材料力学第6章

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1、,返回主目录,材料力学,清华大学 谢惠民,2019年10月20日,第六章, 应力状态的概念及其描述 平面应力状态的坐标变换 应力圆 主应力、主方向、最大切应力 三向应力状态特例分析 广义胡克定律，应变比能 重要应用实例 结论与讨论,强调第五章的重点内容,第6章 弹性杆件位移分析,WHY? 弹性杆件位移,避免过度弹性变形发生, 需要了解 位移分布，为刚度设计奠定基础,B,BC处为轴承支座,A 端为齿轮, 齿轮重量可 看作外力，大小Fp,刚度设计 目的：就是根据零件和构件的不同工艺 要求，将最大的位移限制在一定范围内,位移分析,弹性体(弹力)：受力变形后,一点位置 的改变. 弹性杆件(材力)：横截

2、面的位移,弹性体位移与弹性杆件的位移区别,分析下列弹性杆件有哪些位移？ 拉压杆 圆截面扭转杆 弯曲梁,第10章 弹性杆件位移分析, 基本概念(微段变形和整体变形) 确定梁位移的积分方法 奇异函数求解梁位移的应用 工程中的叠加方法 简单的超静定问题 结论与讨论, 基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,基本概念, 微段变形（拉压,扭转,弯曲） 整体变形（拉压,扭转,弯曲）,第10章 弹性杆件位移分析,为什么要研究微段的变形?,因为杆件的内力一般不是均匀的，选择 微段使问题简化； 是研究整体变形的基础, 微段变形：拉压杆,dx+dux,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,微元两截面的相对伸长,EA

3、为拉压刚度,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析, 微段变形-扭转杆,d 两截面相对扭转角,微元两端面绕轴线发生相对转动,GIp为扭转刚度,基本概念, 微段变形:弯曲梁微元,第10章 弹性杆件位移分析,微元两端面绕中性层相对转角, 微段变形,受力形式不同,表达内容不同, 但表达式有一定的相似和统一性, 整体变形,-微段变形累加的结果,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,拉压杆 杆长为l,有限长杆子两端部相对变形,x,基本概念, 整体变形,-微段变形累加的结果,第10章 弹性杆件位移分析,扭转杆 杆长为l,有限长圆轴两端部相对扭转角,x, 整体变形,-弯曲变形,梁的轴线变成 光滑连续曲线,基本

4、概念,第10章 弹性杆件位移分析,弯曲梁变形基本的特征:,弹性范围加载,弯曲梁任一截面的变形后位置在哪? 如何描述?哪些参量可以描述?如何确定?,研究目标:,用简图表示梁的变形 以左端点为原点,建立坐标系(W向下为正),有哪些位移?,分析弯曲梁任一截面的位移,FP,C, 整体变形,挠度 w：轴线上任一点有 沿铅垂方向位移(截面形心).,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,a,O,横截面哪些线位移?,各点挠度w(x),FP,有否其它线位移?,轴线上各点沿水平方向位移? (x轴方向),小变形下，水平方向位移 u,远小于铅垂方向位移w. 通常忽略。,横截面转角,横截面有否其它位移?, 整体变形,转

5、角位移 ：变形后横截面 相对于变形前位置绕中性轴 转角.,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,P,O,转角位移 与挠度w是否有关系?, 整体变形,转角 ：截面绕中性轴转角 定义角 1:挠曲线切线与x轴夹角.,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,a,P,O,梁弯曲变形后任一截面的位移： 可以用w,dw/dx描述,需要确定挠度和转角的函数表达式,问题:仅仅已知梁变形是否可确定 梁位移？,讨论:位移与约束的关系,三种情况梁:,AB段弯矩相同，AB段长度相同，EI相同,没有约束无法确定绝对位移,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析, 约束对位移的影响,连续光滑曲线；铰支座对位移的限制,基本概念,第

