& ($ %&%&%(&(#& %&%(&$%&%(& %&%&!#(%&%&%(!(#& %&%(&$%&%(& %&!%!%(!#& # (#( &!评注!&%&%(&#& ($%!%&%(& %!&!%!%!(!#!& #! (#!( &$%!%&%(& %&#&!%#(&!%(#&!(!显然 当&%($时 则&%&%(&$& (# 当&%()时 则&%&%(&#& (# 即&%&%(&#& ( 而且 当且仅当&$(时 等号成立!如果令0$$&#$(&# 则有

76、0%2%&#&0 2槡!等号成立的充要条件是0$2$!这也是一个常用的结论! ! ! %分解因式!0% #%0% %0% &%$%0!%0% !解析!这个多项式的特点是! 有% $项 从最高次项0% #开始0的次数顺次递减至 由此想到应用公式&*#*来分解!因为! ! # ! !因 式 分 解$ (!0% $#%$%0#%& %0% #%0% %0% &%$%0!%0%& 所以原式$%0#%& %0% #%0% %$%0!%0%&0#%$0% $#%0#%$%0+%& %0%& %0!%& %0%& %0#%&0#%$%0+%& %0%& %0!%& %0%&!评注!在本题的分解过程中 用到先

77、乘以 %0#%& 再除以%0#%& 的技巧 这一技巧在等式变形中很常用! ! ! &分解因式!0&#*0%+ !解析!本题解法很多 这里只介绍运用拆项- 添项法分解的几种解法 注意一下拆项- 添项的目的与技巧!方法! !将常数项+拆成#%* !原式$0&#*0#%*!$%0&#%&#*0%*$%0#%& %0!%0%&#*%0#%&$%0#%& %0!%0#+&!方法# !将一次项#*0拆成#0#+0!原式$0�#+0%+!$%0�&%#+0%+&$0%0%& %0#%&#+%0#%&$%0#%& %0!%0#+&!方法$ !将三次项0&拆成*0&#+0&!原式$*0&#+0&#*0%

78、+!$%*0&#*0&%#+0&%+&$*0%0%& %0#%&#+%0#%& %0!%0%&$%0#%& %0!%0#+&!方法% !添加两项#0!%0!原式$0&#*0%+!$0�!%0!#*0%+$0!%0#%&%0#+& %0#%&$%0#%& %0!%0#+&!$ )!第!章!代!数!式!评注!由此题可以看出 用拆项- 添项的方法分解因式时 要拆哪些项 添什么项并无一定之规 主要的是要依靠对题目特点的观察 灵活变换 因此拆项- 添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种! ! ! 分解因式!%&0*%0$%0&#&#%!& %3!#%& %*!#%&%3 *#%& %0%&%0!#

79、%&!%0#%&#%&#& &%&!%!% !解析!%& 将#&拆成#%#%#% !原式$0*%0$%0&#%#%#%!$%0*#%&%0$#%&%0&#%&$%0&#%& %0$%0&%&%0&#%& %0&%&%0&#%&$%0&#%& %0$%!0&%&$%0#%& %0!%0%& %0$%!0&%&!%!&将3 *拆成!3 *%!3 *!原式$%3!#%& %*!#%&%!3 *%!3 *$3!*!#3!#*!%!3 *%!3 *$%3!*!%!3 *%&#%3!#!3 *%*!&$%3 *%&!#%3#*&!$%3 *%3#*%& %3 *#3%*%&!%&将 %0!#%&!拆成!%

80、0!#%&!#%0!#%&!原式$%0%&%!%0!#%&!#%0!#%&!%0#%&!$ %0%&%!%0%&!%0#%&!%0#%&(#%0!#%&!$ %0%&!%0#%&!(!#%0!#%&!$%!0!%!&!#%0!#%&!$%&0!%& %0!%&!%&添加两项%& #& !原式$&#& &%&!%!%& #& !$%&#& &%&!#& &%& %!%&$& %&%& %&#&%&%&#&%& %!%&$&%&#& %&%&%(%& %!%&$&%&#&%( %& %!%&$%&!#& %& %!%& %&!评注!%& 是一道较难的题目 由于分解后的因式结构较复杂 所以不易想到!

81、 ! # ! !因 式 分 解$ *!添加%& #& 而且添加项后分成的三项组又无公因式 而是先将前两组分解 再与第三组结合 找到公因式!这道题目使我们体会到拆项- 添项法的极强技巧所在! ! ! (分解因式!0%!0&%!0!%!0% !解析!原式$%0%!0!%&%!0&%!0&$%0!%&!%!0%0!%&$%0!%& %0!%!0&$%0!%& %0%&! ! ! )分解因式! (%(&%( &%(#&#& %&%&!解析!原式$ (%(&%( & %(&#%&%& (#& %&%&$ (%(&%( &%(&#( &%&%&#& %&%&$(%(& %&%&#&%&%& %(%&$%&

82、%& %(& %(#&! ! ! ! *分解因式!0&%2#&%2&%#0&%&%0#2&!解析!原式$%0&2#2&0&%2�&%&0#&2&$0 2%0!#2!&#%0&%&%0#2&$%0#2& 0 2%0%2&#%0!%0 2%2!&%&($%0#2& 0!%2#&%0 2%2#&#%2!#!& ($%0#2& %2#& %0!%0 2# 2#!&$#%0#2& %2#& %#0& %0%2% 可以得到同样的结果 有兴趣的同学不妨试一试! ! ! ! #分解因式!% +!第!章!代!数!式!%0!%&0%!& %0!%+0%&#* !解析!先将两个括号内的多项式分解因式 然后

83、再重新组合!原式$%0%& %0%!& %!0%& %!0%&#* $ %0%& %!0%& ( %0%!& %!0%& (#* $%!0!%#0%& %!0!%#0%!&#* !令2$!0!%#0%! 则原式$2%2%&#* $2!%2#* $%2% & %2#*&$%!0!%#0% !& %!0!%#0#(&$%!0!%#0% !& %!0%(& %0#%&!评注!对多项式适当的恒等变形是我们找到新元%2& 的基础! ! ! ! $分解因式! %&%#!& & %&%#!&%#& &!解析!令&%$0& $2 则原式$%0#!2& %0#!&%#2&!$0!#!0 2#!0%2%2!#!2

