第十章 稳恒磁场a

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1、普通物理解题方法研究,温州大学,主讲教师：季永运,静止电荷相互作用,电场,叠加法,高斯法,电势,定义法,叠加法,电场力的保守性,静电场,运动电荷相互作用,磁场,毕奥萨伐尔定律,安培环路定理,磁场,四、磁场对运动电荷和载流导线的作用,三、磁场的高斯定理和安培环路定理,二、磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律,主要内容:,一、稳恒电流,一、稳恒电流,1. 电流形成的条件,一、 稳恒电流,金属自由电子,电解质溶液正、负 离子,半导体带正电的“空穴”,（一）电流,是大量电荷(带电粒子载流子)有规则的定向运动。,（二）传导电流和运流电流,传导电流在导体中，电子或离子相对于导体作定向运动所形成的电流。 运流电流由

2、带电物体的机械运动所形成的电流。,（三）电流强度（电流）,单位时间内通过导体任一截面的电量。,注意: 电流是标量。规定其方向为正电荷从高电势向低电势移动的方向。,（四）形成电流的条件,（1）导体内有可移动的自由电荷。 （2）导体内要维持一个电场。,如果导体中通过任一截面的电流不随时间变化，即,（五）稳恒电流和稳恒电场,2 电流和电流密度,（一）. 电流密度矢量,定义：单位时间内通过垂直于电流方向单位面积的电量为导体中某点电流密度矢量 的大小， 的方向与正电荷在该点漂移运动的方向相同，也就是与外电场 的方向相同。,通过任意曲面 S 的电流强度:,通过一个封闭曲面的电流强度（或电流密度穿过封闭曲面

3、的通量）为零，即,（二）.稳恒电流条件,单位时间从封闭面向外流出的正电荷等于单位时间流进封闭面的正电荷。,-欧姆定律的微分形式,（三）. 欧姆定律的微分形式,（四）. 焦耳楞次定律的微分形式,-焦耳楞次定律,-热功率密度w（单位时间内在导体单位体积中所产生的热量）,- 焦耳楞次定律 的微分形式,3 电源和电动势,（一）. 电源,能够提供非静电力以把其他形式的能量转换为电能的装置称为电源。,（二）. 电动势,电源将单位正电荷从负极经电源内部移至正极时非静电力所做的功，称为电源电动势。,即,例1 有一内半径为 a，外半径为 b 的金属圆柱体，圆柱体长度为 d，电阻率为。若圆柱体内缘的电势高于外缘的

4、电势，且它们的电势差为U，问圆柱体中沿径向的电流为多少？,解一：由对称性，对半径为 r 的圆柱面， 大小相同，方向沿径向，所以通过此柱面的电流为,得,方向沿径向向外,电势差为,电流为,由,解二：取厚度为 dr 的薄层，其径向元电阻为,总电阻为,由欧姆定律得,例2 有两个分别带有 电量的良导体 A 和B，它们被相对介电常数为 ，电阻率为的物质所包围。试证明两导体之间的电流与两导体的尺寸及它们之间的距离无关。,对各向同性介质有,得,证明：取闭合曲面 S 包围任一导体 A，由介质中高斯定理,在电阻率为的物质中，任一点的电流密度为,且 S 上各点相同，因而有,例,已知,求,四、磁场对运动电荷和载流导线

5、的作用,三、磁场的高斯定理和安培环路定理,二、磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律,主要内容:,一、稳恒电流,2. 磁感应强度,电流或运动电荷之间相互作用的磁力是通过磁场而作用的，故磁力称为磁场力。,二、磁场 磁感应强度,1. 磁场,磁感应强度 的大小：,方向为该点小磁针 极的指向,的方向垂直于 和 所组成的平面，且符合右手螺旋关系,洛仑兹力永远不对电荷做功,磁感应强度的单位：特斯拉，符号 ,3. 洛仑兹力,洛仑兹力：,的大小为,定律：任一电流微元 在真空中任一点 处产生的磁感应强度 的大小与电流微元 的大小成正比，与电流微元和由电流微元到 点的矢径 之间的夹角 的正弦成正比，与 成反比， 的方向为