6、10章 弹性杆件位移分析,x,w,AB段位移为正:W0,AB段弯矩为,M,C,A,B,D, 约束对位移的影响,连续光滑曲线；固定端对位移的限制,基本概念,第10章 弹性杆件位移分析,x,w,AB段位移为负:W0,AB段弯矩为,M,C,A,B,归纳一下三种情况: 弯矩相同,变形相同,但位移不相同(?).,约束条件,结论：梁的挠度不仅与梁变形有关而且 与约束有关.即使变形相同,不同约束 导致的位移是不同.,约束对位移起关键作用。,w,的定量表达? 他们与外载荷是什么关系?,已分析:梁弯曲截面位移需要用挠度w和转角描述,确定梁位移的积分方法,确定梁位移的积分方法,弯曲变形公式,数学公式,第10章 弹

7、性杆件位移分析,研究弯曲梁曲率半径表达式:,确定梁位移的积分方法,小挠度情形下,此即弹性挠曲线的小挠度微分方程,第10章 弹性杆件位移分析,正负号如何确定?,确定梁位移的积分方法,第10章 弹性杆件位移分析,应用积分法,积分常数的确定：根据约束条件. 约束条件：指约束对于挠度和转角的限制. 在固定端，约束条件为挠度和转角都等于 零，w=0,=0. 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为 w=0。,积分法例题1,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。,1 确定梁约束力 2 分段建立梁的弯矩方程,AB段,BC段,建立x-w坐标系, AB和BC两段的

8、弯矩方程分别为,3将弯矩表达式代入小挠度微分方程,分别积分后,在支座A、C两处挠度应为零，,x0， w10; xl， w20,边界条件,四个积分常数,仅有两个约束条件? 还需补充条件.,梁弯曲后轴线一定是连续光滑曲线，所以在集中载荷左侧和右侧的挠度和转角必须分别相等:,xl/4， w1w2 ; 1=2,连续条件,D1D2 =0,得到4个积分常数,AB段,BC段,加力点B处的挠度(x=l/4)和支承处A(x=0)和C(x=l)的转角分别为,确定梁位移的积分方法,第10章 弹性杆件位移分析,由于有集中载荷,弯矩方程需要分两段,得到4个 积分常数,如有n个载荷，需要确定多少个积分常数?,思考:,是否

9、有更简单的方法？,奇异函数法(1919,W H Macauley),确定梁位移的奇异方法,第10章 弹性杆件位移分析, 奇异函数法在求解梁位移中的应用,奇异函数的应用,奇异函数的定义 奇异函数图形 奇异函数微分和积分 奇异函数法求解梁位移中的应用,第10章 弹性杆件位移分析, n阶奇异函数定义（Singular Function）,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,幂函数,奇异函数图形, 奇异函数图形,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,0阶奇异函数,奇异函数的应用, 奇异函数图形,第10章 弹性杆件位移分析,1阶奇异函数,奇异函数的应用, 奇异函数图形,第10章 弹性杆件位

10、移分析,2阶奇异函数, 奇异函数的微分和积分,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析, 奇异函数的积分,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,弯曲梁弯矩方程如何用奇异函数表示,奇异函数的应用,M1,M2,第10章 弹性杆件位移分析,m(1im)个集中力偶,n(1 j n)个集中力,弯矩方程如何用奇异函数表示?,Mm,i为集中力偶的下标,j为集中力的下标,总体思路:,每个力偶单独作用的结果,每个集中力单独作用的结果,各个力偶和集中力作用的结果叠加,-弯矩用奇异函数表示,单个力偶作用的情形,奇异函数的应用, 弯矩方程的奇异函数表示,第10章 弹性杆件位移分析,第i个力偶Mi 作用于x=a