84、%$0!#!0%2%&%2%&!$0#%2%& (!$%0#2#%&!所以 原式$%&%#& #%&! ! ! ! %分解因式! %#!&#&!&%&%&#%& %!#%&!解析!令&#%$0 则%#!&#&!$%&#%&!#!&!$0!#!&!原式$%0!#!&!&%& 0%!#%&$0!#!&!%!& !0#& 0$%0!#& 0&%!& !0#!&!&$%0 #& %0%!& & 所以 原式$ %&#%&#&( %&#%&%!& ($%& #&#& %&%!& #%&! ! ! ! &分解因式! %0%&%0%&#! ( ! !解析!令2$0%! 则原式$%2#%&%2%&#! ( !$

85、%2!#!2%&!%2!%!2%&!#! ( !$%2%2!%#2&%!2!#2&! ! # ! !因 式 分 解% !%2%2!%2&%!2!%2&#! ( !$!2% !2!#! ( $!%2%$2!#% & #&$!%2!#*& %2!% #&$!%2%& %2#& %2!% #& 所以 原式$!%0%#& %0#%& %0!%0% *&! ! ! ! 分解因式! %0!%0%+&!%&0%0!%0%+&%!0!解析!设0!%0%+$2 则原式$2!%&0 2%!0!$%2%!0& %2%0&$%0!%$0%+& %0!%#0%+&$%0%!& %0%& %0!%#0%+&!评注!由本题

86、可知 用换元法分解因式时 不必将原式中的元都用新元代换根据题目需要 引入必要的新元 原式中的变元和新变元可以一起变形 换元法的本质是简化多项式! ! ! ! (分解因式!$0%(0&#& $0!#(0%$ !解析! !原式$%0%&%(0%0!#%&#& $0!$ %0#!0!%&%!0!(%(0%0!#%&#& $0!$ %0!#%&!%!0!(%(0%0!#%&#& $0!$%0!#%&!%(0%0!#%&#! 0!$!%0!#%&#&0( &%0!#%&%+0($%!0!#&0#!& %&0!%+0#&$%!0%& %0#!& %&0#%& %0%&!评注!本解法实际上是将0!#%看作一

87、个整体 但并没有设立新元来代替它即熟练使用换元法后 并非每题都要设置新元来代替整体!解析# !原式$0!$0!%(0#& $#(0%$0%&!$0!$0!%0%&!%(0#%&0#(& $ !令0#%0$? 则0!%0!$?!%! 于是原式$0!$%?!%!&%(?#& $(!$0!%$?!%(?#! &$0!%!?#& %&?%+&$0!0#%&0#(&0#%&0%(+$%!0!#&0#!& %&0!%+0#&% !第!章!代!数!式!$%!0%& %0#!& %&0#%& %0%&! ! ! ! )分解因式! %0!%0 2%2!&!#0 2%0!%2!&!解析!本题含有两个字母 且当互换

88、这两个字母的位置时 多项式保持不变这样的多项式叫作二元对称式!对于较难分解的二元对称式 经常令$0%2$0 2 用换元法分解因式!原式$ %0%2&!#0 2(!#0 2 %0%2&!#!0 2(!令0%2$0 2$ 则原式$%!#&!#%!#!&!$#$!%*!$%!#&!$%0!%!0 2%2!#&0 2&!$%0!#0 2%2!&! ! ! *分解因式!0!#!0 2#&2!%!0% 2#+ !解析!原式$%0#&2& %0%2&%!0% 2#+$%0#&2%& %0%2#!&!其十字相乘图为0#&20%2#!评注!凡是可以化成0!%&%&0%& 或& 0!%& (% )&0%( )形式

89、的二次三项式 都可以直接采用十字相乘法把它分解成%0%& %0%& 或%& 0%)& % 0%(& 的形式!对于某些二元二次六项式 %& 0!% 0 2%( 2!%) 0%A 2%;& 我们也可以用十字相乘法分解因式 通常称为双十字相乘法!其因式分解的步骤是! 首先用十字相乘法分解& 0!% 0 2%( 2! 得到一个十字相乘图% 有两列& # 然后把常数项;分解成两个因式填在第三列上 要求第二- 第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的A 2 第一- 第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的) 0! ! ! !分解因式!$0!#% &0 2%$2!%! !0#! &2%! !解析!原式$%!

90、0#&2& %&0#!2&%! !0#! &2%! $%!0#&2%& %&0#!2%#&!其十字相乘图为 ! ! 分解因式!$0!#(0 2#&2!#0 %(2 #!解析!原式$%!0#&2& %&0%2� %(2 #!$%!0#&2%& %&0%2#!&! ! # ! !因 式 分 解% $!其十字相乘图为 ! ! #分解因式! %0%& %0%!& %0%& %0%&#! !解析!原式$%0!%#0%& %0!%#0%$&#! $%0!%#0%& %0!%#0%&%!(#! $%0!%#0%&!%!%0!%#0%&#! $ %0!%#0%&%$( %0!%#0%&#($0%0%#&

91、%0!%#0% &!对于形如A%0%& %0%& %0%(& %0%)&%;%&-(-)-A-;为常数& 当&%$(%)时 则把%0%& %0%& 与%0%(& %0%)& 分别相乘后 构成有相同部分!0!%&%&0$0!%(%)&0的项 使原式得到简化 再用十字相乘法进行分解! ! ! $分解因式! %0%!& %0%& %0%+& %0% !�!解析!原式$%0!% 0%! & %0!% %0%! �!$%0!% 0%! & %0!% 0%! &#&0(#0!$%0!% 0%! &!#&0%0!% 0%! �!$ %0!% 0%! �( %0!% 0%! &%0($%0!%

92、 0%! & %0!% #0%! &$%0%& %0%$&0#% #% 槡 % ! *%&!0#% # 槡 % ! *%&!对于形如A%0%& %0%& %0%(& %0%)&%; 0!%&-(-)-A-;为常数& 当&,$(,)时 则把%0%& %0%& 与%0%(& %0%)& 分别先作乘法 构成具有相同部分0!%& $0!%( )的项 再用十字相乘法进行分解! ! ! %分解因式!0!#&2!#+!%!0 2%!0 % 2 !解析!由于0!%!0 2#&2!$%0%&2& %0#2&若原式可以分解因式 那么它一定是 %0%&2%3 & %0#2%* & 的形式!应用待定系数法即可求出3和

