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1、第 1 页 共 14 页 2019 年考研数学年考研数学一一真题及答案解析真题及答案解析 一一、选择题选择题：18 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 32 分分，下列每小题给出的四个选项中下列每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 1. 当0x时，若xxtan是与 k x是同阶无穷小，则k A. 1B.2C.3D.4 【分析与解答】答案：C 3 000 1 tantan 3 limlimlim3 kkk nnn x xxxx cck xxx 泰勒 2.设函数 ,0 ( )
2、ln ,0 x x x f x xx x ，则0x 是( )f x的 A.可导点，极值点B.不可导点，极值点C.可导点，非极值点D.不可导点， 非极值点 【分析与解答】答案：B 00 lim( )lim( )0(0) xx f xf xf 则函数在 0 点连续， 2 00 00 0 (0)limlim0 ln0 (0)limlim ln xx xx x xx f xx xx fx x 函数在 0 定不可导 2 ,0 ( ) ln1,0 x x fx xx 导函数在 0 点左邻域大于零， 在 0 点右邻域小于 0， 故函数左邻域单 调增，右邻域单调减，为极大值点。 3.设 n u是单调增加的有界
3、数列，则下列级数中收敛的是 A. 1 n n u n B. 1 1 ( 1)n n n u C. 1 1 (1) n n n u u D. 22 1 1 () nn n uu 【分析与解答】答案：D 2222222222 12132431 1 2222 1111 ()()()()() lim()lim nnnn n nn nn uuuuuuuuuu uuuu 由于 n u单调有界，极限必存在，则 2 1 lim n n u 存在，故原级数收敛，且收敛于 22 11 lim n n uu （A）的反例，取 1 ln n u n ， 1 ln n u nnn ， 这里用到 2 1 1 (ln )1
4、 p n p p nnp 收敛 广义级数 发散 第 2 页 共 14 页 （B）的反例，取 1 n u n （C）的反例，取 1 n u n ， 1 1 1 n n u un ，对应的级数发散 4. 设函数 2 ( , ) x Q x y y ，如果对上半平面(0)y 内的任意有向光滑封闭曲线 C 都有 ( , )d( , )d0 C P x yx Q x yy ，那么函数( , )P x y可取为（） A. 2 3 x y y B. 2 3 1x yy C. 11 xy D. 1 x y 【分析与解答】答案：D 为了满足条件， 一需要函数在积分区域内没有暇点， 此题主要指的是没有使得被积函数
5、分母 为 0 的点，注意到上半平面(0)y 时，x可以取到 0，即y轴正半轴上的点，这些点会使 得（C）选项无意义，为（C）选项的暇点，排除（C）选项。 另外为了使闭环积分为 0，需要满足 ( , )( , )Q x yP x y xy ，容易算出 2 ( , )1Q x y xy ，只有 （D）选项满足 2 ( , )1P x y yy 5.设A是 3 阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵， 若EAA2 2 ,且4A,则二次型AxxT 规范形为 A. 2 3 2 2 2 1 yyyB. 2 3 2 2 2 1 yyyC. 2 3 2 2 2 1 yyyD. 2 3 2 2 2 1 yyy 【分析与
6、解答】答案：C 22 221, 2AAE，说明A的特征值只能在1, 2中选择（这一点很 重要，用化零多项式得到的特征值包含A的所有特征值，有可能会多了假根，但绝对不会 漏根） ， 再由于所有特征值之积等于行列式， 由于4A， 可知矩阵A的特征值必为1, 2, 2， 特征值两负一正，根据惯性定理，选（C） 。需要注意的是，正负号的排列顺序无所谓，比 如 2 3 2 2 2 1 yyy， 2 3 2 2 2 1 yyy也都是正确答案，正负号的顺序跟对角化时可逆变换 矩阵P中特征向量的排列顺序有关，排列顺序不同，答案形式不同。 6. 如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程 123
7、 (1,2,3) iiii a xa ya zd i 组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵分别记为,A A，则的秩都为 2， 第 3 页 共 14 页 则这三张平面可能的位置关系为（）. A.( )2, ( )3rrAAB.( )2, ( )2rrAA C.( )1, ( )2rrAAD.( )1, ( )1rrAA 【分析与解答】答案：A 首先需要知道的是每个方程代表一个平面，方程未知量的系数 123 (,) iii aaa构成该平面 的法向量， 可见当两个平面平行时， 法向量平行， 两个法向量线性相关， 当两个平面相交 （不 平行）时，法向量不平行，两个法向量线性无关。 看图，需要注意此时
