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1、3.2简单的三角恒等变换考试标准课标要点学考要求高考要求1.三角恒等变换bb2.三角恒等变换的应用bb知识导图学法指导三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式、半角公式等；二是变换角的形式，可以使用和(差)角公式、倍角公式、半角公式、积化和差、和差化积等.1.半角公式 巧记“半角公式”无理半角常戴帽，象限确定帽前号；数1余弦加减连，角小值大用加号“角小值大用加号”即y1cos(是锐角)是减函数，角小值大，因此用“”号，而y1cos为增函数，角大值大，因此用“ ”号2辅助角公式asinxbcosxsin(
2、x)，其中tan.(1)辅助角公式形式上是asinbcos(ab0)的三角函数式，通过三角恒等变换可写成sin(a )的形式，其中tan，此公式称为辅助角公式其中可通过tan以及点(a，b)所在的象限来确定(2)辅助角公式的特殊情况sincossin；sincos2sin；cossin2sin.小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)若是第一象限角，则tan .()(3)对于任意R，sinsin 都不成立()答案：(1)(2)(3)2若cos ，且(0，)，则cos 的值为()A.BC D解析：因为(0，)，所以.所以cos .答案：A3下列各
3、式中，值为的是()Asin 15cos 15 Bcos2sin2C. D.解析：选项A中，原式sin 30；选项B中，原式cos；选项C中，原式tan 60；选项D中，原式cos 30.故选B.答案：B4化简cos xsin x等于()A2cos B2cosC2cos D2cos解析：cos xsin x222cos.答案：B类型一三角函数式的化简求值例1(1)化简_；(2)的值为_【解析】(1)1.(2)原式4.【答案】(1)1(2)4(1)切化弦，利用倍角公式，诱导公式化简求值(2)80 90 10 ，通分，利用辅助角化简求值方法归纳三角函数式化简原则和方法(1)三角函数式化简的一般原则是
4、：能求值的应求出值；三角函数种数尽量少；项数尽量少；分母中尽量不含三角函数；次数尽量低(2)三角函数式化简的常用方法：降幂化倍角；升幂角减半(3)利用辅助角公式asin xbcos xsin(x)，其中tan 将形如asin xbcos x(a，b不同时为零)的三角函数式写成一个角的某个函数值跟踪训练1(1)求值：sin_；cos_. (2)2019正定检测2的化简结果是_解析：(1)sin；cos.(2)原式22|cos 4|2|sin 4|2cos 42sin 4.答案：(1)(2)2cos 42sin 4由sin0，所以 .由cos0，则cos.半角是相对的，4是8的半角，利用公式化简类
5、型二三角恒等式的证明例2若，证明：cos；【证明】左边因为，所以0cos.所以左边cos右边所以原等式成立.等式左边复杂，应从左边入手，利用公式化简，同时注意的范围方法归纳三角恒等式证明的思路通过观察分析等式两端的结构，从两端角的差异、三角函数名称及结构的差异入手，寻求证明途径，左右归一；或消除等式两端的差异，达到形式上的统一跟踪训练2求证：sin 2.证明：方法一左边cos sincossin cos sin 2右边所以原式成立方法二左边cos2cos2tan cos sin sin 2右边所以原式成立左边复杂，从左边入手化简，先切化弦再利用倍角、半角公式化简类型三三角恒等变换与三角函数的综
6、合例3设函数f(x)cossin2x.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若0，f1，f0，求cos 的值【解析】(1)f(x)cossin2xcos 2xcossin 2xsinsin 2x.当2k2x2k(kZ)，即x(kZ)时，函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)由f1，f0，得cos ，sin()，0，sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .(1) 利用两角和的余弦公式及降幂公式将f(x)展开合并利用正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递减区间(2) f（-）1，f（）0求出cos，sin()结合角的范围求sin
7、，cos()的值利用两角差的余弦公式求cos的值方法归纳函数的解析式的次数可以降低，项数可以减少时，要先化简解析式成yAsin(x)B的形式再研究其图象及性质跟踪训练3已知函数f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x，xR，求：(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域解析：(1)f(x)sin 2x2sin 2xcos 2x2sin2，所以最小正周期T，因为2k2x2k，kZ时，f(x)为单调递增函数，所以f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由(1)知f(x)22sin，由于x，所以2x，所以sin，所以f(x)1,4，所以f(x)在区间
8、上的值域为1,4利用二倍角公式，降幂公式化简函数f(x)Asin(x)B的形式，再利用性质求解3.2基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知cos ，则sin等于()A B.C. D解析：因为，所以，所以sin.答案：B2若sin 2，且，则cos sin 的值为()A. B.C D解析：因为，所以cos sin ，(cos sin )21sin 2，所以cos sin .答案：C3设acos 6sin 6，b2sin 13cos 13，c，则有()Acba BabcCacb Dbca解析：由已知可得asin 24，bsin 26，csin 25，所以ac0，则 |
9、cos |sin |cos (sin )cos sin .答案：B5已知2sin 1cos ，则tan()A. B.或不存在C2 D2或不存在解析：由2sin 1cos ，即4sincos2cos2，当cos0时，则tan不存在，当cos0时，则tan.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6若cos 22a，则sin 11_，cos 11_.解析：cos 222cos211112sin211，所以cos 11.sin 11.答案： 7已知cos ，且180270，则tan_.解析：因为180270，所以90135，所以tan0，所以tan2.答案：28若，cos，sin，则cos()的值
10、等于_解析：，cos，sin，.2，2.(2)(2)0或(0舍去)cos().答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9化简：.解析：方法一原式(复角化单角，进一步切化弦)1(使用平方差公式)方法二原式(利用与的互余关系)(逆用二倍角的正弦公式)1.10求证：2cos().证明：sin(2)2cos()sin sin()2cos()sin sin()cos cos()sin 2cos()sin sin()cos cos()sin sin()sin ，两边同除以sin 得2cos().能力提升(20分钟，40分)11已知sin cos ，则2cos21()A. B.C D解析：sin cos
11、，平方可得1sin 2，可得sin 2.2cos21cossin 2.答案：C12已知sin 2，02，则_.解析：.因为sin 2，02，所以cos 2，所以tan ，所以，即.答案：13化简：(1)；(2)(0)解析：(1)原式tan 2.(2)原式.0，00，原式cos .14已知函数f(x)sin2xsin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值解析：(1)f(x)cos 2xsin 2xsin.所以f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)知f(x)sin.由题意知xm，所以2x2m.要使得f(x)在上的最大值为，即sin在上的最大值为1.所以2m，即m.所以m的最小值为.- 14 -