93、* 使问题得到解决!设0!#&2!#+!%!0 2%!0 % 2 0%0%&2%3 & %0#2%* &$0!%!0 2#&2!%3%*&0 %&*#3&2 %3 * !比较两边对应项的系数 则有3%*$!&*#3$% 3 *$#+,-!解之 得3$#!*$ !所以原式$%0%&2#!& %0#2%&!% %!第!章!代!数!式! ! ! &分解因式!0#0&%0!%&0%# !解析!这是关于0的四次多项式 若它可以因式分解 则必为关于0的两个二次式之积!可用待定系数法求之!设!0#0&%0!%&0%#!$%0!%& 0%& %0!% 0%#&$0%&%&0&%& %$&0!%#&%&0%#

94、!比较两边对应项的系数 则有&%$#%& %$#&%$&+,-!解之 得&$%$#! !所以原式$%0!%0%& %0!#!0%#&!如果设原式$%0!%& 0#%& %0!% 0#& 那么由待定系数法解题后知关于&与的方程组无解 所以设原式$%0!%& 0%& %0!% 0%#&! ! ! +为何值时0!#2!%&0#(2%+可以分解成两个一次因式的乘积)!解析!因为0!#2!$%0%2& %0#2& 所以如果0!#2!%&0#(2%+可以分解成两个一次因式的乘积 那么它的两个一次因式一定是%0%2%3& 与%0#2%*&的形式 其中3-*都是待定系数!设0!#2!%&0#(2%+$%0%2

95、%3& %0#2%*&0!#2!%&0#(2%+$0!%0 2%3 0#0 2#2!#3 2%* 0%* 2%3 *$0!#2!%3%*&0%*#3&2%3 *!比较两边对应项的系数 得3%*$&*#3$#(3 *$+,-!解之 得3$#*$#!+$#% +,-!因此 当+$#% 时0!#2!%&0#(2%+可以分解成两个一次因式的乘积%0%2%#& %0#2#!&! ! ! (分解因式!&%&%&%! ! # ! !因 式 分 解% &!解析!因为&%$%&%&#&#$&!#& &$%&%&#& %&%&!%!%& &!所以 原式$&%&%&$%&%&#& %&%&!%!%& &!%&%&$

96、! %&%&#!& %&%&!%& &!($! %&%&!#& (!$!%&!%!%& &! ! ! )分解因式! %0%2%�#2#!解析!这个式子是关于02的五次齐次对称式 令0$#2 则原式$ !故原式有因式0%2!同理 亦有因式2%0!这样原式还有一个二次齐次对称式+%0!%2!%!&%B%0 2%2 % 0&!所以 可设原式$%0%2& %2%& %0& +%0!%2!%!&%B%0 2%2 % 0& (当0$2$%$时 得% #$!+%B!当0$!2$%$时 得& #$#+%!B!由!式与式可解得+$#B$# !所以 原式$#%0%2& %2%& %0& %0!%2!%!%0

97、2%2 % 0&! ! ! # *分解因式!& %&!#!&% (%!#(!&%( &%(!#&!&!解析!当&$时 易知原式$ 所以原式有因式&#!同理#(与(#&也都是原式的因式!但四次多项式应有四个一次因式 由对称性余下的一个因式必为&%( 故可设& %&!#!&%!#(!&%( &%(!#&!&$+%&%(& %&#& %#(& %(#&!令&$%($! 得!%#&$&+%#%&%#%&! !解得+$#% !所以 原式$#%&%(& %&#& %#(& %(#&! ! ! # !分解因式!&!%(&!%!%(%&!%(!%&%&!%& (%&%(&%&!%!%(!& ,%& % (%(

98、 &!解析!所给的式子是一个四次对称式!若令&$# 则原式$!%(&!%!%(#&!#!(!%!%(!& ,%#!&$! %(&!%(#&!#(!#(!#!($!%!%(!%! (%!#! (%(!#!(!#!&$ !所以 原式含有因式&%!同理 原式含有因式%(%&!% !第!章!代!数!式!于是 原式含有因式 %&%& %(& %(%&!由于原式为四次对称式 故还有因式+%&%(& 其中+为待定系数!所以 原式$+%&%& %(& %(%& %&%(&!比较等式两边&的系数 得+$% !所以 原式$%&%& %(& %(%& %&%(&!# $ !分!式! ! # ! !计算!%&%*&

99、#&%& #%!&#%&!%&%!#$&!#&#!解析!%&%*& #&%& $& $!&!%!&!&#%&!%&%!#$&!#&#!$&#%&%& %&%!&#$%&#!& %&%&$%&#%& %&#!&#$%&%!&%&%& %&%!& %&#!&$&!#*&#% %&%& %&%!& %&#!&$%&#% & %&%&%&%& %&#!& %&%!&$&#% &!#! ! # ! 计算!%&0%#0!0#%#%!&!&0#!0%20%2&0#0#%&(2C0#20!解析!%&0%#0!0#%$%0%& %0#%�!0#%$#%0#%$%#0!%!&!&0#!0%20%2&0#0#%

100、&(2C0#20$!&0#!0%20%2&0#%0%2(.0&00#2$!&0#!&0#%&(!00#2$!00#2$!00#2! ! # ! #化简分式!&!%&%!&%#&!#&#&%!#&!#&#&#!%!&!#+&%#&#&! ! # $ !分!式% (!解析!直接通分计算较繁 先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式 再化简将简便得多!原式$!&!%!&%&%&%#&!%!&#&#$%&%!#&!#$&%!&#%&#!%!&!#$&#!&%$#%&#&$%!&%&%&%(%#%&#&%&%(!#%&%!&#%&#(!%!&#!&#%&#(&$ %!&%&#%&#&#%&%!&%!&#

101、!& (!%&%#%&%!%&#!#%&#(&$%&%#%&%!%&#!#%&#&$%&%& %&%!&%#%&#!& %&#&$%&#!& %&#&#%&%& %&%!&%&%& %&%!& %&#!& %&#&$#+&%&%& %&%!& %&#!& %&#&!评注!本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式! ! # ! $求分式%#&%&%!%&!%&%+%&+% $%&% $当&$!时的值!解析!先化简再求值!直接通分较复杂 注意到平方差公式!&!#!$%&%& %&#& 可将分式分步通分 每一步只通分左边两项!原式$%&%#&%#& %&%!%&!%&%+%&+% $%&