8、三个平面没有公共交点（虽然有三条交线，但这三条交线不是整个 方程组的解，而是两两组合后，两个方程联合起来有解，原方程组的解必须满足三个方程， 即三个平面要同时相交） ，即原方程组无界，根据解的判定，必有( )( )rrAA，另外由于 方程组两两不平行，故法向量两两无关，则( )2rA，再由于A只有 3 行，( )3rA，容 易验证选（A） 。提示：该图形说明矩阵A的 3 个行向量之间，两两无关，但整体相关。 7. 设,A B为随机事件，则( )( )P AP B的充分必要条件是 A.()( )( )P ABP AP BB.()( )( )P ABP AP B C.()()P ABP BAD.(
9、)()P ABP AB 【分析与解答】答案：C ()()( ), ()()( ) ()()()( )()( )( )( ) P ABP ABP B P BAP ABP A P ABP BAP ABP BP ABP AP BP A 8. 设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布 2 ( ,)N ，则1P XY A.与无关，而与 2 有关B.与有关，而与 2 无关 C.与， 2 都有关D.与， 2 都无关 【分析与解答】答案：A X和Y动力同分布，XY消除了均值影响，取值仅有方差有关。 2 (0,2)XYN， 1 01 011 111()() 22222 XY P XYPXYP 二、填空题：二、
10、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 9.设函数( )f u可导，(sinsin )zfyxxy，则 11 coscos zz xxyy _ 第 4 页 共 14 页 【分析与解答】答案： coscos yx xy ( )( cos ),( )(cos ) 1111 ( )( cos )( )(cos ) coscoscoscos ( )( ) coscoscoscos zz f uxyf uyx xy zz f uxyf uyx xxyyxy yxyx f uf u xyxy 10. 微分方程
11、 2 220yyy 满足条件(0)1y的特解y _ 【分析与解答】答案：3e2 x y 2 2 2 2 2 222 22 220 22 2 ln(2) 2 (0)1ln3 ln(2)ln3ln(2)lneln323e 3e2 xx x dyyy yyydydx dxyy y dydxCyxC y yC yxyy y 11. 幂级数 1 ( 1) (2 )! n n n x n 在(0,)内的和函数( )s x _ 【分析与解答】答案：cosx 2 11 ( 1)( 1) ()cos (2 )!(2 )! nn nn nn xxx nn 12. 设为曲面 222 44(0)xyzz的上侧，则 2
12、2 44xz dxdy 【分析与解答】答案： 32 3 注意看积分微元是dxdy，而不是dS，说明这是一个第二类曲线积分，而不是第一类 曲 线 积 分 ， 直 接 带 入 积 分 即 可 ， 不 需 要 将 曲 面 往 坐 标 面 投 影 ， 即 ， 不 需 要 有 22 1 xy dSzz dxdy这种操作。 将曲面带入被积函数 2222 222 44 44 xyxy Ixz dxdyy dxdyydxdy 第 5 页 共 14 页 积分区域关于x轴对称，被积函数y是关于y的偶函数，利用偶倍奇零性质 2222 2 00 44(0) 32 22sin 3 xyxyy Iydxdyydxdydr
13、rdr 13. 设 123 (,)A 为 3 阶矩阵，若 12 , 线性无关，且 312 2 ，则线性方程组 Ax0的通解为_ 【分析与解答】答案： T ( 1,2, 1) ,kkR 12 , 线性无关，则( )2rA， 312 2 ，则( )3rA，综上( )2rA 则Ax0的基础解析中含有 1 个向量，找到一个解向量即可，根据 312 2 可知其 系数 T ( 1,2, 1)为解，则通解可表示为 T ( 1,2, 1) ,kkR.当然，其它的答案也可是正确 答案，例如 T (1, 2,1) ,kkR或者 T (3, 6,3) ,kkR等等。 14. 设随机变量X的概率密度为 ,02 ( )2 0, x x f x 其它 ，( )F x为X的分布函数，EX为X 的数学期望，则()1P F XEX_ 【分析与解答】答案： 2 3 22 00 4 ( ) 23 x EXxf x dxxdx ，容易求得 2 0,0 ( ),02 4 1,2 x x F xx x ，则 412 3 ()1()1() 333 2 32 312 11()1 3333 P F XEXP F XP F XP X P XF 三三、解答题解答题：1523 小题小题，共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出
