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1、核心素养教学案例椭圆的标准方程（1）浙江省春晖中学 袁海峰教材：人教A版数学（选修2-1）第二章第二节数学核心素养的培养目标：1数学抽象能力的培养：（1）从实验中抽象出椭圆的定义. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题.2数学运算和数据分析能力的培养： （1）通过椭圆定标准方程的推导，培养学生发现数据规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力.（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.3直观想象和数学建模能力的培养：（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.（2）在椭圆定义获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合的思想。（3）通过师生、生生的合作学习，
2、增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导启发讨论探索结果，引导学生直观观察归纳抽象总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力教具准备：多媒体课件和自制教具：小黑板、图钉、细绳教学过程：（一）设置情景，引出课题问题：用圆柱形水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌面上，水面轮廓是什么曲线？（圆）。当拿着水杯喝水时，再观察水平面，此时水面轮廓又是什么曲线？（椭圆）。为什么是椭圆呢？要回答这个问题，首先我们要知道什么是椭圆，要来认识椭圆，最直观的就是画椭圆！意图：用生活中的
3、常见现象引出椭圆的直观感觉，让学生觉得数学是来自实际生活！引出课题：椭圆及其标准方程（二）启发诱导，推陈出新复习旧知识：圆是怎么画的？自己演示画圆的过程提出新问题：椭圆又是怎么画出来的？一学生上台画椭圆，其他同学小组合作，动手画椭圆！并在画图过程中思考：你在画图的过程中发现哪些是不变的，哪些是在变的？意图：让学生感受画椭圆的过程，同时思考画图过程中哪些是不变的，哪些是在变的？为引出椭圆的定义作铺垫！（三）提问交流，形成概念提问：在画椭圆时发现哪些是不变的，哪些是在变的？如果我们把移动的笔尖看成椭圆上一个动点M，分别固定在黑板上的绳子两端看成两个定点F1，F2，那么你们能找出椭圆上的点M要满足的
4、几何条件吗？ 由学生归纳椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距意图：让学生的大脑动起来，自己去发现椭圆上点的特征，并最终归纳出椭圆的定义！想一想：判断下列动点的轨迹是否为椭圆？平面内，到的距离之和为8（4或3）的点的轨迹.意图：为了弥补学生自己归纳出的定义的不足（常数要大于）（四）椭圆标准方程的推导1、回顾：求曲线方程的一般步骤：建系设点、写出点集、列出方程、化简方程、检验说明（可以类比圆的方程的推导过程）2、提问：如何建系，使求出的方程最简？由各小组讨论，请各小组在刚才画的椭圆中建系并选出代表来汇报研讨
5、结果各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）建系设点：以所在直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设是椭圆上任意一点，为了使的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设，则，设与两定点的距离的和等于写出点集：列出方程： 化简方程：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）两边平方，得：即两边平方，得：整理，得：令，则方程可简化为：整理成：指出：方程叫做椭圆的标准方程，焦点在轴上，焦点是讨论：如果以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，焦点是，椭圆的方程又如何呢？让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言得出
6、：为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单意图：让学生充分讨论，把课堂还给学生，体现课堂中学生的主体性！意图：从练习1中我们可以得到椭圆标准方程的几个特征 从练习2中我们可以看到求椭圆标准方程的步骤：1、选标准；2、定参数（五）知识应用 例题：求平面内，到两定点的距离之和为8的点的轨迹方程。变式：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0),且经过点，求它的标准方程。（六）课堂小结提问：本节课学习的主要知识是什么?你学会了哪些数学思想与方法?（七）布置思考题思考题：1、本节课一开始提到的圆柱形水杯喝水时为什么是椭圆？怎么证明它是椭圆？可以收集相关资料或课本
7、中的“探究与发现”！ 意图：前后呼应，有始有终，同时留有悬念，让学生课后思考，给学生有自主思考，自主发挥的空间！（八）布置作业：课本P45中练习1、3；课本P53中习题2.2A组2板书设计2.2.1椭圆及其标准方程一 椭圆的定义二 椭圆的标准方程三 椭圆标准方程的特征四 求椭圆方程的步骤和方法椭圆标准方程的推导例变式说 明探讨的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学生的认知规律。为了突破重点，在教学设计中采用了循序渐进、逐层推进的方法：先用日常生活中大家都会遇到的喝水问题形象地给出椭圆，使学生对椭圆有一
8、个直观的了解；再让学生自己举例、动手操作“定性”地画出椭圆和探究归纳定义；最后通过坐标法“定量”地描述椭圆。这种从感性到理性地抽象概括，从而形成概念，推出方程的过程符合学生的认知规律。为使学生更好地掌握椭圆的标准方程。 为突破难点，在设计中通过课堂精心设问：教师问：化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？教师问：对于本式是直接平方好呢还是恰当整理后再平方？这样，椭圆方程的化简这一难点也就迎刃而解了。爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不可能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。针对这节课的问题，教师边演示，边提问，让学生边观察，边思考，边讨论，最大限度地调动学生积极参与教学活动，在教学难点处适当放慢节奏，给学生充分的时间进行思考与讨论，教师适时给予适当的思维点拨，必要的可进行大面积提问，让学生做课堂的主人，充分发表自己的意见。这样既有利于化解难点、突出重点，也有利于充分发挥学生的主体作用，使课堂气氛更加活跃，让学生在生生互动、师生互动中掌握知识，提高解决问题的能力。 2
