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1、第三讲 方程一、方程的历史发展及其科学价值方程发展简史公元前1700年时期古埃及数学著作兰德纸草书记载：一个量，加上它的，等于19，求这个量。另一部古埃及数学著作柏林纸草书6619上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的”。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题：“两数互为倒数，二者之差是7，求这两个数”。欧几里得几何原本中则有很多问题还要用到解二次方程。中国古代数学著作九章算术中有“方程”章，包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中
2、、下禾实一秉各几何？”九章算术没有表示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一名称的来源。希腊数学家丢番图算术中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在阿耶波多历数书中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的婆罗摩笈多修正体系一书中，也给出了一般二次方程的求根公式。花拉子米的代数学一开头就指出：下列的问题，都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程，分六章来叙述。13世纪的中国，在求高次方程数值解，以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年，秦九昭给出了一般高次方程的数
3、值解法。李冶创立的“天元术”（1248年）和朱世杰使用的“四元术”（1303年）能够求解一大类的高次联立方程。16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年，费罗用代数方法求解三次方程。1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如的三次方程代数解法。1545年，卡尔丹在大衍术中给出了三次方程和四次方程的解法。三次方程的解法，实质是考虑恒等式，若选取，使得，不难解出，于是得到就是所求的，后人称之为卡尔丹公式。人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试，但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。方程在
4、中学数学中的地位和作用高中阶段对方程学习有较高的要求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面：函数与方程，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线与方程，二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。方程的科学价值自学教材中学代数研究P6263。二、方程的定义方程的几种定义目前中学数学教科书中通用的方程定义是：含有未知数的等式。但是，形如之类的等式难以界定。给出一个可以取代的定义：方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用
5、已知数和未知数之间的关系；方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。在高等数学中方程的定义：形如的等式叫做方程，其中是在它们定义域的交集内研究的两个解析式，且至少有一个不是常函数。方程的分类三、一元方程的同解性定义1 如果方程的任何一个解都是方程的解，并且方程的任何一个解也都是方程的解，那么方程和称为同解方程。两个无解方程认为是同解方程。定理1 如果函数对于方程的定义域中的数都有意义，那么方程与方程同解。证设，且有，从而有，即方程的每一个解都是方程的解。如果，由，可得，即方程的每一个解也都是方程的解这两个方程是同解方程。定理2 如果函数对于方程的定义域中的数都有意义，并且不等于零，那么方程与方
6、程同解。定理3 如果，那么方程的解集等于下列各个方程：的解集的并集，其中每一个解都属于这个方程的定义域的交集。定理4 如果，方程与方程的定义域都是数集，那么方程与方程同解。四、几种常见方程的变形在解方程时，除了利用同解变形外，有时还要作以下几种变形：方程是方程的结果；正整数是对函数施行乘方运算的指数。可能产生增根，如方程是方程的结果，不小于2的整数是对函数施行开方运算的根指数（为偶数时，）如果不等于0，那么方程是方程的结果。如果对于定义域中的数，且，那么方程是方程的结果。方程是方程的结果。方程是方程的结果。五、解方程的常用方法换元法例1 解方程解令，则。原方程变形为即 解之得。所以得到如下四个
7、解换回原来变量得到原方程的解对于形如或或的方程，可以引入三角代换使方程化为较简单的三角方程来求解。关键是使根号内的部分可以成为完全平方式，以便去掉根号。形如的方程，可令，将方程化为关于的整式方程。形如或的分式方程，可令，化为一个整式方程。课堂练习1 解方程解将方程表示为因为，将方程两端乘以，得设，则，从而有由此得或。由或解得引入参数法例2 已知实数满足，求的值。解法一令，则所以故 于是或若，则若，则，所以解法二令，则，所以，若，则若，则二项方程和三项方程的解法形如的方程叫做二项方程，解此方程就是求的次方根。定理 如果，那么二项方程的根是。例3 解方程解所以形如的方程叫做三项方程，特别当时，得方
8、程，称为双二次方程。例4 解方程解设，有解得，再分别解方程和，可得原方程的解为因式分解法例5 解方程解所以原方程同解与方程故方程的解为图像法例6 确定方程的实数解的个数。解由于原方程与方程同解，所以可设，在同一坐标系内做出两个函数的图像，由图像不难看出：两个函数的图像有两个交点，所以原方程有两个实根。待定系数法例7 解方程解用待定系数法，令，代入所给方程并化简得设，则取得，因此方程可写成解得换回原来变量，得方程组的解法（自学教材）第三讲家庭作业一解方程解方程解方程解方程解方程解方程摘自初等代数研究（下册）解方程摘自初等代数研究（下册）解方程解方程组摘自初等代数研究（下册）六、一元三次、四次以及
9、高次方程一元三次方程的解法设有一般三次方程，取，整理得到两端除以得到其中。作变换，代入方程，整理得到要求，则变为解得，从而其中例8 解三次方程解作变换，代入方程，整理得到，其中再做变换，并整理得到利用求根公式可以得到一元四次方程的解法一般三次方程的解法的思路是化为缺项的三次方程，再作变换转换为二次方程来求解。一般四次方程的解法也是转换为缺项的四次方程，再将缺项的四次方程转换为三次方程，解出三次方程后，再求出四次方程的根。自学教材。五次及五次以上代数方程求无根公式一般五次及五次以上方程不能用根式求解。自学教材。代数基本定理定理（代数基本定理）任意一元次方程有个复数根。第三讲家庭作业二解三次方程摘
10、自初等代数研究（下册）七、不定方程与中国剩余定理定理1 设二元一次不定方程为，其中都是整数且都不是0，有一组整数解；又设则的一切解可以表示成：其中。定理2 二元一次不定方程有整数解的充分与必要条件是。二元一次不定方程的一个特殊解可以表示为： 例1 求的一切整数解。解：先解，此处因此的一个解是故原方程的一个特殊解是由定理1，其一切解可以表成例2 求的一切整数解。 解：故的一个特殊解是故的一切解可以表成课堂练习解下列不定方程把100分成两份，使一份可被7整除，一份可被11整除。定义1（多元一次不定方程） 可以写成下列形式的方程（其中,并且不失一般性）定理3 多元一次不定方程有整数解的充分必要条件是课堂练习判断下列多元一次不定方程是否有解：定义2（同余） 给定一个正整数m,把它叫做模。如果用m去除任意两个整数a和b所得的余数相同，则称a，b对模m同余，记作。如果余数不同，则称a，b对模m不同余，记作。定理4（孙子定理） 设是k个两两互质的正整数，则同余式组的解是，其中例3 解同余式组例4 韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人，；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数。课堂练习 二数余一，五数余二，七数余三，问本数。 三数余一，五数余二，七数余三，问本数。第三讲家庭作业三求解二元一次不定方程。二数余一，三数余一，五数余二，问本数。