102、% $!%#&!%!%&!%&%+%&+% $%&% $!%&!&%!%#&!&%#&!& %&!&%&%+%&+% $%&% $%#&%&%+%&+% $%&% $% )!第!章!代!数!式!$+%#&+%+%&+% $%&% $% $%#&% $% $%&% $& !%#& !$& !%#!& ! ! # ! %计算!&#(&!#& #& (% (%!#(#&!#& # (%& (%!(#&#(!#& (# (%& 解析!本题如果直接通分化为同分母 运算较繁!而通过分子拆项 分母分解之后 利用0%20 2$%0%2 比较简洁!由此可看出 有时需要把分式按分母不变分子相加减的法则倒过来运用

103、把一个分式拆成几个分式的和差!原式$%&#&%&#(&%&#& %&#(&%#(&%#&%#(& %#&%(#&%(#&%(#& %(#&$%&#(%&#%#&%#(%(#%(#&$ ! ! # ! &已知0!#&0%$ !求0!%0!的值!解析!由已知0!#&0%$得0(且0!%$&0可得0!%0$& 即0%0$& 所以0!%0!$0%&0!#!$( !评注!这里利用0与%0互为倒数的特点 巧妙地运用乘法公式加以变形 使问题变得较简单!同样地0&%0&$0%&00!#%0%&!$&%(#%&$% +0%0$0!%0%&!#!$ ( ! ! # ! 已知%0%2$# !求!0#&0 2%!20

104、%!0 2%2的值!解析!由0%20 2$#可得0%2$#0 2!故!0#&0 2%!20%!0 2%2$!%0%2&#&0 2%0%2&%!0 2$!#0 2#&0 2#0 2%!0 2$(0 2(0 2$% !评注!本题同样通过将已知的条件作适当变形 代入所求的分式中!由此可看! ! # $ !分!式% *!出 在已知条件与所求的式子中寻找桥梁是非常关键的 往往需要作整体的代换而不一定要一一求出每个字母的数值! ! # ! (计算!%0#2&!%#0& %#2&%2#&!%0#2& %0#&%#0&!%2#0& %2#&解析!直接通分比较繁 考虑到这里主要涉及到0#22#0三个式子不妨用换

105、元法!使所求式子的形式变得简单一些!设0#2$&2#$#0$( 则&%($ 所以原式$&!# (%!#& (%(!#& $&%&%(&#& ($# %&%&#& %&%& (%(& ($#(&%& (%(& ($#& ! ! # ! )已知0 2 $%0%2%$!0!%2!%!$% $ !求%0 2%!%2 %!0% 0%!2的值!解析!因为0%2%$! 两边平方得0!%2!%!%!0 2%!2 %! 0$ !已知0!%2!%!$% $ 所以0 2%2 % 0$#$ !又$!#0#2 所以%0 2%!$%0 2%#!0#!2$%0#!& %2#!&!同理%2 %!0$%2#!& %#!&% 0

106、%!2$%#!& %0#!&!故原式$%0#!& %2#!&%2#!& %#!&%#!& %0#!&$%0#!&%2#!&%#!&%0#!& %2#!& %#!&$0%2%#$ 2 0#!%0 2%2 % 0&%0%2%&#+$!#$% !%+#+$#% &! ! # ! ! *若& ($% 求& %&% (%( &%(%的值!解析!本题可将分式通分后 再进行化简求值 但较复杂!下面介绍几种简单的解法!方法! !因为& ($% 所以&(都不为零!原式$& %&%&, (%& & ,( &%(%& +!第!章!代!数!式!$& %&%& & (%& %&%& (& ( &%& (%& $& %&

107、%& %& %&%&%& $&%& %& %&%$% !方法# !因为& ($% 所以&( !原式$& %&%& (% (%,( &%(%$% (% (% ( ( &% (%$% (% (% (% (%$% !方法$ !由& ($% 得&$% ( 将之代入原式原式$% (% (,% (% (%(,% (%(%$% (% (% (% (%$% ! ! # ! ! !化简分式!%0!%&0%!%0!%#0%$%0!%(0% !解析!三个分式一齐通分运算量大 可先将每个分式的分母分解因式 然后再化简!原式$%0%!& %0%&%0%!& %0%&%0%& %0%&$%0%#%0%&!%0%!#%0%

108、&%0%&#%0%&$%0%#%0%$&0!%#0%!评注!本题在将每个分式的分母因式分解后 各个分式具有%0%*& %0%*%&的一般形式 与分式运算的通分思想方法相反 我们将上式拆成%0%*与%0%*%两项 这样 前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数 这种化简的方法叫* 拆项相消+ 法 它是分式化简中常用的技巧! ! # $ !分!式& ! ! # ! ! 若实数02满足0%2$2%$%0$(& 求0 2 的值!解析!因为$0%2$0%#%$0%#%$0%(&#%0(&#%0#%$0%(0#&0#&所以%0#&$0%0#&%(0#&0!#% !0%*$%!0#&!$故0$&!从而$#

109、&2$!#!所以0 2 $% ! ! # ! ! #已知!0%2%$&%&( 且0-2-不全相等& 求%0#& %2#&%2#& %#&%#& %0#&%0#&!%2#&!%#&!的值!解析!本题字母多 分式复杂!若把条件写成 %0#&%2#&%#&$那么题目只与0#&2#&2#&$ % D%D !%!%D! 且由已知有%D$ !将%D$两边平方得!%!%D!%!% % D%D &$ !由于0-2-D不全为零 所以!%!%D!( 从而有 % D%D !%!%D!$#%!即所求分式的值为,%!评注!从本例中可以看出 换元法可以减少字母个数 使运算过程简化! ! # ! ! $已知0&#$2#($

110、(#& 求0%2%的值!& !第!章!代!数!式!解析!本题的已知条件是以连比形式出现 可引入参数+ 用它表示连比的比值 以便把它们分割成几个等式!设0&#$2#($(#&$+ 于是有0$%&#&+2$%#(&+$%(#&+!所以0%2%$%&#&+%#(&+%(#&+$ ! ! # ! ! %已知0&%2%($%&0%2%($ 求0!&!%2!%2$%D$%!%D$ !由有 % D%D D$所以 % D%D $ !把!两边平方得!%!%D!%!% % D%D &$%所以!%!%D!$%即0!&!%2!%!(!$% ! ! # ! ! &化简分式!0%&0!#0%0#%#0#%(0!C0!%0