11、i处,A,S,考虑xai, xai内力弯矩,x坐标,正方向从左指向右,仅考虑左段的平衡,单个集中力作用的情形,j,奇异函数的应用, 弯矩方程的奇异函数表示,第10章 弹性杆件位移分析,第j个集中力FPj 作用于x=bj处,A,S,考虑x bj, xbj内力弯矩,x坐标,正方向从左指向右,m(1im)个力偶,n(1 j n)个集中力共同 作用, 弯矩方程如何用奇异函数表示?,若杆子上有, 弯矩方程的奇异函数表示,一般情形: m个力偶和n个集中力共同作用,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,叠加:各载荷单独作用下引起的奇异函数表示 的弯矩进行代数值相加,例题2,奇异函数的应用,用奇异函数确

12、定加力点的挠度和支承处的转角,已知：FP、EI、l,第10章 弹性杆件位移分析,关键:弯矩方程用奇异函数表示 首先建立坐标系 求支反力 标出梁的受力 列弯矩方程,（1）弯矩方程（只需考虑左端约束力3FP/4 和载荷FP),奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,上式可简化,可简化为,（2）挠度微分方程,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,（4）利用约束条件确定积分常数,奇异函数的应用,（3）微分方程的积分,第10章 弹性杆件位移分析,例题2,（5）挠度与转角方程,奇异函数的应用,第10章 弹性杆件位移分析,奇异函数的应用,（5）挠度与转角方程,第10章 弹性杆件位移分析,奇异函数法

13、弯矩无需分段，只有两个 积分常数 隆重推荐的方法,归纳:, 工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,WHY叠加法,针对受复杂载荷梁的位移计算, 不必 用积分法或奇异函数法计算; 充分利用已知结果进行叠加,可利用的资源包括挠度表等(1版152-154页,2版237-239页),目的: 简化计算,工程中的叠加方法, 叠加法前提 第一类叠加法 第二类叠加法 第三类叠加法,第10章 弹性杆件位移分析, 叠加法前提, 弹性加载(力与位移之间的线性关系) 小变形,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析, 第一类叠加法 梁在多个载荷作用的情形,已知：q、l、EI,求：wC ,B,工程中的叠加方法

14、,例题2,第10章 弹性杆件位移分析,分解为几种简单载荷作用下的情况(挠度表),工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,梁简单载荷作用下的挠度和转角可通过查表(1版152页,2版237-238)得到,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,通过查表,强调: 挠度和转角代数值相加各项有正负号, 进行计算时注意画出挠曲线的大致形状.,W的正负: 挠曲线上点在水平轴 的上下 的正负: 挠曲线切线斜率, 第一类叠加法: 归纳： 当梁上有几种不同载荷作用时如何确定梁的挠度 和转角? 可首先考虑各个载荷单独作用的情形,由挠度 表(书152页)查得各个载荷单独作用下的挠度 和转角,再将结果进行迭

15、加(代数值相加),可得到 所有载荷共同作用的总结果。,怎样用叠加法确定C和wC,工程中的叠加方法, 第一类叠加法,例 题 3,第10章 弹性杆件位移分析,工程中的叠加方法,例 题 3,第10章 弹性杆件位移分析,注意勾画梁挠曲线的大致形状,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,第二类叠加法(逐段钢化) 可应用于简单刚架结构的位移计算,用叠加法求 AB梁上E处的 挠度 wE,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,工程中的叠加方法,wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2,第10章 弹性杆件位移分析,wB= wB1+ wB2+ wB3,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,wE = wE 1+ wE 2= wE 1+ wB/ 2,wB= wB1+ wB2+ wB3,将WB代入WE的表达式,可得最终结果,逐段刚化法解决刚架位移计算十分有效。,第三类叠加法斜弯曲梁的自由端位移,工程中的叠加方法,第10章 弹性杆件位移分析,c,进行矢量合成,W的方向如何确定?,工程中的叠加方法, 第三类叠加法斜弯曲梁的位移,第10章 弹性杆件位移分析,:合成位移矢量w与 y轴的夹角,