6、所决定的方向,4、 毕奥萨伐尔定律,整个载流导线在真空中 点处的总磁感应强度 等于,整个载流导线在真空中 点处的总磁感应强度 等于,分量式（直角坐标系）：,-矢量式：,解题步骤 1.选取合适的电流元 2.选取合适的坐标系 3.写出电流元产生的磁感应强度 4.计算磁感应强度的分布叠加原理； 5.一般说来，需要将磁感应强度的矢量积分变为标量积分，并选取合适的积分变量，来统一积分变量。,毕奥萨伐尔定律应用,解,例1 载流长直导线的磁场在真空中有一长为 载流直导线，导线中电流强度为 ，求导线附近一点 的磁感应强度,特例：无限长导线：,例2 圆形电流的磁场有一半径为 的载流圆环，电流强度为 ，求它轴线上

7、任一点 的磁感应强度 ,解,由于圆形电流具有对称性，各垂直分量 相互抵消，所以总磁感强度 的大小为各个平行分量 的代数和为,特例：圆心处,例3 载流直螺线管的磁场,如图所示，有一长为l , 半径为R的载流密绕直螺线管，螺线管的总匝数为N，通有电流I. 设把螺线管放在真空中，求管内轴线上一点处的磁感强度.,解 由圆形电流磁场公式,（1）P点位于管内轴线中点,练习 如图所示，两根长直导线沿半径方向接到粗细均匀的铁质圆环上的A和B两点，并与很远处的电源相接， 试求环中心o点处的磁感应强度,解 二段直导线在圆心处产生的磁场为零,解：把铜片划分成无限个宽为dx 的细长条，每条有电流：,由对称性知：,y,

8、dx,练习. 一条无限长传送电流的扁平铜片，宽为a，厚度 忽略，电流为I，求离铜片中心线正上方y处P点的,r,x,y,P.,该电流在P点产生的磁场为：,x,y,dx,r,x,y,P.,其中：,方向平行X轴,当y a 时,当y a 时,x,无限大载流平面,9,练习3. 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。,解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度 为dr的圆环作圆电流，电流强度：,练习4、一根导线弯成n边正多边形，其外接 圆半径为a，导线通过电流i,证明：,并求证当n时，Bo简化为,证明：n边多边形、每边对

9、中心张角为 2/n，每边在O点产生的磁感应强度为, n条边，共同产生：,为什么是简单的叠加？,载流圆线圈在圆心处,产生的磁感应强度,练习5,在半径为 R 的半球型木制骨架上密绕 N 匝线圈，线圈内通有电流 I，求：球心 o 点处的磁感应强度 B 。,解：由于线圈密绕，电流对o点张角 均匀分布。,可将半球面上的电流分割成无限多载流圆环，利用载流圆环在轴线上的磁感应强度公式：,则电流元的磁场：,其中,各电流元在 o 点产生的磁感应强度的方向都向左，则 o 点的磁感应强度为：,练习6 亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们

10、之间的距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。,解 设两个线圈的半径为R，各有N匝，每匝中的电流均为I，且流向相同（如图）。两线圈在轴线上各点的场强方向均沿轴线向右，在圆心O1、O2处磁感应强度相等，大小都是,两线圈间轴线上中点P处，磁感应强度大小为,此外，在P点两侧各R/4处的O1、O2 两点处磁感应强度都等于,在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介乎B0、BP 之间。由此可见，在P点附近轴线上的场强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场强分布，实线是代

11、表两线圈所激发场强的叠加曲线。,四、磁场对运动电荷和载流导线的作用,三、磁场的高斯定理和安培环路定理,二、磁感应强度 毕奥-萨伐尔定律,主要内容:,一、稳恒电流,1 磁感线,定义：为了形象地描述磁场分布，也可用磁感线来表示磁场的分布规定：磁感线上每一点的切线方向与该点的磁感应强度方向平行，磁感线的疏密程度表示该点磁感应强度的大小,三 、 磁场的高斯定理和安培环路定理,方向：规定磁场中任一磁感应线上某点的切线方向，代表 该点磁感应强度 的方向。,大小：通过垂直于磁感应强度 的单位面积上的磁感应线根数等于该处 的量值。即磁感应线的疏密程度反 映了磁场的强弱。,磁感线的特点:,（1）任意两条磁感线不