111、!#0#%0%&0!%0!#!0#!0%&!解析!原式中只出现了0%0和0!%0!的形式 而且0!%0!$0%&0!#! 因此可用换元法! ! # $ !分!式& $!令0%0$& 则0!%0!$0%&0!#!$&!#! !原式$&!#&#%#%&!C&!#!#&%&!#!#!&%&$&!#&!#&%&#%&%!C&!#&%&!#!&%$&!#&!#&%&#%&%!%&#%&!&!#&%$&!#%&!#&%&$&#%$0%0#%$0!#0%0! ! # ! ! 已知0 2 ?$% 求下面代数式的值!%0%0 2%0 2 %2%2 %2 ?% ?% ? 0%?%? 0%? 0 2!解析!根据分式

112、的基本性质 分子- 分母可以同时乘以一个不为零的式子 分式的值不变!利用已知条件 可将前三个分式的分母变为与第四个相同!%0%0 2%0 2 $?%0 ?%0 2 ?%0 2 ?$?%0 ?%0 2 ?%同理%2%2 %2 ?$? 0? 0%? 0 2%?% ?% ? 0$? 0 2? 0 2%?%? 0!所以原式$?%? 0%? 0 2%?%? 0%? 0 2$% ! ! # ! ! (若0$% *#+ 槡槡& 求分式0#$0&#!0!% +0%! &0!#+0% #的值!解析!0$% *#+ 槡槡& $% $#!,槡 &%槡&$#槡 &所以0#$#槡 & 所以 %0#&!$& 即0!#+0

113、% &$ !原式分子$%0#+0&% &0!&%!0&#% $0!%! $0& %!第!章!代!数!式!%0!#+0% &% $0!%0!#+0% &%!0%0!#+0% &%0!#+0% &% $% 原式分母$%0!#+0% &%!$!所以原式$% !$# !评注!本例的解法采用的是整体代入的方法 这是代入消元法的一种特殊类型 应用得当会使问题的求解过程大大简化! ! # ! ! )若&%#($&#%($#&%(& 求%&%& %&%(& %(& (的值!解析! !利用比例的性质解决分式问题!%&若&%( 由等比定理有&%#($&#%($#&%(&!$%&%#(&%&#%(&%#&%(&%(

114、$%所以&%#($(&#%($#&%($&于是有%&%& %&%(& %(& ($!(,!,!& ($+ !%!&若&%($ 则&%$#(%($#&(%&$#于是有%&%& %&%(& %(& ($%#(& %#& %#& ($#% !评注!比例有一系列重要的性质 在解决分式问题时 灵活巧妙地使用 便于问题的求解!解析# !设参数法!令! ! # $ !分!式& &!&%#($&#%($#&%(&$+则&%$%+%&(!&%($%+%&%($%+%&!#!.#有!%&%(&$%+%& %&%(& 所以%&%(& %+#%&$故有+$%或&%($ !当+$%时%&%& %(& %(%& ($!(

115、,!&,!& ($+ !当&%($时%&%& %(& %(%& ($%#(& %#& %#& ($#% !评注!引进一个参数+表示以连比形式出现的已知条件 可使已知条件便于使用! ! # ! *一列数&%&!&$满足对于任意正整数* 都有&%&!%$%&*$*&求%&!#%&#%$%&% #%的值!解析!当*#!时 有&%&!%$%&*$*&%&!%$%&*# %$%*#%&两式相减 得&*$&*!#&*%所以%&*#%$%&*%*#%&$%&%*#%#%&*$!&$故!%&!#%&#%$%&% #%!$%&%#%&%!%&%!#%&%&%$%&%* *#%&% $& &% !& !第!章!代

116、!数!式!# % !根式及其运算! ! $ ! !化简!%&# &% ! #%& $槡!#%!& %槡 #%槡 $%槡 (& %槡 #%槡 $#槡 (& %槡 #槡 $%槡 (& %#槡 #%槡 $%槡 (& #%&槡! !+ * *$/*%*# %& 个 $/%*# %& 个%!解析!%&直接计算不是好办法!注意到# &%& $% ! #& $+ * 于是# &% ! #%& $!$%+ *#& $& %+ *%& $&%& $!$+ *!#& $!%& $!$+ *!故# &% ! #& $槡!$+ *槡!$+ * !%!&直接逐步展开太麻烦 观察到式中因式都是槡 #-槡 $-槡 ( 只不

117、过符号不同而已!于是 我们将一些项适当组合 利用平方差公式! %槡 #%槡 $&%槡 ( %槡 #%槡 $&#槡 ( 槡 (%槡 #槡 $& ( 槡 (#%槡 #槡 $& ($ %槡 #%槡 $&!#( (#%槡 #槡 $&!($%! 槡 & & %#%! 槡 & &$%! 槡 & &!#!$% !%&!+ * *$/*%*# %& 个 $/%*# %& 个%$* $/!*个#$ $/*个%$*% !*#$% *%$%&% *#%&!所以槡!+ *$/*%*# %& 个 $/%*# %& 个%$&% *#% ! ! $ ! 化简!%&0!#!0%槡%#0!%0%槡%#%!&*%*%& %*%!

118、& %*%&%槡%*是自然数& #%&%,!,&%!,$%$%*,!*,&*%,#,% %!,% ,! %$%*,#*,% 槡*#%&%! / 0 1!2 3 /槡!%#! / 0 1!2 3 /槡!% 4$!* 4&!解析!%& 原式$%0#%&槡!#%!0%&槡!$ /0#% / # / !0% / !因为/0#% / !0% /的零点分别是%#%! 我们分情况讨论如下! ! # % !根式及其运算& (!当0*#%!时 原式$#%0#%&%!0%&$0%!#当#%!$0*%时 原式$#%0#%&#%!0%&$#&0#当0)%时 原式$%0#%&#%!0%&$#0#! !%!&因为*%*%

119、& %*%!& %*%&%$*%*%& ( %*%& %*%!& (%$%*!%&*& %*!%&*%!&%$%*!%&*&!%!%*!%&*&%$%*!%&*%&!所以*%*%& %*%!& %*%&%槡%$%*!%&*%&槡!$*!%&*% !%&因为%,!,&%!,$%$%*,!*,&*%,#,% %!,% ,! %$%*,#*,% *$%,!,&%&%!&%$%*&%,#,% %&%!&%$%*&$%,!,&%,#,% 所以%,!,&%!,$%$%*,!*,&*%,#,% %!,% ,! %$%*,#*,% 槡*$&#槡!$槡 &#!%&因为%! / 0 1!2 3 /!$/ 0 1!

