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1、经典模型系列手册经典模型系列手册 1 模型一：手拉手模型全等 等边三角形 E O D C C D O E O AB E AB C D O E 1 ABAB 条件：OAB,OCD均为等边三角形 结论：OACOBD;AEB60 OE平分AED（易忘） 等腰RT 条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形 结论：OACOBD;90AEB OE平分AED（易忘） O AB E C D D C E BA O AB E O 导角核心图形 经典模型系列手册经典模型系列手册 2 经典模型系列手册 经典模型系列手册 3 任意等腰三角形 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： O C D E O C D OAOB，
2、OC OD 且AOBCOD 结论：OACOBD;AEBAOB AOBCOD OE平分AED（易忘） OEA OED OAB OBA A B AB 条件：OAB,OCD均为等腰三角形 经典模型系列手册 经典模型系列手册 3 手拉手模型全等总结 A B AB 条件： OAB, OCD均为等腰三角 形 O C D E O C D A BA B 条件：两个等腰等腰三角形； 顶角相等； 顶角共点。 结论： 顶角的两条边分别相连组成的新三 角形全等(三角形OAC三角形OBD）。 构成8字相似三角形(图中有4对8字形 相似）。 OEA OED OAB OBA 结论：OACOBD;AEBAOB OE平分AED
3、（易忘） 模型二：手拉手模型相似 非常重要的结论，必须会熟练证明 O AB C D O A B C D 经典模型系列手册经典模型系列手册 OCDOAB OAC OBD 且延长 AC 交 BD 与点 E 必有 EB AOB 1 4 条件：CDAB，将OCD旋转至右图位置 结论：右图 经典模型系列手册经典模型系列手册 5 手拉手相似（特殊情况） 还会隐藏tan BDODOB OCD ACOCOA 满足BDAC,若连结AD、BC,则必有 2222 ADBCABCD 1 2 ABCD SACBD（对角线互相垂直四边形） E O C AB D O C AB D 当AOB90时， 除OCDOABOACOB
4、D之外 模型三：对角互补模型 （全等型90） 条件：90AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC 辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN E D C BO A N M A OB C D E 经典模型系列手册经典模型系列手册 1 1 6 经典模型系列手册经典模型系列手册 7 条件：90AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC 辅助线之二：过点C作CFOC 证明ODCFEC F A O B C D E 当DCE 一边交 AO延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （
5、辅助线之一） CDCE不变 2OEODOC（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 M NE D C B O A 经典模型系列手册经典模型系列手册 1 8 经典模型系列手册 经典模型系列手册 9 当DCE 一边交 AO延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） CDCE不变 2OEODOC（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 F A O B C D E 细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结 论“CDCE”互换 条件：90AOBDCE CDCE 结论：OC平分AOB；
6、2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC E D C BO A 经典模型系列手册经典模型系列手册 7 10 经典模型系列手册 经典模型系列手册 11 （全等型120） 条件：2120AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；ODOEOC 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC 请模仿（全等形90）辅助线之一完成证明 O D A C E B 辅助线之二：在 OB 上取一点 F ， 使 OF=OC 证明 OCF 为等边三角形（重要） 结论：CDCE；ODOEOC 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC 必须熟练，自己独立完成证明 F B E C A D O 经典