12、会相交这一特性和电场线相同；,（2）磁感线是闭合曲线，没有起点和终点,（3）磁感线与电流套连右手定则,磁场是无源场,由规定得：,通过面积元dS的磁通量：,单位：韦伯(Wb).,则通过面积S的磁通量：,2 磁通量 高斯定理,一、磁通量,通过任一曲面 S 上的磁感应线总数，称为通过该曲面的磁通量（ 通量），用 表示。,对于闭合曲面，规定由里向外为法线的正方向按此规定，磁感线从闭合曲面穿出处的磁通量为正，穿入处的磁通量为负，由于磁感线是闭合曲线，因此穿入闭合曲面的磁感线必然等于穿出闭合曲面的磁感线，所以通过任一闭合曲面的总磁通量必为零,（2）磁单极子不存在,真空中的磁场高斯定理,（1）反映磁场是无源

13、场重要性质的公式；,二、高斯定理,3 安培环路定理,在稳恒磁场中，磁感应强度 沿任意闭合回路的线积分，等于该闭合回路所包围的各传导电流强度的代数和的 倍，即,（1）规定 L 与 I 构成右手螺旋关系为正，反之为负； （2）I 为 L 所包围的电流，即可为线电流、面电流或体电流； （3） （L 上的 ）并非仅由 L 内包围的电流所产生，由内外电流共同产生； （4）定理仅适用于稳恒电流的稳恒磁场； （5）若 ，说明 L 内的电流没有 贡献，但 仍存在。,说明：,例 利用安培环路定理求解,（1）,（2）,（3）,(1)分析磁场的对称性；,(2)过场点选择适当的路径，使得 沿此环路的积 分易于计算：

14、的量值恒定， 与 的夹角处处相等；,(3)求出环路积分；,(4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强度 的大小。,应用安培环路定理的解题步骤：,o,B(l),例4 求“无限长”载流圆柱直导线的磁场分布设圆柱半径为 ，总电流 在横截面上均匀分布,解：电流分布的对称性， 上各点 值相等，方向沿圆的切线，根据安培环路定理有,当 时，,当 时，,例5 求长直螺线管内的磁场设螺线管的长度为 ，共有 匝线圈，单位长度上有 匝线圈，通过每匝线圈电流为 管内中央部分的磁场是均匀的，方向与螺线管的轴线平行，在管的外侧磁场很弱，可以忽略不计,解：,例6 求环形螺线管内

15、的磁感应强度如图所示，螺线管也叫螺绕环，环上密绕 匝线圈，线圈中通有电流 ,解,练习7 无限大薄导体平板均匀通有电流，若导体平板垂直屏幕，电流沿平板垂直屏幕向外，设电流沿平板横截面方向单位宽度电流为 j ，计算磁场分布。,解：无限大平面电流可看成由无限多根紧密而平行排列的长直电流所组成。如图，由对称性分析：P 点处合磁场的方向必然平行平板指向左方，其下半部分空间磁场方向必然平行平板指向右方。,取矩形回路 abcd 作积分回路 L，由安培环路定理得,即,所以得,无限大均匀平面电流两侧为匀强磁场，即大小相等，方向相反。,练习8、 一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管内有空心半径为R2，两轴线相距a,电流沿导体管流动，且均匀分布在横截面上，求圆柱轴线上和空心轴线上任一点的磁场。,R1,O,不对称，不处理无法用环路定理求解 采用补偿法，将空心部分看成通有相等相反 电流的实心导线。,O,O,a,练习9、同轴电缆的内导体圆柱半径为R1，外导体圆筒内外半径分别为R2、 R3，电缆载有电流I，求磁场的分布。,解：同轴电缆的电流分布具有轴对称性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为对称轴的同心圆。,r R1时, 取沿半径 r 的磁感应线为环路,R