120、%! / 0 1!2 3 /!%2 3 /!$%/ 0 1!%2 3 /!&!同理%#! / 0 1!2 3 /!$%/ 0 1!#2 3 /!&!故原式$%/ 0 1!%2 3 /!&槡!%/ 0 1!#2 3 /!&槡!$ / / 0 1!%2 3 /!/ % / / 0 1!#2 3 /!/ !由于 4$!* 4/ 0 1!)2 3 /!) !且当 4$!$ # 4时/ 0 1!$2 3 /!#而 # 4*!* 4时/ 0 1!#2 3 /!故!当 4$!$ # 4时 原式$%/ 0 1!%2 3 /!&%2 3 /!#/ 0 1!&$! 2 3 /!#当 # 4*!$* 4时 原式$%

121、/ 0 1!%2 3 /!&%/ 0 1!#2 3 /!&$! / 0 1! ! $ ! #化简!*# 槡槡#!解析! !配方法!*# 槡 #$#%# 槡 #$%槡 #&!#!,! 槡 #%!$%槡 #!&!故*# 槡槡# $%槡 #!&槡!$槡 #! !解析# !待定系数法!设*# 槡 #$%槡0#槡2&! 则*# 槡 #$%0%2&#!0槡2!& )!第!章!代!数!式!0%2$*0 2$! .!解方程组 得0$#2$.!或0$2$#.!从而*# 槡槡# $%槡 #!&槡!$槡 #! !解析$ !公式法!*# 槡槡# $槡 !*%*!#%槡#&槡槡!#*#*!#%槡#&槡槡%&!$槡 !%

122、槡 % # 槡!&$槡 #! !评注!本题解法中 配方法虽然较简单 但对一些数字较大的题目 其解法仍困难!待定系数法虽然较麻烦 但它仍不失为一种普遍可行的方法! ! $ ! $化简!% &% 槡!#% 槡!(%槡槡! & #!解析!被开方数中含有三个不同的根式 且系数都是! 可以看成是将槡0%槡2%槡平方得来的 因此用待定系数法来化简!设% &% 槡!#% 槡!(%槡槡! & # $ 槡0%槡2%槡两边平方得!% &% 槡!#% 槡!(%槡! & #$0%2%!0槡2%!2槡%!槡 0!所以0%2%$% &0 2$#2 $( 0$& #+,-!#$5#5$得%0 2 &!$#(& #$& #!

123、因为0-2-均非负 所以0 2 # 所以0 2 $& # !%6 有$( !同理有0$#2$% !所求0-2-显然满足! 所以原式$%槡 #%槡 (! ! $ ! %化简!#% %! 槡槡槡# % %! 槡槡槡#! ! # % !根式及其运算& *!解析!设原式$0 则0!$%#% % 槡槡!#&% % 槡槡!#&%!%#% % 槡槡!#& % % 槡槡!#槡&$+%! $# 槡槡!# $+%!%槡 #%&$% 槡!#$%槡 #%&!显然有0) 所以原式$0$槡 #% ! ! $ ! &化简!&! %槡槡% !%&! #槡槡% !解析! !利用 %&%&$&%&%& %&%& 来解!设0$&!

124、 %槡槡% !%&! #槡槡% ! 两边立方得0&$ %&,&槡 +,0即0&#$0# $ !将方程左端因式分解有%0#& %0!%0% &$ !因为0!%0% $%0%!&!%$)所以0#$0$ !所以原式$ !解析#&! %槡槡% ! $&+%槡% !% !% 槡槡! $&%!%槡 !&槡&$!%槡 !同理&! #槡槡% ! $!#槡 !所以原式$%!%槡 !&%!#槡 !&$ !评注!解析!看似简单 但对于三次根号下的拼凑是很难的 因此本题解析%是一般常用的解法! ! $ ! 化简!*%# &%+ 槡槡槡$ %*# &%+ 槡槡槡$!解析!由于# &!#+!$! ! # 不为完全平方数

125、故对上式中每一项独立化简很困难!注意到*%# &%+ 槡槡槡$与*# &%+ 槡槡槡$互为共轭根式!因此 我们可采取* 以退为进+ 的方法 即先平方 再开方!设3$*%# &%+ 槡槡槡$ %*# &%+ 槡槡槡$则3!$*%# &%+ 槡槡$%*# &%+ 槡槡$%! *!#%# &%+ 槡 $槡& +!第!章!代!数!式!3!$% +%! ! +# 槡槡+$% +%!%槡!$&!%!#!,槡!$,槡!$% +%!%槡!$#!&槡!$% +%!%槡!$#!&$% % 槡$%槡!&!%槡 !&!%!,槡!&,槡 !$%槡!&%槡 !&!即3$槡!&%槡 !所以*%# &% 槡槡槡+$ %*#

126、&% 槡槡槡+& $槡!&%槡 ! ! $ ! (化简!&%!&槡槡(&%&%#!&槡槡(&!解析!设3$&%!&槡槡(&%&%#!&槡槡(&则3&$%!&槡(&%#!&槡(&%&%!&槡%&(&!%#!&槡%&槡(&%&%!&槡%&(&%#!&槡%&(&槡!而%!&槡%&(&%#!&槡%&(&$#%! ( 所以3&$!#&%!&槡槡(&#&%#!&槡槡(&!即3&$!#3!3&%3#!$ ! !%3#%& %3!%3%!&$ !由于3!%3%!$无实数根 所以3$% !所以&%!&槡槡(&%&%#!&槡槡(&$% ! ! $ ! )设有正数&%$%+#!时&+$&+# %!求%&槡%&槡!%

127、&槡!%&槡&%$%&槡$ %&槡$ %的值!解析!因为%&槡+%&+%槡%$&+%槡%#&槡+&+% %#&+$&+%槡%#&槡+!所以! ! # % !根式及其运算 !原式$%!%&槡!#&槡%&%!%&槡&#&槡!&%$%!%&槡$ %#&槡$ &$%!%&槡$ %#&槡%&!而&%$%&$ %$% ! % !原式$%!%槡 % ! %#槡 %&$# ! ! $ ! ! *计算!%槡&%槡 &%槡#&% 槡&#%槡(#% 槡#(%$%!+%&!+%槡%!+%&!+%槡&%$%!*%&!*%槡%!*%&!*%槡&!解析!先将通项的分母有理化 并裂项 得!%!+%&!+%槡%!+%&!+%槡

