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1、.第一章 集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】 一、集合的概念、关系与运算 1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法. 有的集合还可用Venn图表示，用专用符号表示，如等。 3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素是集合A的元素，则，否则。 4. 集合与集合之间的关系： 子集：若，则，此时称集合A是集合B的子集，记作。 真子集：若，且存在元素，且，则称A是B的真子集，记作：A B.相等：若，且，则
2、称集合A与B相等，记作AB.。5. 集合的基本运算：交集： 并集： 补集：，其中为全集，。 6. 集合运算中常用结论： ，。 ，。， ，。 由个元素所组成的集合，其子集个数为个。互为原命题逆命题否命题逆否命题若p，则q若q，则p互逆逆否互为互否互否互逆逆否 空集是任何集合的子集，即。在解题中要特别留意空集的特殊性，它往往就是导致我们在解题中出现错误的一个对象，避免因忽视空集而出现错误。 7.含参数的集合问题是本部分的一个重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数形结合思想在解题中的运用。 二、命题及其关系 1命题的概念：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的
3、陈述句叫做命题。 2四种命题的相互关系：3. “若则”是真命题，即；“若则”是假命题，则。 4. 在判断命题真假的问题中，一方面可以直接写出命题进行判断，也可以通过命题的等价性进行判断，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。 5. 充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：（1）注意问题的设问方式，我们知道，是的充分不必要条件是指且；的必要不充分条件是是指且。这两种说法是在充分必要条件推理判断中经常出现且容易混淆的说法，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现判断错误。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否
4、命题等价可知：若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件。 6. 证明是的充要条件 （1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出； （2）必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出。 三、逻辑联结词与量词 1含有“且（）”“或()”“非（）”命题的真假性：真、真真真假真、假假真假假、真假真真假、假假假真2全称量词与存在量词：命题中的“对所有”、“任意一个”等短语叫做全称量词，用符号“”表示，“存在”、“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对中任意一个，有成立”可用符号简记为。含有
5、存在量词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在中任意一个，使成立”可用符号简记为。3全称命题与特称命题的关系：P的否定全称命题：特称命题：特称命题：全称命题：第二章 函数知识结构一.函数的概念及其表示（1）函数的概念设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的一个函数，记作函数的三要素:定义域、值域和对应法则只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的
6、集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集合分别记做注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：是整式时，定义域是全体实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1中，零（负）指数幂的底数不能为零若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出对于含字母参数的函数，求其定义域
7、，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程，则在时，由于为实数，故必须有，从而确
8、定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，
9、在集合中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合到的映射，记作给定一个集合到集合的映射，且如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象二函数的基本性质1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。函数单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间如果对于区间内的_两个值，当时，都有_，那么在区间上是单调增函数，称为的单调_区间. 如果对于区间内的_两个值，当时，都有_，那么在区间上是单调减函数，称为的单调_区间.如果函数在区间上是单调增函数或单调减函数，那么函数在
10、区间上具有_.点评 单调性的等价定义：在区间上是增函数当时，有；在区间上是减函数当时，有；函数单调性的判定方法定义法；图像法；复合函数法；导数法；特值法（用于小题），结论法等.注意：定义法（取值作差变形定号结论）：设且，那么在区间上是增函数；在区间上是减函数。导数法（选修）：在区间内处处可导，若总有（），则在区间内为增（减）函数；反之，在区间内为增（减）函数，且处处可导，则（）。请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。点评 判定函数的单调性一般要将式子进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。提醒 求单调区间时，不忘定义域；多
11、个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。与函数单调性有关的一些结论若与同增（减），则为增（减）函数，为增函数；若增，为减，则为增函数，为减函数，为减函数；若函数在某一范围内恒为正值或恒为负值，则与在相同的单调区间上的单调性相反；函数与函数具有相同的单调性和单调区间；函数与函数具有相同的单调性和单调区间，函数与函数具有相同单调区间上的单调性相反。2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；函数奇偶性的定义 一般地，设函数的定义域为如果对于_的
12、，都有_，那么函数是偶函数. 一般地，设函数的定义域为如果对于_的，都有_，那么函数是奇函数. 如果函数是奇函数或偶函数，那么函数具有_.注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。图象特征函数为奇（偶）函数函数的图象关于原点（轴）成中心（轴）对称图形。注意 定义域含的偶函数图象不一定过原点；定义域含的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。点评 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.是奇函数.是偶函数.奇函数在原点有定义，则.在关于原点对称的单调区间内：（）奇函数有
13、相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。是偶函数.奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性. 如判断函数的奇偶性。判定函数奇偶性方法如下：定义（等价定义）法；图像法；结论法等.点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求，接着考察与的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。与函数的奇偶性有关的一些结论若与同奇（偶），则为奇（偶）函数，和为偶函数，为奇（偶）函数；若与一奇一偶，则和为奇函数，为偶函数；定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一
14、个偶函数和的形式。函数按奇偶性分类奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。点评既奇又偶的函数有无数个。如定义域关于原点对称即可。如函数。3.周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律； 函数周期性的定义 一般地，对于函数，如果存在一个_的常数，使得定义域内的_值，都满足，那么函数称为周期函数，_常数叫做这个函数的周期。如果一个周期函数的所有的周期中存在一个_的_数，那么这个数叫做函数的最小周期正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。点评 非零常数是周期函数本身固有的性质，与自变量的取值无关；若非零常数是函数的周期，则非零常数的非零整数倍（，且也是函数的周期；若函数的周期为，则函数（其中，为常数，且，）的周期为；定义中的等式是恒等式；函数的周期是。三角函数的周期
