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1、2019年10月19日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为： 1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很帅”，等等。 此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2019年10月19日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模
2、糊数学绪论,2019年10月19日,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于,秃子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2019年10月19日,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业
3、、气象、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2019年10月19日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,2019年10月19日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题 苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,2019年10月19日,7,3
4、.模糊综合评判从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面 给出很好，较好，一般，不好四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,2019年10月19日,8,模糊数学,2019年10月19日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2019年10月19日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2019年10月1
5、9日,11,其中,模糊集合及其运算,非此即彼,2019年10月19日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2019年10月19日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2019年10月19日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性，
6、过渡点,2019年10月19日,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2019年10月19日,16,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,(4) 若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2019年10月19日,17,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,2019年10月19
7、日,18,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 A，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2019年10月19日,19,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属 于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,2019年10月19日,20,则模糊集O（年老）,则模糊集Y（年轻）,2019年10月19日,21,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2019年10月19日,22,例3.,模糊集合及
8、其运算,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2019年10月19日,23,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2019年10月19日,24,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2019年10月19日,25,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2019年10月19日,26,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,2019年10月19日,2
9、7,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2019年10月19日,28,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动 。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2019年10月19日,29,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2019年10月19日,30,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,(变动的圈是否盖住不动的点),2019年10月19日,31,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小
10、型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2019年10月19日,32,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2019年10月19日,33,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2019年10月19日,34,(1) 偏大型 (S 型) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7） 2）升半 分布 （图3.8） 3）升半正态分布 （图3.9） 4）升半柯西分布（图3.10） 5）升半梯形分布（图3.11） 6）升岭形分布 （图3.12）,2
11、019年10月19日,35,(2) 偏小型 ( Z型 ) ：这种类型的隶属函数随 x 的增大而减小，随所选函数的形式又可分为： 1）降半矩形分布（图3.13） 2）降半 分布 （图3.14） 3）降半正态分布（图3.15） 4）降半柯西分布（图3.16） 5）降半梯形分布（图3.17） 6）降岭形分布 （图3.18）,2019年10月19日,36,(3) 中间型 ( 型) ：这种类型的隶属函数在(，a)上为偏大型，在 (a，+) 为偏小型，所以称为中间型，随所选函数的形式又可分为: 1）矩形分布 （图3.19） 2）尖 分布 （图3.20） 3）正态分布 （图3.21） 4）柯西分布 （图3.
12、22） 5）梯形分布 （图3.23） 6）岭形分布 （图3.24）,2019年10月19日,37,(1) 偏大型（S 型）：这种类型的隶属函数随 x 的增大而增大，随所选函数的形式不同又分为： 1）升半矩形分布（图3.7）,2019年10月19日,38,2）升半 分布（图3.8）,2019年10月19日,39,3）升半正态分布（图3.9）,2019年10月19日,40,4）升半柯西分布（图3.10）,2019年10月19日,41,5）升半梯形分布（图3.11）,2019年10月19日,42,6）升岭形分布（图3.12）,2019年10月19日,43,(2) 偏小型 (Z 型 )：这种类型的隶属
13、函数随 x 的增大而减小，又可分为： 1）降半矩形分布（图3.13）,2019年10月19日,44,2）降半分布（图 3.14）,2019年10月19日,45,3）降半正态分布（图3.15）,2019年10月19日,46,4）降半柯西分布（图3.16）,2019年10月19日,47,5）降半梯形分布（图3.17）,2019年10月19日,48,6）降岭形分布（图3.18）,2019年10月19日,49,(3) 中间型（ 型）：这种类型的隶属函数在 ( ，a) 上为偏大型，在 (a, +) 为偏小型，所以称为中间型，又可分为: 1）矩形分布（图 3.19）,2019年10月19日,50,2）尖分
14、布（图3.20）,2019年10月19日,51,3）正态分布（图 3.21）,2019年10月19日,52,4）柯西分布（图 3.22）,返回,2019年10月19日,53,5）梯形分布（图3.23）,2019年10月19日,54,6）岭形分布（图 3.24）,2019年10月19日,55,3、其它方法,模糊集合及其运算,2019年10月19日,56,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,2019年10月19日,57,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2019年10月19日,58,例4：,模糊集合及其运算,2019
15、年10月19日,59,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A，AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC), (AB)C = A(BC)； 吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 分配律：(AB)C = (AC )(BC)； (AB)C = (AC )(BC)； 0-1律： AO = A，AO = O； AE = E，AE = A； 还原律：(Ac)c = A； 对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,2019年10月19日,60,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2019年10月19日,61,例5：,模糊集合及其运算,2019年10月19日,62,合成( )运算的性质：,性质1：(A B) C = A (B C)； 性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C )； ( BC ) A = ( B A )( C A )； 性质4：O A = A O = O，I A=A I =A； 性质5：AB，CD A