128、&$%!+%&!+%槡%#%!+%&!+%槡&%!+%& %!+%&!#%!+%&!%!+%&$%!+%&!+%槡%#%!+%&!+%槡&!%!+%& %!+%&$%!+%槡%!+%#!+%槡&!+%&$%!%!+%槡%#%!+%槡%&所以 原式$%!%槡 %#%槡%&%!%槡 &#%槡%&#%$%!%!*%槡%#%!*%槡%&$%!%#%!*%槡%&$!*%&#!*%槡&!%!*%&! ! $ ! ! !求! # $%!%& %!%& %!%& %!+%& $%! # $%&%槡%的值!解析!设根号内的式子为, 注意到%$%!#%& 及平方差公式%&%& %&#&$&!#! 所以,$%!#%

129、& %!%& %!%& %!%& $%! # $%&%$%!#%& %!%& %!%& %!+%& $%! # $%&% !第!章!代!数!式!$%!#%& %!%& %!+%& %!% $%& $%! # $%&%$%! # $#%& %! # $%&%$! ! # $#%$! ! # $所以原式$! # $! 槡! # $!$ ! ! $ ! ! 计 算!%槡槡&,!%!%槡槡槡&,!%!%!%槡槡槡槡&,!#!%!%槡槡槡槡& !解析!原式$!%槡槡&,!%!%槡槡槡&,!#!%!%槡槡槡%&槡!$!%槡槡&,!%!%槡槡槡&,!#!%槡槡槡&$!%槡槡&,!#槡槡&$#槡&$% ! !

130、 $ ! ! #计算!-$%!%!槡!%!%&槡!%&!%槡!%$%! (!%! +槡!解析!考察-中一般项 有%*!%*%&槡!$%&*!#!*%*%&槡!$*%&*!#!,*%*,%*%*%&%槡!$*%*#%*%&%槡!$*%*#%*%$%*#%*%!所以-$ %#%&!% %!#%&% %&#%&%$% %! (#%!%& +$! (%#%! +$! (! (! + ! $ ! ! $%&求证!&!%!%&!%& %&槡!$&%#& %#! ! # % !根式及其运算 $!%!&计算!%! (!%! (! +槡!#%! +!解析!%&因为!&%#& %&%!$&!%!%&!%& %&!

131、%!&#&!& %#&%& %&($&!%!%&!%& %&!%!&%& %&#&!#&%& %&($&!%!%&!%& %&!上式两边开平方 得&!%!%&!%& %&槡!$&%#& %!%!&在%& 中令&$! ($% 则%! (!%! (! +槡!$ ! (%#! (! +$! (%! +所以%! (!%! (! +槡!#%! +$! ( ! ! $ ! ! %已知&$&槡 %&槡 !%&槡 % 求&%&!%&的值!解析!因为 %&槡 !#%&$!#% 即%&$&槡 !#% !所以&%&!%&$%&%&%&(!$%&槡 !# %&%&%&槡 !#%&%&槡 !#%&(!$%&槡 !#%&

132、 %&!槡!%&槡 !%&$!#%$% ! ! $ ! ! &已知0$槡 &#槡 !槡 &%槡 !2$槡 &%槡 !槡 &#槡 ! 求20!%02!的值!解析!因为0 2$%0%2$槡 &#槡%&!%槡 &%槡%&!$% 所以20!%02!$0&%2&0!2!$%0%2& %0!#0 2%2!&%0 2&!$%0%2& %0%2&!#&0(2%0 2&!$% % !#&$* ( ! ! $ ! ! 若0)2) 且0!%&02槡槡!%2!%&0!2槡槡$+ 求0!&% %!第!章!代!数!式!2!&的值!解析!设0!&$92!&$. 那么&02槡!$0&2!&$9!.&0!2槡$0!&2&$9

133、.!所以0!$9&2!$.&于是 原式即9&%9!槡.%.&%9 .槡!$+9 9%槡.%. 9%槡.$+%9%.&9%槡.$+ !%9%.&!$+9%.$+!&$ !即0!&%2!&$ ! ! $ ! ! (已知函数;%0&$%&0!%!0%槡%&0!#槡%&0!#!0%槡%求;%&%;%&%;%#&%$%;%!+#%&%$%;%* * *& 的值!解析!因为;%0&$%&0%槡%&!%&%0%& %0#%槡&%&0#槡%&!$&0%槡%#&0#槡%&0%槡%&#%&0#槡%&$%!%&0%槡%#&0#槡%& 所以;%&%;%&%;%#&%$%;%* * *&$%! %&槡 !#&槡 &%&

134、槡 #&槡 !&%&槡 $#&槡 &%$%&槡 % #&槡 * * +& ($%!%&槡 % #&槡 &$# ! ! $ ! ! )设% * * #0&$% * * $2&$% * * (&0 2 ) 且&% * * #0!% * * $2!% * * (槡!$&%槡 * * #%&%槡 * * $%&%槡 * * (求%0%2%的值! !解析!因0 2 ) 可设% * * #0&$% * * $2&$% * * (&$+) 则% * * #$+0&% * * $+2&% * * ($+&!代入已知式得&+0%+2%+槡$&+0槡&%&+2槡&%&+槡&两边立方 化简 得! ! # % !根式

135、及其运算 &!%0%2%$%0%2%&!因为0)2) 所以%0%2%$% ! ! $ ! *已知&) 当0$!& !%时 求&%槡0%&#槡0&%槡0#&#槡0的值!解析!当0$!& !%时&%槡0$&%!& !%槡%$&%&!%槡%$%&槡&!%槡%!同样% 但请注意算术根1&#槡0$/#% /槡&!%槡%!将!代入原式有原式$%&槡&!%槡%/#% /槡&!%槡%&槡&!%槡%#/#% /槡&!%槡%$%&% /#% /%&# /#% /$!当#%时#%当$%时+,-! ! $ ! !化简&%&#槡%#槡&#&#槡%槡槡&%&%槡&%&#槡%&#槡&#&#槡槡%!解析!原式$#&%槡&#&

136、#槡%&#槡&%&#槡槡%&%槡&%&#槡%&#槡&#&#槡槡%$#&%槡&#&#槡%&槡$%&%槡&%&#槡%&槡$#%槡&#&#槡%&!%槡&%&#槡%&!$&%&#%槡&! !第!章!代!数!式! ! $ ! 化简2$0&,0#&槡0!#&!,%#&!0!%0!&槡!解析!2$0&,%0!#&!& %0!%&!槡&0!#&!,0!#&!0!%&槡!,/&/0/$0&,/&/0/,0!#&槡!,0!%&槡!,0!#&槡!%0!#&!&0!%&槡!$0&,/&/0/!若&) 则2$0/0/$%!当0)&时#% 当0$#&时.!若&$ 则2$#0/0/$#%!当0)#&时%当0$&时.! !