7、模型系列手册经典模型系列手册 12 经典模型系列手册经典模型系列手册 13 当DCE 一边交 AO延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 O D A C E B F （全等型任意角） 条件：2AOB,1802DCE CDCE 结论：OC平分AOB； 2cosODOEOC 2 sincos ODCEOCDOCE SSSOC 难度较大，记得经常复习 OB E CD A 经典模型系列手册经典模型系列手册 14 经典模型系列手册经典模型系列手册 15 当DCE 一边交 AO延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论：
8、（辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 O B E C D A （对角互补模型-相似型） 如图，若将条件“OC平分AOB”去掉 条 件 ： 90AOBDCE不 变 ， C O E，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：tanCECD； (tan)cosODOEOC 2 1 tantan 2 OCDOCE SSOC O A D C EB M NB E C D A O 经典模型系列手册经典模型系列手册 16 经典模型系列手册经典模型系列手册 17 证明：过点C作CFOC，交于点 90DCEOCF DCOECF 180AOB
9、DCE 180CDOCEO CDOCEF CDOCEF tan EFCECF DOCDCO （关键步） F O A D C E B 结论得证 tanEFOD () cosOEEFOC 结论得证 2 ()tan CEF CDO SCF SCO 2 tan CEFCDO S OCECEFOCF SSS 且 2 1 tan 2 OCF SOC 结论得证 难度非常大，请仔细认真复习 经典模型系列手册经典模型系列手册 18 经典模型系列手册经典模型系列手册 19 对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 初始条件：角平分线与两边相等的区别 常见两种辅助线的
10、作法 注意下图中“OC平分AOB” CDECEDCOACOB相 等 是 如 何推导 E D C BO A 角含半角模型(90) 条件：正方形ABCD；45EAF 结论：EFDFBE CEF周长为正方形ABCD周长一半 也可以这样： 条件：正方形ABCD；EFDFBE 结论：45EAF 口诀：角含半角要旋转 F E D C B A G A B C D E F 经典模型系列手册经典模型系列手册 20 经典模型系列手册经典模型系列手册 21 角含半角模型(90) 条件：正方形ABCD；45EAF 结论：EFDFBE 辅助线： A B C D E F A B C D E FF E D C B A 角含
11、半角模型(90) 条件：等腰直角ABC；45DAE 结论： 222 BDCEDE 若DAE旋转到ABC外部时 结论： 222 BDCEDE仍然成立 ED C B A F A B C DE F ED C B A A B C DE 经典模型系列手册经典模型系列手册 22 经典模型系列手册经典模型系列手册 23 角含半角模型(90)变形 条件：45EAF; 结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点） 证明：连接（方法不唯一） 45DACEAF,DAHCAE 45ADHACE,ADHACE DAAC AHAE AHEADC H G A B C D E F H G A B C D E F 经典模型系列手
12、册 经典模型系列手册 3 半角模型总结 半角模型：角含半角；角两边相等：AB=AC。 条件：四边形对角和为180: 结论： EF=DFBE(半角在外+变-）； AE、AF分别平分BEF和DFE（半角在 外只有一条角平分线）; CFE周长=BC+DC（半角在外不成立） F E D C B A 条件：A为任意角的半角模型，相邻角 B=D=90,B和D为对角： 结论：A到EF的距离等于AB(半角在内在外 都成立）。 条件：半角45（等腰直角三角形或正方 形）： 结论：BD+CE=DE(半角在内在外都 成立）。 A B C DE 倍长中线类模型 条件：矩形ABCD；BDBE DFEF 结论：AFCF
13、模型提取： 有平行线ADBE 平行线间线段有中点DFEF 可以构造 8 字全等ADFHEF H H BE F DA F E D CB A 经典模型系列手册经典模型系列手册 24 经典模型系列手册经典模型系列手册 25 倍长中线类模型 条件：平行四边形；ABCD2BCAB； 结论：3EMDMEA 辅助线:有平行AB CD，有中点 延长EM， 构造AMEDMF， 连接CM构 造等腰EMC,MCF 通过构造 8 字全等线段数量及位置关系， 角的大 小转化 F A B C D E MM E D CB A AM DM ； CE AB 相似三角形 360 度旋转模型（倍长中线法） 条件：ADE、ABC均为等腰直角 EFCF 结论：DFBF；DFBF 辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连 接CG、BG、证明BDG为等腰直角 突破点：ABDCBG 难点：证明BADBCG G AB C D E FF E D C BA 经典模型系列手册经典模型系列手册 26 经典模型系列手册经典模型系列手册 27 相似三角形 360 度旋转模型（补全法） 条件：ADE、ABC均为等腰直角 EFCF 结论：DFBF；DFBF 辅助线：构造等腰直角AEG、AHC 辅