137、$ ! #化简-$0%!0#槡槡%0#!0#槡槡%0)%&!解析!因为01!0#槡%$%0#槡%&!1!0#槡%$%0#槡%1%&!-$%0#槡%&% /0#槡%#% /$!0#槡%!% 若0#!&!%$0$!.& ! $ ! $已知0$%!&槡%槡%&%&) ) &!计算E$! 0!#槡%0#0!#槡%!解析!由0$%!&槡%槡%& 得0$槡& %&%&!& !所以0!#槡%$& %&%&!&!#槡%$%&#&!槡& $/&#/!槡& !代入原式 得E$!,/&#/!槡& 槡& %&%&!& #/&#/!槡& $!/&#/%&%&# /&#/! ! # % !根式及其运算 (!$&#%&#&

138、%#&!%$&$+,-&评注!当&$时 其结果如下!E$#&%&#& !%&#&#!%&$+,-& ! $ ! %已知&%#槡!%#&槡!$% 求&!%!的值!解析!移项 两边平方 得&!%#!&$%#!%#&槡!%!%#&!& 化简 得!%#&槡!$%!#&!&% !两边再平方 得!%#&!&$%!#&!&!%!%!#&!&%整理得%&!%!&!#!%&!%!&%$即%&!%!#%&!$所以&!%!$% ! ! $ ! &化简!%&%&!%&!%&槡槡#!%!&2%!%& !2#槡槡#!解析!%& 原式$!%!&!%! %&!%&槡槡!$%&!%&%&%!%&!%&%& %&!#&%槡&%&

139、!#&%&槡!$%&!%&%槡%&!#&%槡%&!槡!$槡 !%&!%&%槡%&!#&%槡%&!%!& 原式$!2%$ !2#槡#槡! )!第!章!代!数!式!$槡 !,!2%! % +2#槡槡 #$槡 !,%!2#&%! % +2#槡 #%槡*$槡 !%!2#槡#%&!评注!%!& 也可用换元法来化简!令!2#槡#$0 2#%&#! 则2$0!%#!原式$0!%#!%!%&槡0$0!%$0%*槡!$槡 !%0%& % 因为0#&$槡 !%!2#槡#%&! ! $ ! 化简!&%&%+&#%槡槡&%&#&%+&#%槡槡&!解析!用换元法!设0$&#%槡& 则&$&0!%&%+&$0!%& !所

140、以原式$&0!%0!%&槡0%&0!%#%0!%&槡0$&%&0%&0!%0槡&%&%#&0%&0!#0槡&$&%0&槡&%&%#0&槡&$%0&%#0&$! ! ! $ ! (若&$槡 !% 计算共有! 层! ! % ! ! .! ! % ! ! ! .! ! % ! ! ! .$%! .%+,-&的值!解析!先计算几层 看一看有无规律可循!因为&$槡 !% 所以%&$%槡 !%$槡 !#%! ! # % !根式及其运算 *!所以!%&$槡 !#%!$槡 !%$&所以%!%&$%&$槡 !#% !所以 不论多少层 原式$%&$槡 !#% ! ! $ ! )求根式!#!%!#!% 槡槡槡槡槡$

141、的值!解析!用构造方程的方法来解!设原式为0 利用根号的层数是无限的特点 有!#!%槡槡0$0两边平方得!#!%槡0$0!即!#0!$!%槡0!两边再平方得0#0!%$!%0所以0#0!#0%!$ !观察发现 当0$#%!时 方程成立!因此 方程左端必有因式%0%& %0#!& 将方程左端因式分解 有%0%& %0#!& %0!%0#%&$ !所以0$#%0$!0$#%1槡 #!又因为$0$! 所以0$#%0$!0$#%#槡 #!应舍去所以0$槡 #%!即原式$槡 #%! ! $ ! # *设槡 #%槡 #%的整数部分为0 小数部分为2 试求0!%!0 2%2!的值!解析!因为( +!第!章!

142、代!数!式!槡 #%槡 #%$%槡 #%&!$&%槡 #!$!%槡 #%!而$槡 #%!$% 所以0$!2$槡 #%! 所以0!%!0 2%2!$%!槡 #%!%槡 #%&!$%!%槡 #%&%!%&#槡 #&$# ! 学 学 奥奥 数 数 这里总有一本适合你 这里总有一本适合你 华东师范大学出版社 学奥数，这里总有一本适合你学奥数，这里总有一本适合你2000 年华东师范大学出版社出版了奥数教程丛书，首次在书名中使用“奥数”一词。 奥数教程由国家集训队教练组执笔联合编写，获得第十届全国教育图书展优秀畅销图书奖，深受读者喜爱，被奉为经典奥数蓝皮书。自 奥数教程 出版以来， 华东师范大学出版社聚集

143、国内最顶尖的作者团队，陆续为不同层次、不同需求的读者打造了近 200 种奥数图书, 形成多品种、多层次、全系列的格局， “奥数”图书累计销量超 1000 万册，由此奠定了奥数品牌出版社的地位。“奥数”入门篇从课本到奥数 （19 年级）、B 版“奥数”智优篇优等生数学 （19 年级）“奥数”辅导篇奥数教程 、 学习手册 、 能力测试 （一至高三年级）“奥数”小学顶级篇高思学校竞赛数学课本 、 高思学校竞赛数学导引“奥数”专题篇数学奥林匹克小丛书 （小学、初中、高中共 30 种）“奥数”题库篇多功能题典 数学竞赛 （小学、初中、高中共 3 种）“奥数”高中预赛篇高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） “奥数”联赛冲刺篇高（初）中数学联赛考前辅导“奥数”IMO 终极篇走向 IMO：数学奥林匹克试题集锦“奥数”域外篇日本小学数学奥林匹克 、 全俄中学生数学奥林匹克我们的奥数资源库里有大量丰富资料，你可以发邮件来索取，邮箱：。邮件中请说明你的姓名、身份（学生或老师） 、年级，并描述你想要的资料，我们会根据你的需要，为你发来合适的资料。如果你愿意，也可以请编辑老师为你推荐图书。